線性代數(shù)練習(xí)

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前言

這套“線性代數(shù)”輔助學(xué)習(xí)系統(tǒng)（以下簡(jiǎn)稱系統(tǒng)）是與所用教材相配套的，主要面向使用該教材的學(xué)生。本系統(tǒng)按照中國(guó)人民大學(xué)出版的《線性代數(shù)》的章節(jié)順序編排，以便與教學(xué)需求同步，方便學(xué)生使用。每章包括以下內(nèi)容：

1）教學(xué)基本要求：主要根據(jù)教育部對(duì)經(jīng)濟(jì)類線性代數(shù)課程的基本要求確定，并結(jié)合我校特點(diǎn)做了一些改動(dòng)。

2）重點(diǎn)與難點(diǎn)：歸納教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)與難點(diǎn)。23）學(xué)習(xí)要點(diǎn)與能力目標(biāo)：概括地闡明本章學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。

4）書后習(xí)題解答：選擇教材中典型的或難度較高的習(xí)題（特別是證明題）作出詳細(xì)解答。

5）練習(xí)題：考慮到教材題目的數(shù)量有限，補(bǔ)充了一些難度適中的題，并給出解答。有些題目作出了幾種不同的解法。

6）補(bǔ)充題：為滿足有較高要求的同學(xué)，增加了一些有一定難度的題目，其中有些是歷年研究生入學(xué)考試題目。再解答之前給出提示，分析解題思路、所用的原理和方法。

3第一章行列式一、教學(xué)要求與內(nèi)容：了解排列、逆序、對(duì)調(diào)的概念；了解n階行列式的定義與性質(zhì)，熟練掌握計(jì)算二、三階行列式的方法，會(huì)利用行列式的性質(zhì)與行列式按行、列展開的法則計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式；掌握克萊姆法則的應(yīng)用，能用該法則計(jì)算二、三元線性方程組。二、重點(diǎn)：兩種特殊的行列式：上（下）三角行列式、對(duì)角行列式；二、三階行列式及n階行列式的計(jì)算4三、難點(diǎn)：n階行列式的定義，元素中含有字母的行列式的計(jì)算

四、學(xué)習(xí)要點(diǎn)與能力目標(biāo)：

1）n階行列式的本質(zhì)是對(duì)n2個(gè)數(shù)定義了一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)。由克萊姆法則知，方程組的系數(shù)行列式是否為零反映了方程組解的不同情形，這是因?yàn)樾辛惺降闹凳欠駷榱闳Q于行列式中行與行（或列與列）之間兩種不同的情況，即后面要討論的線性相關(guān)、線性無關(guān)。因而行列式的概念與計(jì)算是后面要介紹的矩陣、方程組及n維向量的基礎(chǔ)之一。52）對(duì)于行列式性質(zhì)的證明只須了解它的思路，關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，因此要求熟記行列式的性質(zhì)和展開法則，并弄清含義及功能。行列式的計(jì)算常常因題而異。對(duì)于行列式計(jì)算的技巧，不要求做過多的探求。

3）克萊姆法則是線性方程組理論中的一個(gè)重要結(jié)論，它的意義在于給出了方程組的解與系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。但克萊姆法則僅適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的方程組，且要求系數(shù)行列式不為零。因而克萊姆法則主要用于理論研究及簡(jiǎn)單方程組求解。

6能力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算行列式之前，要首先仔細(xì)觀察所論行列式，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)，并能夠選擇簡(jiǎn)便方法。培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成在解題中充分利用已有的信息的習(xí)慣，以及把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的訓(xùn)練。7（一)書后習(xí)題（部分）812）用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式：

③912）⑦1015）④用行列式的性質(zhì)證明：

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（二)練習(xí)題<一般難度>1)若是四階行列式中前面冠以負(fù)號(hào)的項(xiàng),那么i與k分別等于什么?若是前面冠以正號(hào)的項(xiàng),那么i與k分別等于什么?12解:

前應(yīng)冠以的符號(hào)決定于N(i24k)+N(1432).i與k為1與3或3與1.當(dāng)i=3,k=1時(shí),N(3241)+N(1432)=7;當(dāng)i=1,k=3時(shí),N(1243)+N(1432)=4.所以

若前面是負(fù)號(hào),則i=3,k=1,若前面是正號(hào),則i=1,k=3.132)利用行列式的定義計(jì)算4階行列

式:14

解：給出的4階行列式表示4！=24項(xiàng)的代數(shù)和，在這些項(xiàng)中除了

外，其他的項(xiàng)至少有一個(gè)0元素，因而那些項(xiàng)都是0.在上列4項(xiàng)中,

是偶排列,這兩項(xiàng)前面是正號(hào),而是奇排列這兩項(xiàng)前面是負(fù)號(hào),于是有153)已知=1,求x=?16

解:

只有一個(gè)非零項(xiàng),即

－3×2×x×4=－24x,

因而－24x

=1

所以x=－1/24.174)證明185)解方程19解法二:

所給的行列式為n階行列式,它的展式是x的n－1次多項(xiàng)式,因此給定的方程是一元n－1次方程.可以看出當(dāng)x依次等于0,1,2,…n－2時(shí),行列式的第一行(列)分別與第二,三,…n行(列)相同,因而行列式等于0,而方程最多有n－1個(gè)實(shí)根,

因此,x=0,1,2,…n－2恰好是方程的n－1個(gè)實(shí)根.206)利用行列式的性質(zhì)證明下行列式能被13整除：21解:228）若齊次線性方程組

有非零解，求k的值.23解:2425（三)補(bǔ)充題<有一定難度>26解:給出的行列式是n+1階行列式272)證明n階行列式28

證明(方法一)：用數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)n=2時(shí)29將第一個(gè)行列式的第一列×(－b)加到第二列,新的第二列×(－b)加到第三列,…,新的第n－

1列×(－b)加到第n列,于是30(方法二)先按第一行展開,31

3)計(jì)算n階行列式32在前題計(jì)算過程中的第二個(gè)行列式稱為箭形行列式，它的特點(diǎn)是：主對(duì)角線上、第一行、第一列上的元素非零，其余元素均為零，成||形狀，在計(jì)算箭形行列式時(shí)，要利用對(duì)角線上的元的某倍加到某個(gè)邊上，將其化為三角行列式,從而找到最后結(jié)果，這個(gè)方法稱做箭形法.334)345)下列行列式中不恒等于0的是：356）計(jì)算n階行列式：36解法一：

所給行列式各行的和均一樣，將