指數(shù)函數(shù)的概念高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A必修 市賽獲獎(jiǎng)

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)

通過實(shí)際問題了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景（重點(diǎn)）01

理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義（重點(diǎn)、難點(diǎn)）02

03

04

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念學(xué)科素養(yǎng)

指數(shù)函數(shù)的概念數(shù)學(xué)抽象

直觀想象

用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及解析值

邏輯推理利用指數(shù)函數(shù)的概念求參數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

通過由抽象到具體，由具體到一般的思想總結(jié)指數(shù)函數(shù)概念數(shù)學(xué)建模

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念01知識回顧RetrospectiveKnowledge冪函數(shù)的概念

對于冪ax(a>0)，我們已經(jīng)把指數(shù)的范圍拓展到了任意實(shí)數(shù)，通過函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)和對冪函數(shù)的研究，我們掌握了研究函數(shù)的一般方法：背景概念圖像與性質(zhì)應(yīng)用這節(jié)課開始，我們將繼續(xù)研究其他類型的基本初等函數(shù).02新

知

探

索NewKnowledgeexplore問題１隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，Ａ，Ｂ兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對措施，Ａ地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而Ｂ地則取消了景區(qū)門票．下表給出了Ａ，Ｂ兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．A地景區(qū)大約每年增長10萬次

為了有利于觀察規(guī)律，根據(jù)表，分別畫出Ａ，Ｂ兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖:Ａ地:游客人次近似于直線上升(線性增長),年增加量大致相等(約為１０萬次);

Ｂ地：游客人次則是非線性增長，年增加量越來越大，但從圖象和年增加量都難以看出變化規(guī)律．我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的．能否通過對Ｂ地景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？

增加量、增長率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個(gè)很重要的量．求年增加量用減法；求年增長率，可以用除法（用每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到）：結(jié)果表明,Ｂ地景區(qū)的游客人次的年增長率都約為0.11是一個(gè)常數(shù)．像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式,我們稱為指數(shù)增長.因此,B地景區(qū)游客人次近似于指數(shù)增長.增加量=變后量-變前量增長率=增加量/變前量從２００１年開始，Ｂ地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：這是一個(gè)函數(shù)，其中其中底數(shù)是一個(gè)常數(shù)，指數(shù)x是自變量.B景區(qū)：2001年的游客人次為278萬；1年后，游客人次是2001年的1.11倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；············x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；如果設(shè)x年后的游客人次是2001年的y倍，那么:問題２

當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，則：············常數(shù)這也是一個(gè)函數(shù)，其中其中底數(shù)是一個(gè)常數(shù)，指數(shù)x是自變量.如果生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳14含量為y，那么:

如果用字母a代替上面兩式中的底數(shù)1.11和，那么都可以表示為：y=ax的形式,其中指數(shù)x是自變量,底數(shù)a是一個(gè)大于0且不等于1的常量．

一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域?yàn)镽.探究：指數(shù)函數(shù)定義中為什么規(guī)定a大于0且不等于1?

一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域?yàn)镽.是冪函數(shù)

練習(xí)1

判斷下列函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)：（1）

…………（）（2）

…………（）

（3）

…………（）（4）

…………（）（5）

…………（）（6）

…………（）××√××√【1】ax的系數(shù)為1;【2】ax的指數(shù)為自變量;【3】ax的底數(shù)是大于零且不等于1的常數(shù).只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件的函數(shù)，才是指數(shù)函數(shù).練習(xí)2

已知函數(shù)f(x)=(a2-a-1)(a+1)x為指數(shù)函數(shù),則a=

．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(a2-a-1)(a+1)x為指數(shù)函數(shù)，所以a2-a-1=1，a+1>0且a+1≠1，

解得a=2．例1

已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，(1)，f(-3)的值．例２

（1）在問題１中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，Ａ地的景區(qū)門票價(jià)格為150元，（B地取消了景區(qū)門票）比較這15年間Ａ，Ｂ兩地旅游收入變化情況．這說明，在2001年，游客給A地帶來的收入比B地多412000萬元；

隨后10年，雖然f(x)＞g(x)，但g(x)的增長速度大于f(x)；

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，并考慮到實(shí)際情況，在2011年2月某個(gè)時(shí)刻就有f(x)＝g(x)，這時(shí)游客給A地帶來的收入和B地差不多；

此后，f(x)＜g(x)，游客給B地帶來的收入超過了A地；

由于g(x)增長得越來越快，在2015年，B地的收入已經(jīng)比A地多了347303萬元．例2

（2）在問題2中，某生物死亡10000年后，它體碳14內(nèi)含量衰減為原來的百分之幾？

在實(shí)際生活中，經(jīng)常會(huì)遇到類似于例2(1)的指數(shù)增長模型：設(shè)原有量為N，每次的增長率為p，經(jīng)過x次增長，該量增長到y(tǒng)

，則

y=N(1+p)x(x∈N)；形如：y=kax(k≠0,a>0且a≠1)的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型．練習(xí)3下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（）【解析】由指數(shù)函數(shù)的增長速度及定義，可知C正確．03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結(jié)SumUp指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，形如y=