修改第二章質(zhì)點動力學(xué)

第二章 質(zhì)點動力學(xué)前一章：質(zhì)點運動描述，未研究物體為什么會這

樣或那樣的運動及物體運動狀態(tài)變化的原因。本章:研究物體運動狀態(tài)變化與物體之間相互作用即力的關(guān)系。古希臘亞里士多德將物體的運動分為自然運動和強迫運動。自然運動指重物垂直下落和輕物體豎子直上升的運動，物體速度與重量成正比。強迫運動指借助推力才能進行的運動。不推，物體靜止。物體運動速度與外力成正比，與阻力成反比。顯然是錯誤的。牛頓力學(xué)否定了亞里斯多德的觀點。三百多年前，牛頓在前人基礎(chǔ)上建立了運動基本定律，奠定了經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)。然而在上一世紀初，牛頓定律受到嚴重挑戰(zhàn)。相對論和量子力學(xué)把對運動和物體相互作用的關(guān)系的認識推上了新的高峰。人們認識到了經(jīng)典牛頓力學(xué)的局限性。但是，從天體運動到基本粒子運動，從日常生活到工程技術(shù)，牛頓定律仍然有廣泛的實用價值和重要意義。例如怎樣設(shè)計推力才能將火箭送到預(yù)定軌道等等。工程技術(shù)中的許多問題仍然以牛頓力學(xué)為基礎(chǔ)。由牛頓定律可以進一步得到動量定理與動量守恒定律、功能原理及機械能守恒定律、角動量定理及角動量守恒定律、剛體和流體運動規(guī)律，從而形成了以牛頓定律為基礎(chǔ)的經(jīng)典力學(xué)理論。2-1

牛頓運動定律一、牛頓定律表述1、牛頓第一定律（慣性定律）任何物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，直到其它物體迫使它改變這種狀態(tài)為止。現(xiàn)代語言：自由粒子永遠保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。理解：（實質(zhì)）（1）不能用實驗直接驗證，理想實驗結(jié)果。伽利略斜面對接理想實驗無摩擦，滾后達原高度，斜率減小，滾得越遠，若水平，將永遠滾下去總結(jié)出第一定律（2）說明了兩個重要概念：慣性和力不可能不受其他物體作用第一，任何物體都有慣性即保持原有狀態(tài)不變的特性（一種基本屬性）第二，力是改變物體運動狀態(tài)的原因，而不是維持運動狀態(tài)的原因。是一個物體對另一物體的相互作用.（3）定義了一種參照系：慣性參照系“運動”描述需要參照系，在這種參照系中，不受力的物體將保持靜止或勻速直線運動。定義：牛頓第一定律成立的參照系稱作慣性系。并非所有的參照系，牛頓第一定律都成立。什么樣的參照系牛頓定律不成立？設(shè)想：一學(xué)者在驗證牛頓第一定律。他在水平桌面上推一小球，用氣墊消除摩擦，觀察到小球相當準確地做勻速直線運動。正當宣布實驗成功時，球突然偏向一邊滾去。？原來有人安裝了一種機械，使房子轉(zhuǎn)了起來。于是，定律不成立了。所以，在旋轉(zhuǎn)參照系中，牛頓第一定律不成立。地球在轉(zhuǎn)動，是慣性系嗎？實驗證明，地球不是精確的慣性系。但由于轉(zhuǎn)動慢，如果討論的運動范圍不大（洋流，大氣運動這類大范圍運動除外），可以視為較好的慣性系。太陽是更好的慣性系。是否慣性系？需要實驗證明第一定律是否成立？2、牛頓第二定律物體獲得的加速度大小與合外力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同，即

F

=

Fi

=

ma理解實質(zhì)：（1）

a

Fm

1a定量描述了力的效果：產(chǎn)生加速度的原因（還是產(chǎn)生形變的原因）；量度了質(zhì)點的慣性（質(zhì)量）。瞬時關(guān)系，力與加速度時刻對應(yīng)，成比例。矢量關(guān)系，且概括了力的獨立作用原理。幾個力同時作用，各自產(chǎn)生效果，互不影響。F

=

ma

Fi

=

maiiaa

=

F

=

Fi

直角坐標系中Fx,

Fy

,

Fzax

,

ay

,

azd

2

x=

m2dt

2d

2ydt2d

2

zdt=

m自然坐標系中Ft

,

Fnat

,

anxxdv

x

dtF

=

ma

=

myydvdt=

m

y

=

m

F

=

mazzdv

z

dtF

=

ma

=

m

dv

d

2

sFt

=

mat

=

m

dt

=

m

dt

2

v2Fn

=

man

=

m

r3、牛頓第三定律兩個物體間的相互作用力大小相等，方向相反，且沿同一條直線，分別作用于不同的物體上。F

=

-F

'說明：進一步明確了力是物體間的相互作用。作用于不同物體，不可抵消，區(qū)別于平衡力。NN

￠mg二、慣性系與非慣性系前述：牛頓第一定律成立的參照系叫慣性系，實際上，牛頓第二定律也只在慣性系中成立。牛頓第一、第二定律不成立的參照系叫非慣性系（牛頓第三定律成立）。如右圖：光滑a￠=

a對地加速的車：球水平方向合外力為0，但向后加速（牛頓第一二定律不成立）。光滑a￠=

a所以，對地加速的車是非慣性系，地是慣性系地：定律成立。又如，兩人同時從高臺落下。從一人看另一人，定律不成立。從地面看兩人，定律成立。所以，地是慣性系，對地加速的人是非慣性系。判斷是否慣性系的標準：實驗。實驗證明：地球是一個好的慣性系，太陽更好。有絕對的慣性系嗎？否！結(jié)論：凡是相對于慣性系加速運動的參照系是非慣性系。凡是相對于慣性系勻速直線運動的參照系也是慣性系（如勻速直線運動的車）。如果在非慣性系中引入一種“假想力”——慣性力，同樣可以用牛頓定律處理問題。

￠

F

=ma絕=m(a

+a

)\

F

+(-ma)

