湖南省常德市漢壽縣第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

湖南省常德市漢壽縣第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a，b都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：D；，與沒有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.

2.函數(shù)(a>0，a≠1)的圖象可能是（

）參考答案：D3.在(0,2π)內(nèi),使成立的x的取值范圍為(

)A. B.C. D.參考答案：B【分析】直接利用三角函數(shù)線寫出滿足不等式的解集即可.【詳解】解：在內(nèi)，畫出與對應(yīng)的三角函數(shù)線是MT，OM，如圖：

滿足在內(nèi)，使即，所以所求的范圍是：，

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)線解答不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.注意三角函數(shù)線與線段的區(qū)別.4.等差數(shù)列中，若，則=A.15

B.30

C.45

D.60參考答案：A5.已知△ABC為等腰三角形，，在△ABC內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則△BCP為鈍角三角形的概率為（

）A． B．

C．

D．參考答案：B如圖：以BC為直徑作圓，交邊AC于點(diǎn)E，作BC中點(diǎn)D，連接D，E，則DE為BC邊的中垂線，由幾何知識(shí)可得：為鈍角三角形，則必為，即在圓與三角形的公共部分設(shè)，則，.

6.冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2，），則它的單調(diào)增區(qū)間是（）A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，+∞） D．（﹣∞，0）參考答案：D【考點(diǎn)】冪函數(shù)的性質(zhì)；冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】利用點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，求出α的值，然后求出冪函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【解答】解：冪函數(shù)f（x）=xα的圖象過點(diǎn)（2，），所以=2α，即α=﹣2，所以冪函數(shù)為f（x）=x﹣2它的單調(diào)遞增區(qū)間是：（﹣∞，0]．故選D．7.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)圖像的結(jié)論正確的是(▲）A.關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱 B.關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱C.關(guān)于y軸對稱 D.關(guān)于直線x=1對稱參考答案：D8.定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像與的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1垂直軸于點(diǎn)P1，直線PP1與的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長為________．

參考答案：略9.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，則△ABC的面積為

(

)A．9

B．18

C．9 D．18參考答案：C10.已知A、B為球面上的兩點(diǎn)，O為球心，且AB＝3，∠AOB＝120°，則球的體積為()A．

B．4πC．36π

D．32π參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α，β∈（0，），sin（α﹣β）=，cosβ=，則sinα=．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及兩角和與差的正弦函數(shù)化簡求解即可．【解答】解：α，β∈（0，），sin（α﹣β）=，cosβ=，可得cos（α﹣β）==．sinβ==．sinα=sin（α﹣β+β）=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinα==．故答案為：．12.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，公差為d，若，.則____，_____．參考答案：

4

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，列出方程組，求得，再利用前n項(xiàng)和公式，即可求解．【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，又由，所以，即，?lián)立方程組，解得，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.觀察下列不等式：，，，，，，由此猜想第個(gè)不等式為

▲

.參考答案：略14.觀察如圖列數(shù)表：第1行1第2行131第3行13931第4行13927931根據(jù)如圖列數(shù)表，數(shù)表中第n行中有2n﹣1個(gè)數(shù)，第n行所有數(shù)的和為

