江西省九江市奉新第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

江西省九江市奉新第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)，則的值在到之間的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：幾何概型，，答案A2.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥A1C于E，且PA=PE，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．線段 B．圓弧C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分參考答案：A【考點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系；軌跡方程．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】由PE⊥A1C于E，且PA=PE，得到點(diǎn)E是定點(diǎn)，然后根據(jù)PA=PE，得到點(diǎn)P位于A，E的中垂面上，從而得到點(diǎn)P的軌跡．【解答】解：連接A1P，由題意知A1A⊥AP，因?yàn)镻E⊥A1C，且PA=PE，所以△A1AP≌△A1EP，所以A1A=A1E，即E為定點(diǎn)．因?yàn)镻A=PE，所以點(diǎn)P位于線段AE的中垂面上，又點(diǎn)P在底面上，所以點(diǎn)P的軌跡為兩平面的交線，即點(diǎn)P的軌跡是線段．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線的位置關(guān)系的判斷，以及空間點(diǎn)的軌跡的求法，綜合性較強(qiáng)，難度較大．3.若，且，則

(

)參考答案：B4.平行四邊形中，=（1，0），=（2，2），則等于（

）A．4

B．-4

C．2

D．-2參考答案：A略5.平面向量，共線的充要條件是

（

）A.，方向相同 B.，兩向量中至少有一個(gè)為零向量 C., D.存在不全為零的實(shí)數(shù)，，參考答案：D略6.已知函數(shù)，若a、b、c互不相等，且的取值范圍是A.（1，2014） B.（1，2015） C.（2，2015） D.參考答案：C7.已知函數(shù)是定義在內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)，給出下面四個(gè)命題：①不等式恒成立②函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，且③方程有兩個(gè)根④方程（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有唯一解，且.其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A.個(gè)

B.個(gè)

C.個(gè)

D.個(gè)

參考答案：B試題分析：令,則,注意到的任意性可得.由于當(dāng)時(shí),,因此①是正確的；由于,即函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),且,因此函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn),故②是正確的；設(shè),則,即函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),且只有一個(gè)零點(diǎn),故答案③是錯(cuò)誤的；令,因,故是單調(diào)遞增函數(shù),且,因此④是錯(cuò)誤的.故應(yīng)選B.考點(diǎn)：函數(shù)的定義及對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題是一道以函數(shù)滿足的條件為背景,考查的是導(dǎo)函數(shù)的與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系的綜合性應(yīng)用問(wèn)題.解答本題的關(guān)鍵是如何理解這一條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化化歸與利用.求解時(shí)依據(jù)題設(shè)條件先構(gòu)造函數(shù),則,然后逐一對(duì)所提供的四個(gè)答案進(jìn)行分析推證,從而使得問(wèn)題最終獲解.8.已知偶函數(shù)y＝f(x)，x∈R滿足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函數(shù)則y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1 B.3 C.2 D.4參考答案：By＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為f(x)=g(x)的根的個(gè)數(shù)，即y＝f(x)和y＝g(x)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，如圖所示，共有三個(gè)交點(diǎn).故選B.點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問(wèn)題，（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.9.已知，且，則(

)A．

B．

C．－7

D．7參考答案：C10.設(shè)集合U={1，2，3，4},A={2，3},B={1},則等于A.{2}

B.{3}

C.

D.{2，3}參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程的曲線即為函數(shù)的圖像，對(duì)于函數(shù)，有如下結(jié)論：①在R上單調(diào)遞減；②函數(shù)不存在零點(diǎn)；③函數(shù)的值域是R；④若函數(shù)和的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的圖像就是方程確定的曲線.其中所有正確的命題序號(hào)是

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像與性質(zhì)

B9D根據(jù)題意畫出方程的曲線即為函數(shù)的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形

從圖形中可以看出，關(guān)于函數(shù)的有下列說(shuō)法：

①在R上單調(diào)遞減；正確．

②由于即，從而圖形上看，函數(shù)的圖象與直線沒(méi)有交點(diǎn)，故函數(shù)不存在零點(diǎn)；正確．③函數(shù)的值域是R；正確．③函數(shù)的值域是R；正確.