=

ma￠

f

=

-ma計入合力，稱為慣性力

a￠ax￠xyy￠F合

=

F

+

f

=

ma￠慣性力是真實的力嗎？慣性力本質(zhì)上不是力，因為無反作用力。人為引進，本質(zhì)上是非慣性系加速度的反映。注意在非慣性系中引入慣性力，處理問題方便。如：amaa￠Nmga￠ma￠a￠光滑N

=

mg

+

ma由于牛頓第一二定律只適應(yīng)于慣性系，由它們導(dǎo)出的所有力學(xué)規(guī)律包括動量定理與動量守恒定律，動能定理、功能原理與機械能守恒定律，角動量定理與角動量守恒

定律以及剛體力學(xué)規(guī)律都只在慣性系中成立。三、力學(xué)中的常見力與基本自然力1、力學(xué)中常見力萬有引力與重力牛頓根據(jù)開普勒行星運動定律，結(jié)合牛頓運動定律，發(fā)現(xiàn)有一種與太陽到行星距離平方成反比的力支配著行星運動，進而提出了萬有引力定律。自然界任何兩物體之間都存在著相互吸引力，叫做萬有引力。兩質(zhì)點間萬有引力大小與兩質(zhì)點的質(zhì)量乘積成正比，與兩質(zhì)點間的距離平方成反比，力的方向沿著兩質(zhì)點的連線r

2F

=

G

m1m2愛因斯坦：引力源于空間彎曲很小G

=（6.6720±0.0041）×10-11m3/（s2·kg）——引力常數(shù)上式適應(yīng)于兩均勻球體，r為兩球體球心連線距離。地球?qū)Φ厍蛏纤形矬w都有引力作用即重力重力也可表示成W

=

mgW

=

G

Mmr

2MmW

=

G（R

+

h）2mM

rh地球R重力加速度：Mg

=

G(R

+

h)2可見，重力加速度與物體離地面的高度有關(guān)mM

rh地球R

h

<<

R重力加速度近似為MR

2\

g

=

G?

9.8m

/

s2彈性力（宏觀接觸力之一）2Mg=

G(R

+

h)兩物體接觸發(fā)生彈性形變時產(chǎn)生的一種反抗形變的力張力或拉力，沿著繩拉伸方向正壓力或支持力，垂直于接觸點的切面方向彈簧力，沿反抗彈簧拉伸或壓縮方向，大小與伸長量或壓縮量成比例F

=

-

kx摩擦力（宏觀接觸力之二）兩物體接觸，阻礙它們相對運動或相對運動趨勢的力靜摩擦力，由物體平衡確定最大靜摩擦力滑動摩擦力f

=

Ffmax

=

m0

Nf=

m

NfF恰好要滑動時m

<

m0x2、基本自然力在大千世界，宏觀物體之間、微觀粒子之間存在著

各種各樣的相互作用力如重力、彈力、摩擦力、引力、

黏結(jié)力、浮力、電力、磁力、分子力、核與電子之間的

作用力、核與核之間作用力以及各種基本粒子之間的作

用力等，種類繁多，表現(xiàn)各異。但是從本質(zhì)上看，自然

界只存在四種基本力，其它力都是這四種力的不同表現(xiàn)。這四種力或相互作用是引力、電磁力、強力和弱力。前面所述的摩擦力、彈力都屬于電磁相互作用。（1）引力相互作用引力是存在于任何兩個物質(zhì)客體之間的吸引力，是一種長程力。重力是地球?qū)Φ孛婕暗孛娓浇奈矬w的引力，天體之間的相互作用表現(xiàn)的是引力。(2).電磁相互作用電磁力是帶電粒子或宏觀帶電體之間的作用力，是一種長程力。磁力和電力具有同一本源，統(tǒng)稱為電磁力。電磁相互作用支配著原子與分子的世界。前面所述的摩擦力、彈力都屬于電磁相互作用。強相互作用

存在于質(zhì)子、中子、介子等強子

之間的作用力稱為強力。這種力使夸克結(jié)合成質(zhì)子和中子等粒子，把中子和質(zhì)子結(jié)合成核。強力是短程力，作用范圍小于10-15米。弱相互作用弱力的力程比強力還短，而且很弱。弱相互作用只在粒子之間的某些反應(yīng)（如β衰變）才顯示出其重要性。4種基本相互作用中，按力的強弱排序，依次是強力、電磁力、弱力和引力。力的種類相互作用的對象力的強度力程萬有引力一切質(zhì)點10-34N無限遠弱力大多數(shù)粒子10-2N小于10-17m電磁力電荷102N無限遠強力核子、介子等104N1

0-15m四種相互作用還會統(tǒng)一嗎？是物理學(xué)家追求的課題。弱、電已經(jīng)統(tǒng)一，愛因斯坦相信“大統(tǒng)一”。在宇宙極早期，是大統(tǒng)一，以后才分化為四種相互作用。四、牛頓定律應(yīng)用舉例（習題課）用牛頓定律求解力學(xué)問題類型：第一類，已知力求運動；第二類，已知加速度或運動求力；第三類，已知某些力和運動條件求另一些力及運動。即確定研究對象（一個還是幾個物體）解題思路：（1）認物體和參照系?？催\動

分析運動軌跡（直線？曲線？）、a、v

，找出各物體

a、v

之間聯(lián)系。查受力

隔離體法，畫受力圖。v2求解討論。

Ft

=

mat

Fn

=

m

r（4）列方程

Fx

=

max

Fy

=

may隔離體法：（1）把研究的物體與周圍隔離，只考慮周圍給物體的力；（2）畫示力圖，明確施力物體，不無中生有；粗糙f

=

0（3）先畫外力、重力、引力，再從接觸處找彈性力（法向）和摩擦力（切向）。N

=

0光滑應(yīng)用類型：xya1、恒力勻變速直線運動單個物體：

Fx

=

ma

Fy

=

0v

=

v0

+

at等四個運動學(xué)公式中的兩個中學(xué)力學(xué)問題多個物體聯(lián)動：aTT1m

gm2

g1）隔離分析受力，分別列方程，找出加速度之間關(guān)系。Fa1a2a1

=

2a2a2）注意選系統(tǒng)。FmMF

=

(M

+

m)a求

M

和

m

之間作用力時，則隔開分析求解。3）體會題意：“至少”“最大”“恰好”等，列輔助方程。恰好抽出恰不下滑fmax

=

m0

N4）題中未指明過程，要多種情況分析討論。m0a相對靜止，a

多大？a太大，上滑；a

太小下滑。2、變力直線運動F

=

F

(t)

