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專題09二元一次方程組及其應(yīng)用專題知識(shí)點(diǎn)概述1.二元一次方程:含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程整式方程叫做二元一次方程.一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。2.二元一次方程組:把兩個(gè)二元一次方程合在一起,就組成一個(gè)二元一次方程組。3.二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。4.二元一次方程組的解:一般地,二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解。.解二元一次方程組的方法將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少,逐一解決的想法,叫做消元思想。(1)代入消元:將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái),再代入另一個(gè)方程,實(shí)現(xiàn)消元,進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解,這種方法叫做代入消元法,簡(jiǎn)稱代入法。(2)加減消元法:當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí),將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減,就能消去這個(gè)未知數(shù),這種方法叫做加減消元法,簡(jiǎn)稱加減法。.列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟(1)審:有什么,求什么,干什么;(2)設(shè):設(shè)未知數(shù),并注意單位;(3)找:等量關(guān)系;(4)列:用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái);(5)解:解方程(組).(6)驗(yàn):檢驗(yàn)方程(組)的解是否符合實(shí)際題意.(7)答:完整寫出答案(包括單位).注意:找出相等關(guān)系“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”.有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程,所列方程必須滿足:(1)方程兩邊表示的是同類量;(2)同類量的單位要統(tǒng)一;(3)方程兩邊的數(shù)值要相等例題解析與對(duì)點(diǎn)練習(xí).、,一,,、,一、一一,、*r,l%+3y=4,①, ,、、,,一、,,一,,【例題1】(2020?嘉興)用加減消兀法解二兀一次方程組; , AA時(shí),下列方法中無(wú)法消兀的12%-y=1②是()A.①X2-② B.②×(-3)-①C.①×(-2)+② D.①-②×3【答案】D【分析】方程組利用加減消元法變形即可.【解析】A.①X2-②可以消元x,不符合題意;B.②×(-3)-①可以消元y,不符合題意;C.①×(-2)+②可以消元x,不符合題意;D.①-②×3無(wú)法消元,符合題意.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2020年廣州模擬)解方程組:I'Hl.【答案】見解析?!窘馕觥窟\(yùn)用加減消元解答即可.?κ-y=lΦ匕十3尸9②,②-①得,4y=2,解得y=2,把丫=2代入①得,x-2=1,解得x=3,故原方程組的解為」K二3y=2【點(diǎn)撥】本題利用加減消元解方程。【例題2】(2020?臺(tái)州)解方程組:X—y=1,3x+y=7.【答案】見解析?!痉治觥糠匠探M利用加減消元法求出解即可.【解析】x—y=1①
、3x+y=7②'①+②得:4x=8,解得:x=2,把*=2代入①得:y=1,X=2則該方程組的解為[=2y=1?V【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2020海南模擬)解方程組:(λ^+2j=O玄+4y=6【答案】見解析?!窘馕觥扛鶕?jù)二元一次方程組代入消元解方程即可.?+2y=0φ?+4y=?g),由①得:x=-2y ③將③代入②得:3(-2y)+4y=6,解得:y=-3,將丫=-3代入③得:x=6,∕=6??原方程組的解為:V=-3【點(diǎn)撥】本題利用代入消元解方程。【例題3】(2020?岳陽(yáng))我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》上有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有醇酒一斗,直錢五十;行酒一斗,直錢一十.今將錢三十,得酒二斗.問(wèn)醇、行酒各得幾何?”其大意是:今有醇酒(優(yōu)質(zhì)酒)1斗,價(jià)值50錢;行酒(劣質(zhì)酒)1斗,價(jià)值10錢.現(xiàn)用30錢,買得2斗酒.問(wèn)醇酒、行酒各能買得多少?設(shè)醇酒為X斗,行酒為y斗,根據(jù)題意,可列方程組為..生、,(%+y=2【答案】{50%+10y=30.【分析】根據(jù)“現(xiàn)用30錢,買得2斗酒”,即可得出關(guān)于X,y的二元一次方程組,此題得解.