④根據(jù)曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程的公式，可得若函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則用分別代替，可得就是表達(dá)式，可得，則的圖象對(duì)應(yīng)的方程是，說(shuō)明④錯(cuò)誤

其中正確的個(gè)數(shù)是3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出方程的曲線即為函數(shù)的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形．從圖形中可以看出，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論的正確性．12.已知A，B∈{﹣3，﹣1，1，2}且A≠B，則直線Ax+By+1=0的斜率小于0的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】求出基本事件的所有情況，利用概率公式可得結(jié)論．【解答】解：直線Ax+By+1=0的斜率為﹣，所有情況有﹣1=11種（A=1，B=﹣1與A=﹣1，B=1斜率相等），即﹣3，3，，﹣，1，，，﹣，，2，﹣2，滿足直線Ax+By+1=0的斜率小于0的情況有4種，∴所求概率為，故答案為．13.已知在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)點(diǎn)列：，……，．若點(diǎn)到點(diǎn)的變化關(guān)系為：，則等于

．參考答案：14.在區(qū)間中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是______________。參考答案：

解析：15.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c（a、b、c∈（0，1）），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計(jì)其它得分情況），則ab的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】利用數(shù)學(xué)期望的概念，建立等式，再利用基本不等式，即可求得ab的最大值．【解答】解：由題意，投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b=2，∴2≥2，∴ab≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=，b=時(shí)取等號(hào)）∴ab的最大值為．故答案為：．16.若函數(shù)有且只有2個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____.參考答案：試題分析：當(dāng)時(shí)，；故1是函數(shù)的零點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)零點(diǎn)，而故沒(méi)有零點(diǎn)；若則，故沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，

17.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)則

的最小值為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸為正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C和直線l的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cosθ，ρcos（θ+α）=2（其中tanα=2，α∈（0，））．（Ⅰ）求圓C和直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)圓C和直線l相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求以AB為直徑的圓D的參數(shù)方程．參考答案：（Ⅰ）x﹣2y﹣2=0;（Ⅱ）【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程N(yùn)3解析：（Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cosθ，轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：（x﹣1）2+y2=1，由于：tanα=2，α∈（0，）．則：，極坐標(biāo)方程ρcos（θ+α）=2轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x﹣2y﹣2=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：解得：A（2，0），B（，），則：，設(shè)點(diǎn)M（x，y）是圓D上的任意一點(diǎn)，則：．所以：+．整理得：5x2+5y2﹣12x+4y=0．轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式為：轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)）．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）直接把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)該方程．（Ⅱ）首先建立方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用直徑所對(duì)的圓周角為90°，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成向量垂直，再利用向量垂直的充要條件求出方程，再轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程．19.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=6sinθ．（1）寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P（3,4），直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得，它的直角坐標(biāo)方程；把圓C的極坐標(biāo)方程依據(jù)互化公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），得直線l的普通方程為x+y﹣7=0．又由ρ=6sinθ得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+（y﹣3）2=9；（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)數(shù)根，所以t1+t2=2，t1t2=1，∴t1＞0，t2＞0，所以+

=20.已知離心率為的橢圓的右焦點(diǎn)F是圓（x﹣1）2+y2=1的圓心，過(guò)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交y軸于M、N兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求線段MN長(zhǎng)的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題；綜合題．【分析】（I）根據(jù)圓方程可求得圓心坐標(biāo)，即橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的離心率進(jìn)而求得a，最后根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把橢圓方程與圓方程聯(lián)立求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可推斷x0的范圍，把直線PM的方程化簡(jiǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線PM和PN的距離．求得x0和y0的關(guān)系式，進(jìn)而求得m+n和mn的表達(dá)式，進(jìn)而求得|MN|．把點(diǎn)P代入橢圓方程根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得MN|．記，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)f（x）的值域，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)，|MN|取得最大值，進(jìn)而求得y0，則P點(diǎn)坐標(biāo)可得．【解答】解：（I）∵圓（x﹣1）2+y2=1的圓心是（1，0），∴橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0），∵橢圓的離心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴橢圓的方程是．

（II）設(shè)P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直線PM的方程：，化簡(jiǎn)得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圓心（1，0）到直線PM的距離為1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化簡(jiǎn)得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是橢圓上的點(diǎn)，∴，∴，記，則，時(shí)，f'（x）＜0；時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在上單調(diào)遞減，在內(nèi)也是單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時(shí)，|MN|取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P位置是橢圓的左頂點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．21.已知數(shù)列{an}滿足.（1）設(shè)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；（3）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.參考