:如，F(xiàn)

=1+

2t,

m

=1,

v

=

0,

x

=

0,

v(t)

=

?,

x(t)

=

?t

=0

t

=0dtF

=1+

2t

=

m

dv00v

tdv

=(1+

2t)dtv

=

t

+

t

2

=

dx202

3tt

2

t3x

=dt(t

+

t

)dt

=

+00xtdx

=

（t

+

t

2）dtF

=

F

(x)

:如，F(xiàn)

=1+

2x,

m

=1,

v

=

0,

v(x)

=

?x=0F

=1+

2x

=

m

dv

=

m

dv

dx

=

v

dvdt dx

dt

dx00v

xvdv

=(1+

2x)dx分離變量F

=

F

(v)

:如，船以v0速度航行，關(guān)閉發(fā)動機后，船速與時間關(guān)系？滑行距離？v

=

–

2(x

+

x2

)

v0關(guān)閉發(fā)動機后

v0關(guān)閉發(fā)動機后（設(shè)阻力為F=-kv)dxF

=

-kv=

mv

dvdtF

=

-kv=

m

dv00vtvdtdv

v

km=

-0m-

k

tv(t)

=

v

e00Xv0dvmkdx

=

-0kX

=

m

v3、質(zhì)點曲線運動直角坐標F

(t)a(t)v

(t)r

(t)積分

積分

如,F

=i

+tjx,y

兩直線運動疊加自然坐標（圓周運動）mgvmgNt

tF

=

mav2r

Fn

=

ml

q

Tv2mg

sinq

=

matT

-

mg

cosq

=

mlv2mg

-

N

=

mR4、質(zhì)點平衡問題（靜止或勻速直線運動）a

=

0，F(xiàn)

=

0

F

=

0恰好滑動時

f

=

m0

N注意靜摩擦力待求，

f

<

m0

N例題1-1：求右圖中，

剪斷繩子時，A、B的加速度。kDx（1）x

y

zF

=

0

kDx

=

mg\

aB

=

0FA

=

kDx

+

mg

=

2mg

=

maA\

aA

=

2g解：

明確牛頓定律是力的瞬時作用規(guī)律，要求A、B加速度，必須求出剪斷瞬時物體A、B的受力。kDx（1）剪斷繩子時，A、B的加速度？（1）剪斷時，B瞬時平衡，合外力為0FB

=

mg

-

kDx

=

0剪斷時，A沒有了繩子張力，彈簧仍然伸長向上Bmg（2）（未剪斷時）（2）

kDx

=2mg

（未剪斷時）剪斷時，彈簧仍然伸長FB

=

mg,\

aB

=

gFA

=

kDx

-

mg

=

mg

=

maA

,\

aA

=

gkDxa

msmaf

￡

mNa

?

sin

a

-

ms

cosa

gcosa

+

ms

sin

a例題1-2：如右圖，m相對靜止于三角塊上，求a

?解：未指明過程，考慮多種可能。兩種可能情況如圖先設(shè)下滑f

cosa

-

N

sin

a

=

m(-a)f

sin

a

+

N

cosa

-

mg

=

0再設(shè)上滑，同理得cosa

-

ms

sin

acosa

+

ms

sin

a-

f

cosa

-

N

sin

a

=

m(-a)-

f

sin

a

+

N

cosa

-

mg

=

0f

￡

mNa

￡

sin

a

+

ms

cosa

gcosa

-

ms

sin

a\

sin

a

-

ms

cosa

g

￡a

￡

sin

a

+

ms

cosa

gF2f例題1-3：m1A從B下面抽出，F(xiàn)至少多大？aA

?

aBF

-

m2

(mA

+

mB

)g

-

m1mB

g

=

mAaA\

F

?

(m1

+

m2

)(mA

+

mB

)gABm2FAf1B1f解：隔離分析，分別列方程，明確兩物體加速度之間的關(guān)系。m1mB

g

=

mBaBAB（月球重力加速度和地球重力加速度已知）。例題4：月球上物體B與地面上A稱重相等，現(xiàn)將輕滑輪連A、B于月球上，求a.a由題意\

mB

>

mAmB

g月-T

=mBaT

-mA

g月=mAamA

g

=mB

g月\a

=g

-g月g

+g月TTmB

g月mA

g月關(guān)鍵：明確那個物體質(zhì)量大？以判斷在月球上加速度方向解：vRmtn擦力。

a

=

0自然坐標N

sinq

-

f

cosq

-

mg

sinq

=

0v2N

cosq

+

f

sinq

-

mg

cosq

=

mv2RN

=

m

cosq

+

mgRv2Rf

=

m

sinq\例題5：木板上放砝碼m，手托木板勻速圓周運動（速率v

），求q

位置砝碼對木板的作用力。解：關(guān)鍵：明確發(fā)碼與木板接觸面上，砝碼受木板的法向支持力和切向摩求：N

,f切向法向qNtmgnf例題6：一車在R=100m圓軌道上以切向加速度t箱子與車廂底板間的摩擦系數(shù)時，木箱開始滑動？a

=2ms-2行駛，車廂底板上有質(zhì)量m=400kg

的箱子，m

=0。.4問車速多大解：明確總摩擦力為最大靜摩擦力時，開始滑動木箱與車廂板有摩擦力，法向分量提供向心力，切向分量使速率增加f

=

f

m

ax=

m

m

gntf

2

+

f

2

=

f

2v

?fi

fn

?fi

f

?f

=m

m

g滑動v2

at不變\ft不變但fn在增加，因為v增加(加速運動）。(

fn

=

m

R

)ft

=

mat

=

400

·

2

=

800Nntf

2

+

f

2

=

f

2f

=

f

m

ax=

m

m

gv

=18.4m

/

s解得v2Rfn

=

m木箱滑動條件2

22v2R800

+(m)

