微積分早期復(fù)習(xí)注意修改時(shí)間

B期末試題（200519日）（411

n n廣義積分0

sin

（sgnx

當(dāng)x當(dāng)x2 2

當(dāng)x敘述一致連續(xù)的定義：若00xtI(|xt||f(xf(t|f(xI 若級(jí)數(shù)axn，bxnRRRR，則

b)xnn

收斂半徑為AA.R1

R2

R1R2

若級(jí)數(shù)un絕對(duì)收斂，且 un0，limn1，則級(jí)數(shù)vn的斂散情況是[A

n

A.絕對(duì)收斂；B.條件收斂；C.可能絕對(duì)收斂也可能條件收斂；D.xf(x在區(qū)間[abF(x)x

f(t)dt在區(qū)間[ab滿足[C 4)．下列陳述中，與“數(shù)列xn不收斂于a”等價(jià)的是[D]nA.0nnC.0n

|xna|；|xna|；

例)（5分/小題321)．若0p N nN都有|xnpxn|，則數(shù)列xn收斂1nn1nk錯(cuò)誤xnkk

|xnpxn|n1

n0pNp1nN|

x|

n n若正項(xiàng)級(jí)數(shù)unn

1nn

錯(cuò)誤。例如級(jí) 2

收斂，但

n1

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ln(1nln2n)在區(qū)間[a,a 正確x[aa],ln(1nln2n)ln(1nln2nln(1nln2f(x在區(qū)間[ab可積，則函數(shù)|f(x|在區(qū)間[ab正確[xk1xk上，函數(shù)|f(x|f(x在此4（10分）

f

為周期，在區(qū)間[an(n0,1,)bn(n

f(xFourierf(xc（c是常數(shù)）Fourier解a

f(x)cosnxdx，

f(x)sinnxdx f(xcFourieran,bna

f c)cosnxdx，

f c)sin a

f(t)cos c)dt。因?yàn)閒(t),cos c)都以 所 a f(t)cosn(tc)dt f(t)(cosntcos sinntsin ancosncbnsin 同 bnbncosncansin 5（12分6分（42分 已知級(jí)數(shù)u2nu2n1都收斂，能否斷定級(jí)數(shù)un

能。因?yàn)榧?jí)數(shù)u2nu2n1都收斂，所以級(jí)數(shù)(u2n1u2n)收斂，且limun0

級(jí)數(shù)un的部分和數(shù)列為Sn。因?yàn)?u2n1u2n收斂，所以limS2n

limun0，所以limS2n1存在且limS2n1limS2n，所以limSn存在，級(jí)數(shù)un

已知級(jí)數(shù)un收斂，能否斷定級(jí)數(shù)u2nu2n1n不能n

x2m6（10分設(shè)a1a2 an，討論廣義積分

|x

||x

|x

dx an性，其中m解a

x2m

dxn2m1時(shí)收斂，當(dāng)n2m1時(shí)發(fā)散。n|xa1||xa2 |xan

an

x2mnan0[anan10，廣義積分an

|xa1||xa2 |xan x2m

|xa||x

|x

dx發(fā)散 x2m

anan0|x

||xa |x

沒(méi)有奇點(diǎn)| x2m0|x

||x

|x

dxa

x2m

an

dx收斂 n|xa1||xa2 |xan x2man0且n2m1

|x

||x

|x

dx an他情形發(fā)散 7（12分．求級(jí)數(shù)n(n11nn1nn(n

1，所以收斂半徑R 在端點(diǎn)上，n(n1)收斂 n(n1)收斂 所以收斂域?yàn)閇11

1S

當(dāng)xn(n1)S(x)，則

當(dāng)x n當(dāng)x(1,1)時(shí)，S'(x) xnn1

S'(0)0S"(x)xn1

1。1xS'(x)0S"(t)dtln(1x)x S(x0S'(t)dt0ln(1t)dt1xln(1xx 1xln(1x)

當(dāng)x原式

當(dāng)x

2ln2原式

當(dāng)x

8（8分二選一

當(dāng)x設(shè)不是的整數(shù)倍，證明數(shù)列{sin(n證 因?yàn)閗,所以sin0,cos假設(shè)數(shù)列{sinnlimsinnlim(sinncoscosnsin)

則limsin(n1)所以數(shù)列{cosn

AcosBsin

再將cos(n1)cosncossinnsin

BcosAsinB,即AsinB(1cos(1)sin(2)(1cos):0B(sin2(1cos)2)2B(1cos

B

代入

A(1cos)

A在恒等式sin2ncos2n1兩邊取極限：A2B21,01,b b設(shè)n

（n=1，2，…證明由遞推易知，

1，

。設(shè)數(shù)列收斂，則lim

1。因?yàn)閘im

lim

1，所以級(jí)數(shù)a an n

n

n

nbb

n1斂散。故我們只要證明

anan

n1nnbnnn

(b

b)b

blimbnbn bn

k1

knkn

n

lim

存在，所以lim

存在，即級(jí)數(shù)

an收斂，從而

an收斂

收斂。因?yàn)閎1an