2023學年完整公開課版數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法我是一毛我是二毛我是三毛我是誰？我不是四毛！我是小明！不完全歸納猜：四毛！完全歸納？一、創(chuàng)設(shè)情境，開啟學生思維解:猜想數(shù)列的通項公式為驗證:同理得啊,有完沒完啊?

正整數(shù)無數(shù)個!對于數(shù)列｛｝，已知，（1）求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？（一）視頻播放你見過多米諾骨牌游戲嗎?請欣賞一下那場景!對我們解決本題證明有什么啟示？二、引導探究，尋求解決方法1、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下條件（2）事實上給出了一個遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下請同學們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件(二)師生互助多米諾骨牌游戲原理（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當n=1時，猜想成立根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。通項公式為的證明方法（2）若當n=k時猜想成立，即，則當n=k+1時猜想也成立，即。三、類比問題，師生合作探究（一）類比歸納一般的，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）【歸納奠基】證明當n取第一個值n0(n0∈N*

)時命題成立;（2）【歸納遞推】假設(shè)當n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.從而就可以斷定命題對于n0開始的所有正整數(shù)n都成立。

這種證明方法叫做數(shù)學歸納法。（四）提煉概念（三）能力提升用數(shù)學歸納法證明

證明：（1）當n=1時，左邊=12=1右邊=1等式成立(2)假設(shè)當n=k時等式成立,即那么,當n=k+1時即當n=k+1等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何都成立.湊出目標用到歸納假設(shè)

計算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法進行證明.例2已知數(shù)列，，，…，…，，解：

可以看到，上面表示四個結(jié)果的分數(shù)中，分子與項數(shù)n一致，分母可用項數(shù)n表示為3n+1,于是可以猜想

下面我們用數(shù)學歸納法證明這個猜想.(1)當n=1時，猜想成立.(2)假設(shè)n=k時,猜想成立，即那么所以，當n=k+1時,猜想也成立.例3求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…?(2n-1)練習:證明:(1)當n=2時,

左邊=不等式成立.(2)假設(shè)當n=k(k≥2)時，不等式成立,即有

則當n=k+1時,即當n=k+1時,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對一切都成立

則當n=k+1時,

練習:證明:(1)當n=1時,左邊=,(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時原等式成立，即右邊=此時，原等式成立.那么n=k+1時,這就是說，當n=k+1時,命題也成立.由(1)(2)知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.五、小結(jié)反思，學生提高認識（一）一種方法：一種用來證明某些“與正整數(shù)