=

fR=100mm=400kgta

=

2ms-2m1

g22

1m

g

m

a1aaT

fT

=

f1a例題7細繩跨過輕滑輪，左邊聯(lián)m1,右邊穿過m2柱體，柱體相對于繩以加速度a下滑。求兩物體相對于地面的加速度及繩的張力。解：關(guān)鍵：分析兩物體的加速度及其關(guān)系。對m1,以地為參照系,繩加速度與m1相同為a1

，列牛頓方程。a2對地m1

g

-T

=

m1a11m

g2m

ga1aT

fT

=

f1am2a1a2對地對m2,有兩種方法列牛頓方程：1.以繩為參照系（非慣性系），引進慣性力；2.以地為參照系。方法一：以繩為參照系，對m2引進慣性力。右邊繩加速度向上為

a1

，m2慣性力向下

m2a1m2

(g

+

a1

)

-

f

=

m2am1

g2m

g1aaT

fT

=

f1am2a1a2對地m1

g

-T

=

m1a1m2

(g

+

a1

)

-

f

=

m2aT

=

f1m1

g

-

m2

g

+

m2

a\

a

=m1

+

m2T

=

f

=

2m1m2

g

-

m1m2am1

+

m2向下為正m1

g2m

g1aaT

fT

=

f1am2a1a2對地a1a2a

=

a1

+

a2a2

=

a

-

a1a>a2a柱體相對于繩子的加速度2m

g

-

m

g

+

m

a\

a2

=1

1m1

+

m2向下為正T

=

f2m

g1aaT

fT

=

f1a111

2mg

-

m2

g

+

m2aa

=m

+

m同樣解得T

=

f

=

2m1m2

g

-

m1m2am1

+

m22m2

g

-

m1

g

+

m1aa

=m1

+

m2向下為正m

g向下為正

1a2

=

a

-

a1方法二：以地為參照系m2

g

-

f

=

m2a2

m1

g

-T

=

m1a12m2a1a對地2-2

動量與沖量原則上，用牛頓定律可以求解全部動力學(xué)問題，質(zhì)點體系、過程復(fù)雜的問題求解較困難，例如多質(zhì)點碰撞、兩行星繞太陽運動的三體問題等等，而且有時不追究中間過程而只研究過程的初末狀態(tài)，用牛頓定律顯得繁瑣。但由于

是一種瞬態(tài)關(guān)系，使得對受力復(fù)雜、多F

=

ma人們希望在牛頓定律基礎(chǔ)上派生出一些定理，來解決上述問題。這里守恒量是人們感興趣的物理量。有了它們，對許多問題可以不管中間過程，只由初末態(tài)就可以求解。這些量就是動量、角動量、機械能、能量等。尋求守恒量和守恒方程體現(xiàn)了物理學(xué)的一種重要研究方法。尤其是動量守恒、角動量守恒、能量守恒定律的地位已經(jīng)超越了力學(xué)領(lǐng)域，對微觀高速運動也普遍適應(yīng)。本節(jié)將考慮一段時間過程，研究力的時間累積作用規(guī)律。一、質(zhì)點動量定理 動量定義——質(zhì)點的動量定理（微分形式1）表述：質(zhì)點所受的合外力等于質(zhì)點動量的變化率直角坐標系中xxdpdtF

=yydpdtF

=

p

=

mvdv d

(mv)dtdt——質(zhì)點的動量

單位：kgm/s=

F

=

ma

=

mdt\

F

=

dp注意

p

瞬時量，相對量，矢量。p

//vpx

=

mvx

,

py

=

mvy

,

pz

=

mvz

,vp

=

p2

+

p2

+

p2x

y

z包括了慣性和速度共同產(chǎn)生的機械效應(yīng)，描述物體運動狀態(tài)（狀態(tài)量，比速度更全面）。m定理只適應(yīng)于慣性系,對慣性系而言。F

=

ma比應(yīng)用更廣泛。vdt

dtF

=

m

dv

+

d

(m)適應(yīng)于變質(zhì)量系統(tǒng)也是相對論力學(xué)基本方程是牛頓定律原始形式（似乎有“預(yù)見”）二、沖量—力對時間的累積效應(yīng)1、沖量力的作用效果決定于力和作用時間，引進沖量概念。狀態(tài)變化相同dtF

=

dpdtF

=

dp定義：恒力沖量變力沖量iDtnDt

,Fi視為恒力t0

fi

t

Dt1Dti

內(nèi)元沖量變力處理復(fù)雜，有時可以等效一恒力即平均力2、平均力I

I

=

F

(t

-

t0

)

=

F

DtDIi

=

Fi

Dti

或

dI

=

Fdt

Fi

Dti0nttF

Dt

=

i

ii=1I

=

limnfi

￥Fdtt在某一時間內(nèi)，若有一恒力的沖量與一變力的沖量

相等，則這一恒力就稱為這一變力的平均力。即t0

dt一維0tF

(t

-t0

)

=

t

F

(t)dt0tt

-t0tF

(t)dtF

=0ttF

(t)dtF

=t

-

t0dI

=

Fdt注意：o

t1t2tFx+沖量的矢量性恒力變力沖量是過程量：對應(yīng)一段時間。幾何意義：面積

I

=

F

Dt恒力

I

=

F

Dttt0

變力

I

=

FdtI

//

F

dI

//

F

I

//

F0tFx

dtIx

=

t0yttI

=

F

dt0y

zzttI

=

F

dt

0ttFx

dtI

=三、沖量概念表述動量定理元沖量dt

F

=

dp

\

Fdt

=

dp

dI

=

Fdt——質(zhì)點的動量定理（微分形式2）或Fdt

=dpdI

=

dp0ttFdt

=

p

-

p0I

=I

=

mv

-

mv0

——質(zhì)點的動量定理（積分形式）表述：作用于物體上的合外力的沖量等于物體動量的增量用平均力表達：F實際意義：打樁、碰撞等只需要求平均力。F

(t

-

t0

)

