第六信號檢測與估計理論2

1948年，美國科學家維納發(fā)表《控制論》，遭到科學界的冷遇，37歲的錢學森卻敏銳把握到這一理論的普遍意義，將這一新理論運用到自己的噴氣技術研究。1954年，錢學森發(fā)表《工程控制論》一書，開創(chuàng)了一門新的技術科學。多年來，這本著作為世界各國科學家廣為引證、參考，成為自動控制領域引用率最高的經(jīng)典著作。當前第1頁\共有84頁\編于星期三\9點1

斷章

卞之琳

你站在橋上看風景

看風景的人在樓上看你

明月裝飾了你的窗子

你裝飾了別人的夢

因此引用楊振寧博士的話：

“應該多對新的，活的東西，與現(xiàn)象有直接有關的東西感興趣?！?/p>

當前第2頁\共有84頁\編于星期三\9點26.2連續(xù)過程的維納濾波

維納濾波也稱為最小平方濾波或者最佳濾波，其基本思想是要設計一個濾波器。一般是根據(jù)信號s(t)與噪聲n(t)的時域或頻域特性，選擇適當?shù)拿}沖響應函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)，使得其濾波輸出與期望輸出之間的誤差平方和最?。ň秸`差最小）。當前第3頁\共有84頁\編于星期三\9點3

被噪聲污染的信號波形恢復稱為濾波。大家熟悉的濾波器是采用電感、電容等分立元件構成，它對于濾去某些干擾譜線有較好的效果。對于混在隨機信號中的噪聲濾波，這種簡單的濾波器就不是最佳的濾波電路，這是因為信號與噪聲均可能具有連續(xù)的功率譜。當前第4頁\共有84頁\編于星期三\9點4如下圖所示。不管濾波器具有什么樣的頻率響應K(j)，均不可能做到噪聲完全濾掉，使信號波形的不失真恢復。因此，需要尋找一種使誤差最小的最佳濾波方法，又稱為最佳濾波準則。

當前第5頁\共有84頁\編于星期三\9點5

維納線性濾波理論是一種在最小均方誤差準則下的最佳線性濾波方法。（維納濾波發(fā)展的兩個方向）由于維納濾波器電路實現(xiàn)上的困難，在維納濾波基礎上發(fā)展了一種基于狀態(tài)空間方法的最佳線性遞推濾波方法，稱為卡爾曼濾波。這種濾波器特別適用于對離散時間序列的實時濾波，可以很方便用計算機處理，因而是近代濾波理論的重要發(fā)展，在自動控制領域起到了重要作用。當前第6頁\共有84頁\編于星期三\9點6維納濾波理論的另一發(fā)展方向是自適應濾波，它可以自動地調(diào)節(jié)其自身參數(shù)，在設計時，只需要很少的，或根本不需要任何關于信號和噪聲的先驗統(tǒng)計知識。因此，目前在模型識別、通信信道的自適應均衡、生物醫(yī)學信號中周期干擾消除等方面均有重要應用。當前第7頁\共有84頁\編于星期三\9點7真實信號觀測信號加性噪聲線性估計問題最小均方誤差(MMSE)估計(minimummean-squareerror)估計誤差維納濾波問題描述維納濾波—對真實信號的最小均方誤差估計.當前第8頁\共有84頁\編于星期三\9點86.2連續(xù)過程的維納濾波維納濾波最基本的概念：從信號加性噪聲中盡可能完整地提取信號而最大限度地抑制噪聲。實質上是研究維納濾波器的設計問題。最佳線性濾波

觀測信號其中，是有用信號；是觀測噪聲。我們可以對，，，等信號波形進行估計。為統(tǒng)一分析，將被估計信號波形統(tǒng)一記為，估計結果統(tǒng)一記為。當前第9頁\共有84頁\編于星期三\9點9設和都是零均值的隨機過程，則的線性估計可以表示為其中，是時刻的采樣；是加權系數(shù)。是采樣的線性加權和。為使估計波形具有最小均方誤差，由估計誤差與觀測信號的正交性，有由該式可以求出最佳加權系數(shù)，從而實現(xiàn)的最當前第10頁\共有84頁\編于星期三\9點10佳線性估計。式估計波形的積分形式表示為這說明，將輸入具有時變脈沖響應為的線性濾波器，其輸出為的估計為，見圖6.1。

