2023年高考數(shù)學(xué)試題甲卷文科（附答案版）

文科數(shù)學(xué)試題第1頁（共5頁）2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合，，則A． B．C． D．2． A． B．1C． D．3．已知向量，，則A． B．C． D．4．某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為A． B．C． D．5．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，，則A．25 B．22C．20 D．156．執(zhí)行右邊的程序框圖，則輸出的A．21 B．34C．55 D．897．設(shè)，為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若，則A．1 B．2C．4 D．58．曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B．C． D．9．已知雙曲線C：的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則A． B． C． D．10．在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，則該棱錐的體積為A．1 B． C．2 D．311．已知函數(shù)．記，，，則A． B．C． D．12．函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則的公比為________．14．若為偶函數(shù)，則________．15．若x，y滿足約束條件則的最大值為________．15．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn)，則球O的半徑的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求bc；（2）若，求△ABC面積．

18．（12分）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；（2）設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．19．（12分）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表mm對(duì)照組試驗(yàn)組0.1000.0500.0102.7063.8416.635（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異?附：，20．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，求a的取值范圍．21．（12分）已知直線與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，．（1）求p；（2）設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，且，求△MFN面積的最小值．

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）已知點(diǎn)，直線l：（t為參數(shù)），α為l的傾斜角，l與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A，B，且．（1）求α；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程．23．[選修4－5：不等式選講]（10分）設(shè)，函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若曲線與x軸所圍成的圖形的面積為2，求a．

答案單選題

本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求。1題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分設(shè)全集，集合

，，則（）ABCD正確答案A2題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分（）A-1B1C1-iD1+i正確答案C3題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分已知向量，，則=（）ABCD正確答案B4題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（）ABCD正確答案D5題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若則（）A25B22C20D15正確答案C6題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分執(zhí)行右邊的程序框圖，則輸出的B=（）A21B34C55D89正確答案B7題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若（）A1B2C4D5正確答案B8題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）ABCD正確答案C9題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則ABCD正確答案D10題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2，，則該棱錐的體積為（）A1BC2D3正確答案A11題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分已知函數(shù)，記，則()ABCD正確答案A12題型：?jiǎn)芜x題|分值:5分函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4正確答案C填空題

本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在題中橫線上。13題型：填空題|分值:5分記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,若，則的公比為________正確答案14題型：填空題|分值:5分若為偶函數(shù)，則________正確答案215題型：填空題|分值:5分若x，y滿足約束條件的最大值為________正確答案1516題型：填空題|分值:5分在正方體中，AB＝4，O為AC1的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn)，則球O的半徑的取值范圍是________正確答案簡(jiǎn)答題（綜合題）

本大題共70分。簡(jiǎn)答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17題型：簡(jiǎn)答題|分值:12分記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）求bc；（2）若，求面積正確答案（1）1

（2）解析（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．小問1詳解因?yàn)?，所以，解得：小?詳解由正弦定理可得變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為18題型：簡(jiǎn)答題|分值:12分18.如圖，在三棱柱中，（1）證明：；（2）設(shè)，求四棱錐的高正確答案(1)由平面得，又因?yàn)?，可證平面，從而證得平面平面；(2)過點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求小問1詳解證明：因?yàn)槠矫妫矫?所以,又因?yàn)?，即，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面（2）1如圖，過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為因?yàn)槠矫?，平?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以即，解得，所以，所以四棱錐的高為1．19題型：簡(jiǎn)答題|分值:12分一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）試驗(yàn)結(jié)果如下：（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異?附：，正確答案（1）19.8（2）（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能解析（1）直接根據(jù)均值定義求解；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.小問1詳解試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：小問2詳解（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為18.8，后續(xù)依次為，故第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以，故列聯(lián)表為：（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異20題型：簡(jiǎn)答題|分值:12分已知函數(shù)（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，求a的取值范圍正確答案（1）在上單調(diào)遞減

（2）解析（1）代入后，再對(duì)求導(dǎo)，同時(shí)利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡(jiǎn)并判斷得恒成立，再分類討論三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識(shí)判斷得時(shí)不滿足題意，從而得解.小問1詳解所以因?yàn)樗运陨蠁握{(diào)遞減小問2詳解法一：構(gòu)建則若則所以，滿足題意；滿足題意；綜上所述：，所以法二：因?yàn)橐驗(yàn)楣噬虾愠闪?，所以?dāng)，滿足題意；當(dāng)，所以，滿足題意；注意到若上單調(diào)遞增，注意到，不滿足題意；若，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，此時(shí)上單調(diào)遞增，則在，不滿足題意；綜上：21題型：簡(jiǎn)答題|分值:12分已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，（1）求p；（2）設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值正確答案（1）（2）解析（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長(zhǎng)即可得出p；（2）設(shè)直線，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．小問1詳解設(shè)由所以即小問2詳解因?yàn)榈男甭什豢赡転榱悖O(shè)直線22題型：簡(jiǎn)答題|分值:10分選做題[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知點(diǎn)，直線，α為l的傾斜角，l與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A，B，且（1）求α；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程[選修4－5：不等式選講]（10