=

mv

-

mv0

說明：p0兩態(tài)，累積作用關(guān)系，一段時間過程p定理只適應(yīng)于慣性系，

p

對慣性系而言。It=

mvx

-

mvx

0I

x

=

t

Fx

dt

=

Fx

(t

-

t0

)

=

px

-

px

0I

y

,

Iz0同理，三個方程任何沖量的分量只改變它自己方向上的動量分量。p0I0mvmv

IImvmv0pI

//

Dp矢量方程I

//DpI

=

p

-

p0

四、質(zhì)點組動量定理設(shè)由兩個質(zhì)點組成的系統(tǒng)：m1、m2牛頓第三定律內(nèi)力成對出現(xiàn)mv0mvImvmv0m1f12

m221fF1F2受外力：F1

,

F2

1dpdt受內(nèi)力：f21

,f12=

F

+

fdp2=

F

+

f121221

12d

(

pdt+

p

)

1

21

dt

1

12

=

F

+

F

+

f

+

ff21

+

f12

=

0

一般言之：設(shè)系統(tǒng)有n

個質(zhì)點，則n個方程相加：內(nèi)力成對出現(xiàn)，抵消為0——質(zhì)點組動量定理（微分形式1）表述：質(zhì)點組總動量的變化率等于系統(tǒng)外力的矢量和1

2dt\

dp

=

F

+

F

1

2p

=

p

+

p

12inp=

p

+

p

+....

+

pip

=

idtF

=

dpi

\

F

=iijidpdti j

?iF

=f

=

i

——質(zhì)點組動量定理（微分形式2）——質(zhì)點組動量定理（積分形式）表述：系統(tǒng)合外力的沖量等于質(zhì)點組總動量的增加F

)dt

=

dp

iiFdt

=

(00ttpip0idpF

)dt

=tFdt

=

t

(

兩邊積分00(tttt\Fdt

=Fi

)dt

=

p

-

p0i

ip

=

pi

只有外力才能改變系統(tǒng)的總動量，內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動量（改變系統(tǒng)機械能）。反映整體運動特征。（內(nèi)力的沖量和為0）五、動量守恒定律如果則有:nnii

ipp

==

m

v

i=1

i=1=常量dt=

dpF

=

F

i外=

0

F

=

Fi外即：若系統(tǒng)所受合外力保持為零，則質(zhì)點系的總動量保持不變。------動量守恒定律說明：矢量方程，分解為三個方程y,z同理

Fix

=

0

mi

vix

=

mi

vix0初末兩態(tài)過程關(guān)系，求速度方便nnii

ip=

m

v

i=1

i=1p

==常量守恒的意義：i

im

v可變。ni

ii=1對質(zhì)點：勻速直線運動m

v

保持不變，守恒條件：

Fi外=0：不受外力；外力和為0；系統(tǒng)內(nèi)力遠大于外力（碰撞、爆炸等）。只適應(yīng)于慣性系，速度相對于慣性系而言。物理學(xué)基本定律，比牛頓定律廣泛。x方向的動量守恒。qvmMLL

Fix

=

0,mg六*、火箭飛行原理（自學(xué)P61）火箭是宇宙航行的運載工具，其飛行原理是質(zhì)點系動量定理和動量守恒定律的重要應(yīng)用。與每秒鐘噴出的氣體質(zhì)量大小有關(guān)，噴出的質(zhì)量越大，推力越大。1)

火箭推力的計算:一定與兩個因素有關(guān)：u與向后噴出的氣體相對于火箭箭體的速度有關(guān)，噴出速度越大，推力越大；dmdt用動量定理，可以求出推力與前兩者關(guān)系。其噴氣速度相對于火箭為uumv中國航天設(shè)火箭在外層高空飛行，并忽略重力和空氣阻力的作用。為計算火箭的推力，考察任一時刻t

到t+dt

之間的元過程。如下圖示。t

時刻關(guān)鍵：以dt內(nèi)噴出的氣體dm為系統(tǒng)，求出其動量變化dpdtF

￠=

-F

=

dp中國航天v+dv

ut

+dt

時刻v

+

dvudm m

-

dm噴dm,火箭速度v

+

dvdm一方面跟著火箭有速度,另一方面以相對速度離開火箭，對地速度為v

+

dv

-uumv中國航天t

時刻設(shè)在t

時刻,

火箭的質(zhì)量為m,

速度為經(jīng)過dt時間,火箭向后噴出質(zhì)量為dm的燃氣相對于火箭噴氣速度為

um中國航天中國航天dm m

-

dmt

時刻vt

+dt

時刻v+dv

u v

+

dv在t+dt

時刻,

火箭質(zhì)量減為(m

-

dm),

速度增為

v

+

dv則此時燃氣dm對地速度由

v

fi

v

+

dv

-

u動量變化：dp

=

(v

+

dv

-u)dm

-

vdm

=

-udm

+

dmdv

?

-udm（二階無窮小量可略去）由動量定理,可得燃氣受到火箭的推力為:dp

=

(v

+

dv

-u)dm

-

vdm

=

-udm

+

dmdv

?