當前第11頁\共有84頁\編于星期三\9點11為使均方誤差最小，利用正交性原理，即求解線性時變?yōu)V波器的脈沖響應。利用相關函數(shù)表示上式，得

該式是實現(xiàn)信號波形線性估計，且均方誤差最小當前第12頁\共有84頁\編于星期三\9點12的線性時變?yōu)V波器的脈沖響應應滿足的積分方程。它能實現(xiàn)非平穩(wěn)隨機信號波形的線性最佳估計（但時變脈沖響應的解比較困難）。估計的均方誤差就是估計誤差的方差，表示為當前第13頁\共有84頁\編于星期三\9點13當前第14頁\共有84頁\編于星期三\9點146.2.2維納—霍夫方程

適用于非平穩(wěn)隨機信號波形最佳估計的線性時變?yōu)V波器的求解困難。為獲得實用的結果，進行必要的約束：設和都是零均值的平穩(wěn)隨機過程，且二者聯(lián)合平穩(wěn)；這意味著觀測時間從開始，而且濾波器是線性時不變?？紤]因果系統(tǒng)，濾波器在構造估計信號波形時，只用時刻及以前時刻的觀測信號。這樣，線性時不變?yōu)V波器的估計為見圖6.2。當前第15頁\共有84頁\編于星期三\9點15而(6.2.6)式變?yōu)?/p>

令,,則有當前第16頁\共有84頁\編于星期三\9點16

該式稱為維納—霍夫方程。它是信號波形線性最小均方誤差估計的線性時不變?yōu)V波器的脈沖響應應滿足的積分方程。這樣的濾波器稱為維納濾波器，而由維納濾波器獲得信號波形估計，稱為維納濾波。當前第17頁\共有84頁\編于星期三\9點17估計誤差的方差為所以，要實現(xiàn)維納濾波，需要設計維納濾波器，這就是維納—霍夫方程的解。當前第18頁\共有84頁\編于星期三\9點18

6.2.3維納—霍夫方程的非因果解

(6.2.10)式中,限定（正半軸）,即維納濾波器的脈沖響應滿足所以,它是因果系統(tǒng)。如果我們?nèi)?，包括整個時間軸則系統(tǒng)是非因果的.當前第19頁\共有84頁\編于星期三\9點19此時，維納—霍夫方程變?yōu)楫斍暗?0頁\共有84頁\編于星期三\9點20故最佳濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為當前第21頁\共有84頁\編于星期三\9點21

討論：若；與相互統(tǒng)計獨立，即，則當前第22頁\共有84頁\編于星期三\9點22當噪聲為0時，信號全部通過；當信號為0時，噪聲全部被抑制；因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。當前第23頁\共有84頁\編于星期三\9點23當前第24頁\共有84頁\編于星期三\9點24當前第25頁\共有84頁\編于星期三\9點25（1）對1<<2的頻率范圍內(nèi)，由于Pn()=0，一定有|H（)|=1，表示由于沒有噪聲，故濾波器增益為1，從而保證信號不失真。其次，在這段頻率內(nèi)，均方誤差的積分值為零。當前第26頁\共有84頁\編于星期三\9點26（2）對>3的頻率范圍內(nèi)，由于Ps()=0，一定有H()=0，表示由于沒有信號，故濾波器增益為零，從而完全阻止噪聲通過。同樣在這段頻率內(nèi)，均方誤差的積分值也為零。當前第27頁\共有84頁\編于星期三\9點27（3）對2<<3的頻率范圍內(nèi)，由于Ps()及Pn()均不為零，則|H()|<1，這一方面要防止噪聲通過，又要保證信號通過。因此隨著增加，Pn()逐漸加大，|H()|逐漸減小，直至為零。當前第28頁\共有84頁\編于星期三\9點28估計誤差的方差為當前第29頁\共有84頁\編于星期三\9點29當前第30頁\共有84頁\編于星期三\9點30當前第31頁\共有84頁\編于星期三\9點31當前第32頁\共有84頁\編于星期三\9點32重疊部分的影響當前第33頁\共有84頁\編于星期三\9點33可見，維納濾波能夠實現(xiàn)信號波形的線性最佳估計。非因果的維納濾波器是物理不可實現(xiàn)的。討論目的：加深對維納濾波概念理解；提供了維納濾波均方誤差的下界，作為比較的參考標準。當前第34頁\共有84頁\編于星期三\9點34[例]s(t)為馬爾科夫過程，其功率譜密度為觀測噪聲n(t)為白噪聲，其Pn()=1，求維納濾波器的H()及h(t)。

