高中數(shù)學(xué)-平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)課件設(shè)計(jì)

2.4平面向量的數(shù)量積

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律.2.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,并掌握向量垂直的條件.3.通過問題的解決,培養(yǎng)觀察問題、分析問題和解決問題的實(shí)際操作能力;培養(yǎng)交流意識(shí)、合作精神;培養(yǎng)敘述表達(dá)自己解題思路和探索問題的能力.

自主學(xué)習(xí):兩個(gè)非零向量夾角的概念：OBA復(fù)習(xí)思考:向量的加法向量的減法實(shí)數(shù)與向量的乘法兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果向量向量向量？？問題提出1.向量的模和夾角分別是什么概念？當(dāng)兩個(gè)向量的夾角分別為0°，90°，180°時(shí)，這兩個(gè)向量的位置關(guān)系如何？

2.任意兩個(gè)向量都可以進(jìn)行加、減運(yùn)算，同時(shí)兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)向量，并且向量的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律.由于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行乘法運(yùn)算，我們自然會(huì)提出，任意兩個(gè)向量是否也可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？對(duì)此，我們從理論上進(jìn)行相應(yīng)分析.

探究（一）:平面向量數(shù)量積的背景與含義

W＝︱F︱︱s︱cosθ

思考2：功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量所確定，數(shù)學(xué)上，我們把“功”稱為向量F與s“數(shù)量積”.一般地，對(duì)于非零向量a與b的數(shù)量積是指什么？思考1：如圖，一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，且力F與位移s的夾角為θ，那么力F所做的功W是多少？sFθ思考3：對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？

思考4：特別地，零向量與任一向量的數(shù)量積是多少？

0·a=0思考5：對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b，其數(shù)量積a·b何時(shí)為正數(shù)？何時(shí)為負(fù)數(shù)？何時(shí)為零？當(dāng)0°≤θ＜90°時(shí)，a·b＞0；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)，a·b＜0；當(dāng)θ＝90°時(shí)，a·b＝0.a·b=︱a|︱b︱cosθ思考6：對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，那么︱a︱cosθ的幾何意義如何？aθbOABA1思考7：對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么該投影一定是正數(shù)嗎？向量b在a方向上的投影是什么？

不一定；︱b︱cosθ.|a|cosθ|b|cosθ的幾何圖形及其表示的幾何意義,|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．θ為銳角時(shí)，|b|cosθ＞0θ為鈍角時(shí)，|b|cosθ＜0θ為直角時(shí)，|b|cosθ=0思考8：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積a·b=︱a|︱b︱cosθ的幾何意義如何？

數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘積，探究（二）：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

思考1：設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？a⊥ba·b＝0思考2：當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b等于什么？當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b等于什么？特別地，a·a等于什么？當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝︱a︱︱b︱；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.思考3：︱a·b︱與︱a︱︱b︱的大小關(guān)系如何？為什么？

︱a·b︱≤︱a︱︱b︱

思考4：a·b與b·a是什么關(guān)系？為什么？a·b＝b·a思考5：對(duì)于實(shí)數(shù)λ，(λa)·b有意義嗎？它可以轉(zhuǎn)化為哪些運(yùn)算？(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)思考6：對(duì)于向量a，b，c，(a＋b)·c有意義嗎？它與a·c＋b·c相等嗎？為什么？A1B1ABOCabca＋bθθ1θ2思考7：對(duì)于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意義嗎？(a·b)·c與a·(b·c)相等嗎？為什么？

(a·b)·c≠a·(b·c)思考8：對(duì)于非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么b＝c嗎？思考9：對(duì)于向量a，b，等式(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是否成立？為什么？思考10：對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？

平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律1平面向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，我們把數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

，即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0．2向量的數(shù)量積的幾何意義:3.平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判斷兩向量垂直的依據(jù))

（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|·|b|，當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=?|a|·|b|.特別地(用于計(jì)算向量的模)（5）|a·b|≤|a|·|b|（4）(用于計(jì)算向量的夾角)4.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:(交換律)(數(shù)乘結(jié)合律)(分配律)練習(xí).判斷正誤1．若a=0，則對(duì)任一向量b

，有a

·

b=0．2．若a≠0，則對(duì)任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a

·b=0，則b=0.4．若a

·

b=0，則a

、

b中至少有一個(gè)為0．5．若b

≠0，a

·

b=b

·

c，則a=c.6．若a

·

b=a

·

c,則b≠c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立．7．對(duì)任意向量a,有√×××××√平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律理論遷移例1

已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a與b的夾角為120°，求a·b.

－10

例2已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a－3b).

－72例3已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a與b不共線.求當(dāng)k為何值時(shí)，向量a＋kb與a－kb互相垂直？

：1在△ABC中，，求解：2.已知△ABC中,AB=a,AC=b,當(dāng)a·b<0,a·b=0時(shí),△ABC各是什么三角形？當(dāng)a

·

b＜0時(shí)，cos<0，為鈍角三角形當(dāng)a

·

b=0時(shí)，為直角三角形鞏固練習(xí)3.在△ABC中a=5,b=8,C=60o,

求小結(jié)作業(yè)1.向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時(shí)還有一系列的運(yùn)算性質(zhì)，但與向量的線性運(yùn)算不同的是，數(shù)量積