-udmdt則,火箭受到的推力為:F

￠=

-u

dmm中國航天udmdtv

+

dvdtF

￠=

dpdtF

=

u

dm此處把dm視為大于0，即噴氣流量dt因此，

火箭受到的推力為正比于噴氣速度

u

和噴氣質(zhì)量流量

dm/dt.看成火箭系統(tǒng)質(zhì)量減少率。dtdm

<

0如果從火箭系統(tǒng)看，質(zhì)量減少。如果把dmm中國航天udmdtdtv

+

dvdt則F

=-u

dmmdv

=

-u

dmF

=

-u

dm

=m

dvdt

dtdm

<

0

dv

>

02)火箭速度公式:(忽略重力和空氣阻力,系統(tǒng)動量守恒)mdv

=

-u

dm或者，火箭箭體與噴出燃氣dm組成系統(tǒng)動量守恒：mv

=

(m

-

dm)(v

+

dv)

+

dm(v

+

dv

-u)略去dmdv,化簡得：mdv

=

-u

dm若設(shè)開始時火箭的質(zhì)量為m0，初速度為零；燃料燒完后（t1

時刻）火箭的

質(zhì)量為m，速度為v1

.則：上式表明：火箭每噴出質(zhì)量為

dm

的氣體時，它的速度就增加了dv

。（假定噴氣速度

u

不變）100vmm

dmumdv

=

-01mmv

=

u

lnm中國航天dmudtv

+

dvmdv

=

-u

dmdm

<

001mv

=

u

ln上式說明火箭在燃料燒完后達到的速度與噴氣速度成正比，與火箭始末質(zhì)量比的自然對數(shù)成正比。對一般火箭，在目前技術(shù)條件下，噴氣速度u可要使火箭達到第一宇宙速度

，質(zhì)量比約24，但實際質(zhì)量比只達到10.所以一般采用多級火箭技術(shù)。達

2500ms-，1

7900ms-1v1

=

u

ln

Nm

mN

=m0

始末質(zhì)量比第一級火箭耗盡燃料時，殼體脫落。第二級繼續(xù)點火燃盡，如此下去，到最后一級使火箭送入預(yù)定軌道。各級火箭達到的速度為設(shè)各級火箭質(zhì)量比為N1,N2

,...,v1

,

v2

,

v3

,....v1

=

u

ln

N1v2

-

v1

=

u

ln

N2v3

-

v2

=

u

ln

N3相加最后火箭達到的速度：vn

=

u

ln（N1

N2vn

-

vn-1

=

u

ln

NnNn）vn

=

u

ln（N1

N2

Nn）例如三級火箭質(zhì)量比均為N

=

N

=

N

=

5，u=

2000ms-1

,1

2

3火箭最終速度可以達到10.6kms-1

,例如：火箭起飛時，從尾部噴出的氣體的速度為3000m/s，每秒噴出的氣體質(zhì)量為600kg。若火箭的質(zhì)量為50t。求火箭獲得的加速度。解：已知dmmdv

=

-udtdm

=

-600kg

/

su

=

3000ms-1

m

=

50

·103

kg3000a

=dv

=

-

u dm

=(-600)50

·103dt

m

dt=

36ms-2dt或F

=u

dm

=ma尾部噴出的氣體的速度為3000

m/s，每秒噴出的

氣體質(zhì)量為600kg。若火箭的質(zhì)量為50t。求火箭獲得的加速度七、動量方法的應(yīng)用（習題課）思路選定系統(tǒng)。分清系統(tǒng)與外界明確過程。時間過程始末。多階段分別處理。受力分析。分清內(nèi)力、外力。列方程求解。

F外

?

（0

定理）；

F外

=

（0

守恒）；

Fix

=0,x方向守恒1、恒力直線運動（與牛頓定律解同一問題）單體問題

Fx

(t

-

t0

)

=

m(v

-

v0

)

Fy

=

0v

（牛頓定律求a）多體聯(lián)動(m1

g

-T

)t

=

m1v

-

0(T

-

m2

g)t

=

m2v

-

0m1

g2m

gvdta

=

dv上升：下落：

v0

=

2ghT

D

t

=

M

V

;T

Dt

=

-mV

-(-mv0

)mv0

=

(M

+

m)Vv2

=

V

2

+

2aHv

=

0a=

M

-

m

gM

+

m向上為M

>m

正拉緊：多個過程分別處理右圖v

=

0t

=0m

=1kg

t

=

0.3s,

v=

?I

=面積=m(v

-v0

)v

=

4m

/

s2、變力直線運動F

=

F

(t)00ttF

(t)dtm

=1kg0t1+

2t)dt

=

t

+

t

2v

=

（=m(v

-v

)

如F=1+2t,vt

=0=

0如F

=ct

2i

+btj3、曲線運動

x,

y方向分別為變力直線運動4、沖擊、碰撞、爆炸等迅變過程mvmv

a（N

-mg）Dt

=

2mvsina2gh1

)]（N

-

mg）Dt

=

m[2gh2

-(-mv

=

(M

+

m)VV

2lT

-(M

+

m)g

=

(M

+

m)am11m2m1v1v￠2b

v￠1

1

1

1

2

2cosa￠￠m

v

=

m

v+

m

v

cos

b1

1

2

2m

v￠sin

a

-

m

v￠sin

b

=

0xy5、變質(zhì)量系統(tǒng)F

=

m

dv

+

v

dmdt

dtv不變時，dtF

=

v

dmFvF

(x)

=

?vdmdtdmdtF

=

?F

=

v例題1：如右圖，求轉(zhuǎn)動一周，合力沖量，張力沖量。轉(zhuǎn)動半周，張力的沖量。解：（1）I合=Dp=0Tv\

I=

mg

2p

RRTmgv勻速圓周運動

Ig

+

IT

=

0沖量概念理解，過程量（2）I合=2mvvI

=

mg

p

RgTgv\

I=

I

2

+

I

2=

m

(

gp

R

)2

+

4v2合RTvmg勻速圓周運動Fvl

xm

=

lxdtdt

dtdtF

-

mg

= =

m+

v

=

v例題2：質(zhì)量線密度

l

的軟鏈巻于地面，現(xiàn)以勻速

v

提起。求在

x

高處的提力。解：以上提部分為研究對象，質(zhì)量為m變質(zhì)量系統(tǒng)勻速dm

=

l

dx

=

lvdt

dt\

F

=

mg

+

lv2

=

lxg

+

lv2

=

l(gx

+

v2

)dp dv

dt

dm

dmv

=

dx例

3

一質(zhì)量均勻分布的柔軟細繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上，如果把繩的上端放開，繩將落在桌面上。試證明：在繩下落的過程中，任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。mFdmm變變質(zhì)量系統(tǒng)dmg解：方法1，取dm為研究對象設(shè)t時刻已經(jīng)有長x