．參考答案：2×3n﹣1﹣1考點(diǎn)：歸納推理．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；推理和證明．分析：設(shè)以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為：Sn，數(shù)表中第n行中所有數(shù)的和為Tn，分析已知中的圖表，可得Tn=Sn+Sn﹣1，代入等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可得答案．解答： 解：由已知可得：第1行有1個(gè)數(shù)；第2行有3個(gè)數(shù)；第3行有5個(gè)數(shù)；…歸納可得：第n行有2n﹣1個(gè)數(shù)；設(shè)以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為：Sn，數(shù)表中第n行中所有數(shù)的和為Tn，則T2=S2+S1，T3=S3+S2，T4=S4+S3，…故Tn=Sn+Sn﹣1=+=2×3n﹣1﹣1，即數(shù)表中第n行中有2n﹣1個(gè)數(shù)，第n行所有數(shù)的和為2×3n﹣1﹣1，故答案為：2n﹣1，2×3n﹣1﹣1點(diǎn)評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．15.參考答案：0,－116.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；當(dāng)x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2時(shí)，都有．給出下列四個(gè)命題：①f（3）=0；②直線x=﹣6是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y=f（x）在[﹣9，﹣6]上為增函數(shù)；④函數(shù)y=f（x）在[0，2014]上有335個(gè)零點(diǎn)．其中正確命題的序號為．參考答案：①②【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】①中，由題意，令x=﹣3，求出f（3）=0；②中，由題意，求出f（x）的周期為6，且滿足f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），得出x=﹣6是y=f（x）圖象的對稱軸；③中，由題意，得出y=f（x）在[﹣3，0]上是減函數(shù)，從而得y=f（x）在[﹣9，﹣6]上的單調(diào)性；④中，由題意，知y=f（x）在[0，6]上只有一個(gè)零點(diǎn)3，得出y=f（x）在[0，2014]上的零點(diǎn)數(shù)．【解答】解：對于①，∵f（x+6）=f（x）+f（3），∴f（﹣3+6）=f（﹣3）+f（3），又∵f（﹣3）=f（3），∴f（3）=f（3）+f（3），∴f（3）=0，①正確；對于②，由①知f（x+6）=f（x），∴f（x）的周期為6；又∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（x+6）=f（﹣x）；而f（x）的周期為6，∴f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），∴f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x）；∴直線x=﹣6是y=f（x）圖象的一條對稱軸，②正確；對于③，x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2時(shí)，有，即y=f（x）在[0，3]上是增函數(shù)；∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴y=f（x）在[﹣3，0]上是減函數(shù)；又f（x）的周期為6，∴y=f（x）在[﹣9，﹣6]上是減函數(shù)，③錯(cuò)誤；對于④，f（3）=0，且f（x）的周期為6，又y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，在[3，6]上為減函數(shù)，∴y=f（x）在[0，6]上只有一個(gè)零點(diǎn)3，又2014=335×6+3，∴y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336個(gè)零點(diǎn)，④錯(cuò)誤．綜上，以上正確的命題是①②．故答案為：①②．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，周期性與對稱性以及函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用問題，是較難的題目．17.已知函數(shù)，那么=．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】根據(jù)所求關(guān)系式的形式可先求f（），然后求出f（x）+f（）為定值，最后即可求出所求．【解答】解：∵，∴f（）=∴f（x）+f（）=1∴f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1，f（1）=∴=故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的值的求解，找出規(guī)律進(jìn)行解題可簡化計(jì)算，當(dāng)項(xiàng)數(shù)較少時(shí)也可逐一進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.20．函數(shù)的定義域?yàn)镸，函數(shù)（）．（1）求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有兩不等實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．參考答案：19.定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個(gè)上界．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?，故函?shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成集合為．……8分

20.過點(diǎn)的直線交軸、軸正半軸于兩點(diǎn)，求使：（1）△面積最小時(shí)的方程；（2）最小時(shí)的方程.

參考答案：解

方法一

設(shè)直線的方程為

(a＞2,b＞1),由已知可得.

（1）∵2≤=1，∴ab≥8.∴S△AOB=ab≥4.

當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=4,b=2時(shí)，S△AOB取最小值4，此時(shí)直線l的方程為=1,即x+2y-4=0.（2）由+=1,得ab-a-2b=0,變形得(a-2)(b-1)=2,=·=≥.

當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3時(shí)，|PA|·|PB|取最小值4.此時(shí)直線l的方程為x+y-3=0.

方法二

設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2)(k＜0),則l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B（0，1-2k）.（1）S△AOB=（1-2k）=×≥（4+4）=4.當(dāng)且僅當(dāng)-4k=-,即k=-時(shí)取最小值，此時(shí)直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.·

（2）==≥4,當(dāng)且僅當(dāng)=4k2,即k=-1時(shí)取得最小值，此時(shí)直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.略21.(本題滿分12分)在△ABC中，BC邊上的高所在的直線方程為x－2y＋1＝0，∠A的平分線所在的直線方程為y＝0.若B的坐標(biāo)為(1,2)，求△ABC三邊所在直線方程及點(diǎn)C坐標(biāo)．參考答案：BC邊上高AD所在直線方程x－2y＋1＝0，∴kBC＝－2，∴BC邊所在直線方程為：y－2＝－2(x－1)即2x＋y－4＝0.由，得A(－1,0)，∴直線AB：x－y＋1＝0，點(diǎn)B(1,2)關(guān)于y＝0的對稱點(diǎn)B′(1，－2)在邊AC上，∴直線AC：