當前第35頁\共有84頁\編于星期三\9點35

[解]已知因此有其最小均方誤差為式當前第36頁\共有84頁\編于星期三\9點36下面，計算沖激響應h

(t)，對H（)作傅里葉變換得

當前第37頁\共有84頁\編于星期三\9點376.2.4維納濾波器的因果解

1.重寫維納—霍夫方程

當前第38頁\共有84頁\編于星期三\9點386.2.4維納濾波器的因果解

2.分析:求解的困難在于約束若,則。這意味著，若是自相關函數(shù)為的白過程，則。積分方程就可以直接求解。當前第39頁\共有84頁\編于星期三\9點39

通常，是非白過程，但上述結果提醒我們：若將非白過程首先通過白化濾波器變?yōu)榘走^程，然后針對白過程，設計維納濾波器，則維納濾波器的因果解為

當前第40頁\共有84頁\編于星期三\9點40

如圖6.4所示。下面討論白化濾波器和濾波器的設計問題。當前第41頁\共有84頁\編于星期三\9點41

3.白化濾波器的設計若觀測信號是具有有理功率譜的平穩(wěn)隨機過程，則用復頻域表示為式中，的所有零極點在s平面的左半平面；的所有零極點在s平面的右半平面。當前第42頁\共有84頁\編于星期三\9點42如要求白化濾波器能夠將非白化過程白化，則則其輸出是白過程。因為而當前第43頁\共有84頁\編于星期三\9點43所以，有從而得白化濾波器的系統(tǒng)函數(shù)4.濾波器的設計求解的積分方程為其中，。所以當前第44頁\共有84頁\編于星期三\9點44于是，為式中，表示取中零極點在平面左半平面的部分，這是由決定的。因為當前第45頁\共有84頁\編于星期三\9點45兩邊取拉普拉斯變換，得這樣，維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為估計的均方誤差為下面我們通過例子來說明維納濾波器的問題。當前第46頁\共有84頁\編于星期三\9點46例

設線性時不變?yōu)V波器輸入的觀測信號x(t)是平穩(wěn)隨機過程，其功率譜為設計物理可實現(xiàn)的白化濾波器，它的輸出功率譜密度為1。當前第47頁\共有84頁\編于星期三\9點47解所以該白化濾波器由微分器和常增益器并聯(lián)組成。當前第48頁\共有84頁\編于星期三\9點48例

設隨機信號加白噪聲通過一線性濾波器。已知和的自相關函數(shù)分別為現(xiàn)考慮的波形估計問題，要求估計的均方誤差最小。設計該濾波器，并計算波形估計的均方誤差。當前第49頁\共有84頁\編于星期三\9點49解

據(jù)題意，待估計的波形，是維納濾波問題。首先對和進行雙邊拉普拉斯變換，得令當前第50頁\共有84頁\編于星期三\9點50則故有又有然后求維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和均方誤差。非因果的維納濾波器

當前第51頁\共有84頁\編于星期三\9點51

因果的維納濾波器當前第52頁\共有84頁\編于星期三\9點52例維納預測和平滑問題。設隨機信號加白噪聲都是均值為0的平穩(wěn)隨機過程，二者互不相關。自相關函數(shù)分別為試求估計波形及均方誤差。當前第53頁\共有84頁\編于星期三\9點536.3離散過程的維納濾波當前第54頁\共有84頁\編于星期三\9點546.3.1離散過程的維納—霍夫方程當前第55頁\共有84頁\編于星期三\9點55當前第56頁\共有84頁\編于星期三\9點56當前第57頁\共有84頁\編于星期三\9點57離散形式連續(xù)形式當前第58頁\共有84頁\編于星期三\9點58當前第59頁\共有84頁\編于星期三\9點59離散過程的維納-霍夫方程（因果關系）當前第60頁\共有84頁\編于星期三\9點606.3.2離散維納濾波器的解離散維納濾波器的z域解(頻域)A因果解

B非因果解離散維納濾波器的時域解當前第61頁\共有84頁\編于星期三\9點611離散維納濾波器的z域解(非因果解)當前第62頁\共有84頁\編于星期三\9點62當前第63頁\共有84頁\編于星期三\9點63當前第64頁\共有84頁\編于星期三\9點64可以看出，維納濾波的最小均方誤差不僅與觀測（輸入）信號的功率譜有關，而且和噪聲和信號功率譜的乘積有關，也就是說，最小均方誤差與信號和噪聲功率譜的重疊部分的大小有關