質(zhì)量m

一段柔繩落至桌面，隨后的dt

時間內(nèi)將有質(zhì)量為dm以速度

v

落于桌面而停止。m

=

rxmFdmdmg桌面對dm的沖力為F向上。以dm為研究對象，用動量定理，可取向上為正，則：(F

-

dmg)dt

=

0

-(-vdm)dtv

=

dxdm

=

rdx2\

F

=

v

dm

=

rv

dx

=

rvdt

dtv2

=

2gxF

=

2rxg

=

2mgxxv2

=

2gxdmFdmF

=

2rxg

=

2mgdm對桌面的沖力大小為

2mg

，方向向下。m已落到桌面上的柔繩的重量為mg，則對桌面的壓力為mg.故總壓力N為：N

￠=

3mgN

￠F方法2：以落在桌面的部分為研究對象，以向下為正方向。變質(zhì)量系統(tǒng)。m

=

rxdxr

=

M

=

m

v

=L

x

dtxv2

=

2gxm

xdmxdmmN系統(tǒng)動量變化為。已的部分動量不變。按動量定理：dt

時間內(nèi)有dm

質(zhì)量加入系統(tǒng)（長度dx)。0

-vdm落在桌上(mg

-

N

)dt

=

0

-

vdmdm

=

rdxdt

dt(mg

-

N

)

=

-v

dm

=

-vr

dx

=

-rv2(mg

-

N

)

=

-rv2

=

-2rxg

=

-2mg\

N

=

3mg下落過程中柔繩對桌面的壓力N

￠=3mg方向向下mg

N

￠mMl光滑類似例題4：m

陷落時，M

滑行的距離多大？陷落后，兩物體運動情況如何？解：以m,

M為系統(tǒng)。先設(shè)

v,

V

均向右。水平動量守恒mv

+MV

=0m(vmM

+V

)

+

MV

=

0mMmvV

=

-M

+

mmMlLmMl光滑類似mMlL=

-dX

m

dxmMdt M

+

m

dtmMdX

=

-

m

dxM

+

mmlX

=

-M

+

m積分得向左最后仍然靜止mV

=

-

vmMM

+

m3t

。出4

·105例題5：子彈在槍筒理受合力F

=400

-口時合力為0，出口速度為v

=300m

/s。求（1）子彈在槍筒內(nèi)運行時間。子彈在槍筒中受的沖量。子彈的質(zhì)量。解：（1）

F

=0（出口），t

=0.003s0t（2）I

=Fdt

=

0.6Ns（3）

I

=

mv

-

0,

m

=

2

·10-3

kg3t4

·105F

=

400

-m1m2例題6：右圖，求物體加速度。輕滑輪m2

g1m

gT

T解一：用牛頓第二定律求解，略解一：用動量定理求解(m1

g

-T

)t

=

m1v

-

0(T

-

m2

g)t

=

m2v

-

012

gtm

-

m

\

v=m1

+

m2

v

=

at\

a

=

m1

-

m2

gm1

+

m2前面已講2-3

功與能牛頓定律，是力對物體的瞬時作用規(guī)律。如果考慮一個時間過程，力的作用與物體狀態(tài)變化的關(guān)系即動量定理和動量守恒定律。動量定理是力對時間的累積作用規(guī)律（由牛頓定律導(dǎo)出）。如果考慮一個空間過程，力的作用與物體狀態(tài)變化的關(guān)系即力對空間的累積作用規(guī)律又會如何？這就是動能定理、功能原理和機械能守恒定律（仍然由牛頓定律導(dǎo)出）。本節(jié)介紹力對空間的累積作用規(guī)律。一、功 功率考慮一段空間過程，力的效果?如圖F

=1,

Dx

=

2F

=

2,

Dx

=1F狀態(tài)變化相同有同樣效果由此引入功來描述力的累積作用1、功恒力直線運動

aFFF//DrF//

a定義:功等于力與位移的標積。FFF//DrF//A

=

F

DrA

=

F//Dr

=

F

Dr

cosa

=

F

Dr

r

cosa

(J

)

A

=

F

Dr

=

F

DFrDaFrD2a

?

(0,

p

),

A

>

02a

?

(p

,p

),

A

<

0變力曲線運動FiDririri

+

Dri

b曲線無限分割為許多元位移。Dri

—直線；Fi

視為恒力2a

=

p

？A

=

F

Dr

=

F

Dr

cosa

(J

)iDAi

=

FiDr

,

i

=1,

2,...naa

=

0,

A

=

F

Dra

=

p,

A

=

-F

DraiFiDrriiir

+

Dr

abDAi

=

FiDri

,

i

=1,

2,...nnbiaF

drnfi

￥i=1A

=

lim

F記Dr

為=變力曲線運動功baF

drA

=iFririri

+

Dri

Db功的疊加原理多個力作用nF

=

Fii=1

(bbbiiaaaF

drA

=F dr

=F

)

dr

=an\

A

=

Aii=1即合力的功等于各分力的功的代數(shù)和——功的疊加原理直角坐標系中功表示：dA

=

F dr

=

(Fxi

+

Fy

j

) (dxi

+

dyj

)

=

Fx

dx

+

Fy

dy

0

0x,

yx

,

yA

=Fx

dx

+

Fy

dy曲線積分一維直線運動：F

(x)xx0F

(x)dxA

=如：F

=-kx022012xxA

=-kxdx

=

k

(x-

x

)自然坐標系中功表示：dA

=

F dr

=

Fds

cosa

=

Ftdsdr

=

dsdr

abFFtbaFtdsA

=F

(x)xxx0dxAdA功的幾何意義dAaAFtsFnbabsas

dsoo注意功是標量（有正負）、過程量（空間過程，與路徑有關(guān)）、相對量(與參照系有關(guān)）“作用點”位移F作用力與反作用力功的總和（內(nèi)力功總和）不一定為0dr1

+

f21dr2

?

