2021年江西高考理數(shù)真題及解析

PAGE27-2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設2（z+z）+3(z-z)=4+6i，則z=().A.1-2i B.1+2i C.1+I D.1-i正確答案C解析設，利用共軛復數(shù)的定義以及復數(shù)的加減法可得出關(guān)于a、b的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復數(shù)z.【詳解】設，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，則S∩T=()A.?B.SC.TD.Z正確答案C解析分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.3.已知命題p：?x∈R，sinx＜1；命題q：?x∈R，e|x|A.p∧qB.?p∧qC.p∧?qD.?(pVq)正確答案A解析由正弦函數(shù)的有界性確定命題p的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題q的真假性，由此確定正確選項.【詳解】由于sin0=0，所以命題p為真命題；由于在R上為增函數(shù)，，所以，所以命題q為真命題；所以為真命題，、、為假命題.故選：A．4.設函數(shù)f(x)=1-x1+xA.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1正確答案B解析分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為（）A.πB.C.D.正確答案D解析平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種B.120種C.240種D.480種正確答案C解析先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x-π4)的圖像，則f(A.sin(x2B.sin(x2C.sin(2x-7D.sin(2x+π正確答案B解析解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.8.在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于74A.7B.23C.9D.正確答案B解析設從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，設事件A表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，分別求出對應的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出．【詳解】如圖所示：設從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，其面積為．設事件A表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，即圖中的陰影部分，其面積為，所以．故選：B.9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，點E,H,G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=（）.A：表高×表距B：表高×表距C：表高×表距D：表高×表距正確答案A解析利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.10.設a≠0，若x=a為函數(shù)fxA：a＜bB：a＞bC：ab＜a2D：ab＞a2正確答案D解析先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否編號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對a進行分類討論，畫出f(x)圖象，即可得到a,b所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若a=b，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有x=a和x=b兩個不同零點，且在x=a左右附近是不變號，在x=b左右附近是變號的.依題意，x=a為函數(shù)的極大值點，在x=a左右附近都是小于零的.當a<0時，由x>b，，畫出f(x)的圖象如下圖所示：由圖可知b<a，a<0，故.當a>0時，由x>b時，f(x)>0，畫出f(x)的圖象如下圖所示：由圖可知b>a，a>0，故.綜上所述，成立.故選：D11.設B是橢圓C：x2a2A：2B：1C：0,D：0,正確答案C解析設，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．12.設a=2ln1.01，bA：a＜b＜cB：b＜c＜aC：b＜a＜cD：c＜a＜b正確答案B解析利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.[詳解],所以;下面比較C與a,b的大小關(guān)系.記,則,，由于所以當0<x<2時，,即,,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即a>c;令,則,,由于，在x>0時,,所以,即函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知雙曲線C：x2m-y2=1（m>0）的一條漸近線為3x正確答案4解析將漸近線方程化成斜截式，得出a,b的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對應關(guān)系，聯(lián)立求解m，再由關(guān)系式求得c，即可求解.【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案為：4.14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，則λ=。正確答案解析面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．15.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為3，B=60°，a2+c2=3ac，則b=.正確答案解析由三角形面積公式可得ac=4，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.16.以圖①為正視圖和俯視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.正確答案③④（答案不唯一）解析由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，如圖所示，長方體中，，分別為棱的中點，則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐.故答案為：③④.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和s22求x，y，s12，s22；判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果y-x≥2s12正確答案（1）；（2）新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.解析（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.18.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點，且PB⊥AM，求BC；求二面角A-PM-B的正弦值。正確答案（1）；（2）解析（1）以點D為坐標原點，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設BC=2a，由已知條件得出，求出a的值，即可得出BC的長；（2）求出平面PAM、PBM的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，不妨以點D為坐標原點，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系D-xyz，設BC=2a，則、、、、，則，，，則，解得，故；（2）設平面PAM的法向量為，則，，由，取，可得，設平面PBM的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.19.（12分）記S n為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項和，已知2Sn證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；求{an}的通項公式.正確答案（1）證明見解析；（2）.解析（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴20.（12分）設函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點。求a；設函數(shù)g（x）=x+正確答案（1）a=1；（2）證明見詳解解析（1）由題意求出，由極值點處導數(shù)為0即可求解出參數(shù)a；（2）由（1）得，x<1且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又x=0是函數(shù)的極值點，所以，解得a=1；（2）由（1）得，，x<1且，當

時，要證，，

，即證，化簡得；同理，當時，要證，，

，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，假設能取到，則，故；當時，，單增，假設能取到，則，故；綜上所述，在恒成立21.（12分）己知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求ΔPAB的最大值.正確答案（1）p=2；（2）.解析（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于p的等式，即可解出p的值；（2）設點、、，利用導數(shù)求出直線PA、PB，進一步可求得直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點P到直線AB的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）拋物線C的焦點為，，所以，F(xiàn)與圓上點的距離的最小值為，解得；（2）拋物線C的方程為，即，對該函數(shù)求導得，設點、、，直線PA的方程為，即，即，同理可知，直線PB的方程為，由于點P為這兩條直線的公共點，則，所以，點A、B的坐標滿足方程，所以，直線AB的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，，所以，，點P到直線AB的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）在直角坐標系xOy中