0f12(

d

?

d

)r1

r2靜摩擦力不一定不做功，滑動摩擦力不一定只做負功2、功率描述力做功的快慢和效率dtN

=,

N

= =

F

dr

=

F v

=

Fv

cosaDA

dADt

dt

(瞬時量）二、動能定理1、質(zhì)點動能定理dt

2tdA

=

F

ds

=

m

dv

ds

=

mvdv

=

d

(

1

mv2

)令\

dA

=

dEkk

0bkaEdEdA

=2EkkE

=

1

mv2FtFds力對空間的累積作用規(guī)律22012kk

0\

A

=

E

-

E

=m(v

-

v

)2

2012\

A

=

Ek

-

Ek

0

=m

(v

-

v

)合外力的功等于質(zhì)點動能的增加——質(zhì)點動能定理dA

=

dEk——質(zhì)點動能定理微分形式注意Ek因運動具有的能量（做功本領(lǐng)）；狀態(tài)量；相對量；標量。區(qū)別于功（過程量）和動

量（矢量）。力對空間的累積作用規(guī)律，兩態(tài)過程關(guān)系。動能變化的原因是力做功。只適應(yīng)于慣性系，求速率v方便。v0F

v2、質(zhì)點組動能定理k

dA

=

dEm1f12

m221fF1F2\1k1dA

=

(F

+

f)

dr

=

dEk

2f12

)

dr2dA2

=

(F2

+1

21

1

=

dEdr2

)

+(

f21

dr1

+

f12

(F1

dr1

+

F2

dr2

)

=

d

(Ek1

+

Ek

2

)dA外+dA內(nèi)=dEkA外

+

A內(nèi)

=

Ek

-

Ek

0

=

DEk外力的功與內(nèi)力的功之和等于系統(tǒng)總動能的增加——質(zhì)點組動能定理。212i

im

v=Ek

=

Eki

A外

+

A內(nèi)

=

Ek

-

Ek

0

=

DEk一對內(nèi)力的功：dr1

+

f12

dr2

=

f12

d

(r2

-

r1

)

dA內(nèi)=f21r1r212r12令

r12

=

r2

-

r1

12\

dA

=

f

dr12?

0——兩質(zhì)點的相對位置矢量內(nèi)r1r2r1212

\

dA內(nèi)

=

f12

dr12

?

0可見，一對內(nèi)力的功僅決定于內(nèi)力和質(zhì)點相對位移的標積。還可以進一步證明：dA內(nèi)=f12dr12一對內(nèi)力的元功等于于內(nèi)力和內(nèi)力方向相對位置變化的乘積。

內(nèi)力方向上的相對位移一對內(nèi)力的元功等于于內(nèi)力和內(nèi)力方向相對位置變化的乘積。lss

+

lA

=

fs

+[-

f

(s

+

l)]

=

-

fl垂直斜面方向（正壓力方向）無相對位移，一對正壓力之功的和為0.三、勢能 保守力力對物體做功，不僅使動能變化，還可能使另一種能量——勢能變化。動能與速度有關(guān)，勢能與位置有關(guān)。1、保守力與非保守力（1）幾種典型力之功重力的功ydyOdsamg

bhaba

hbahh=-mgdy

=mg(ha

-

hb

)bbaamg

cosa

dsAab

=mg ds

=

決定于始末位置，與運動路徑無關(guān)有心力的功badrFrr

+

dr

arOdrabababrbarF

drFdrA

==F

dr

cosa

=rb彈簧力F

=

-k

(r

-

r0

)arbabrFdrA

=22002112212ab2ab=

k

(r

-

r

)-

k

(r

-

r

)=

k

(l-

l

)Olallbr0ar0r0raF

(r)Olallbr00r0rraF

(r)彈簧自然長度xoF.a

.bx2212ababA

=

k

(x-

x

)arbabrFdrA

=彈簧力功221)2ab=

k

(l-

lrbraFMmdrabrdrr萬有引力r

2F

=

-G

Mmaabrrb

FdrA

=1

1ab=

-GMm(

-

)r

r庫侖力r

2F

=

k

q1q2arbabrFdrA

==

kq

q

(

1

-

1

)1

2

r

ra

brrarba1qb2Fq以上幾種力做功均與路徑無關(guān)ab摩擦力tF

=

-mmgbababammgsA

=Ftds

=

-摩擦力做功與路徑有關(guān)根據(jù)做功特征，有兩種性質(zhì)的力：保守力——做功只與始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)的力或沿閉合路徑一周做功為0（始末位置同）即,

F dr

=

0非保守力——做功與路徑有關(guān)。2、勢能A重

=

mg(ha

-

hb

)2

212a

bA

=

k

(l-

l

)彈a

br

rA

=

-GMm(

1

-

1

)引通式A保ab

=

Epa

-

Epbp=

-DEEp定義：——保守力的功等于勢能的減少—勢能（位置的函數(shù)）Epa

,

Epb——分別為a、b點的勢能因為上述定義與勢能變化聯(lián)系，所以必須選擇勢能0點（參考點），才能確定各點的勢能值。A保ab

=

Epa

-

Epb若選擇R點為參考點，則EpR

=

0A保aR

=

Epa

-

EpR

=

Epa

,paaF

drE

=參考點即，某點a的勢能等于從a點到參考點R，保守力做的功。參考點不同，勢能將差一常數(shù)，但各點勢能之差不變。A保ab

=

(Epa

+

C)

-(Epb

+

C)pE

=mgh

+

C21

kl

2

+

Cr-

GMm

+

CpE

=mgh21

kl

2r特定的參考點C=0.(h

=

0,

Ep

=

0)p(l

=

0,

E

=

0)-

GMm

(r

=

￥,

Ep

=

0)注意勢能屬于有保守力相互作用的系統(tǒng)（故稱為保守內(nèi)力)。如重力勢能屬于物體與地球；彈簧勢能屬于物體與彈簧；太陽與地球之間的引力勢能屬于太陽和地球。簡稱某物體的勢能。A保內(nèi)=-DEp引入勢能的