【解析】依題意,得:L+Λ=2y=30?故答案為:{50χ^+10y=30?【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019年江蘇省淮安市)某公司用火車和汽車運(yùn)輸兩批物資,具體運(yùn)輸情況如下表所示:所用火車車皮數(shù)量(節(jié)) 所用汽車數(shù)量(輛)運(yùn)輸物資總量(噸)第一批 2 5 130第二批 4 3 218試問(wèn)每節(jié)火車車皮和每輛汽車平均各裝物資多少噸?【答案】每節(jié)火車車皮裝物資50噸,每輛汽車裝物資6噸;【解析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用;能夠根據(jù)題意列出準(zhǔn)確的方程組,并用加減消元法解方程組是關(guān)鍵.設(shè)每節(jié)火車車皮裝物資X噸,每輛汽車裝物資y噸,根據(jù)題意,得Ξκ+5y=1304x+3y=ΞlΞ,??產(chǎn)5。,[y=6,?每節(jié)火車車皮裝物資50噸,每輛汽車裝物資6噸?!军c(diǎn)撥】本題屬于二元一次方程組的應(yīng)用。專題點(diǎn)對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題(2020?齊齊哈爾)母親節(jié)來(lái)臨,小明去花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物.已知康乃馨每支2元,百合每支3元.小明將30元錢全部用于購(gòu)買這兩種花(兩種花都買),小明的購(gòu)買方案共有()A.3種 B.4種 C.5種 D.6種【答案】B【分析】設(shè)可以購(gòu)買X支康乃馨,y支百合,根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程,結(jié)合X,y均為正整數(shù)即可得出小明有4種購(gòu)買方案.【解析】設(shè)可以購(gòu)買X支康乃馨,y支百合,依題意,得:2x+3y=30,2?y=10—3X.???χ,y均為正整數(shù),(X=3P:=6P:=9產(chǎn)=12?{y=8,{y=6,{y=4,{y=2,?小明有4種購(gòu)買方案.(2019廣西賀州)已知方程組尸"卡'=3,則2%+6y的值是( )[X-2y=5A.-2 B.2 C.-4 D.4【答案】C【解析】?jī)墒较鄿p,得%+3y=-2,.?.2(%+3y)=—4,即2%+6y=-4,故選:C3.(2019湖南邵陽(yáng))某出租車起步價(jià)所包含的路程為0~2km,超過(guò)2km的部分按每千米另收費(fèi).津津乘坐這種出租車走了7km,付了16元;盼盼乘坐這種出租車走了13km,付了28元.設(shè)這種出租車的起步價(jià)為%元,超過(guò)2km后每千米收費(fèi)y元,則下列方程正確的是( )B.%+(7-2)y=16%+13y=28CI%+7y=16?I%+(13-2)y=28D.%+(7-2)y=16%+(13-2)y=28【答案】D【解析】設(shè)這種出租車的起步價(jià)為%元,超過(guò)2km后每千米收費(fèi)y元,則所列方程組為%+(7-2)y=16%+(13-2)y=28I%+7y=16A,]I%+13y=284. (2019黑龍江省龍東地區(qū))某學(xué)校計(jì)劃用34件同樣的獎(jiǎng)品全部用于獎(jiǎng)勵(lì)在“經(jīng)典誦讀”活動(dòng)中表現(xiàn)突出的班級(jí),一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)6件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)4件,則分配一、二等獎(jiǎng)個(gè)數(shù)的方案有()A.4種 B.3種 C.2種 D.1種【答案】B【解析】根據(jù)題意可列二元一次方程,再根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,取正整數(shù)解即可.設(shè)分配一等獎(jiǎng)X個(gè),二等獎(jiǎng)y個(gè),依題意得6x+4y=34,其正整數(shù)解有1%=1Iy=7y二4,1y15,故選b.5.(2019吉林長(zhǎng)春)《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作,其中“盈不足術(shù)”記載:今有共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問(wèn)人數(shù)雞價(jià)各幾何?譯文:今有人合伙買雞,每人出九錢,會(huì)多出11錢;每人出6錢,又差16錢.問(wèn)人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少?設(shè)人數(shù)為X,買雞的錢數(shù)為y,可列方程組為?9x+ll=y J9x-ll=y?6x+?6=y [6x-16=j【答案】D.【解析】設(shè)人數(shù)為χ,買雞的錢數(shù)為y,可列方程組為:[9x-ll=j
∣6x+16=)二、填空題9x-11=j6x+16=j9x+l?=y6x-16=y(X+3y=-1,(2020?南京)已知x、y滿足方程組I ,則x+y的值為 2%+y=3,【答案】1【分析】求出方程組的解,代入求解即可.r族垢1f%+3y=-1①【斛析】??9,[2x+y=3(2)①X2-②得:5y=-5,解得:y=-1,①-②義3得:-5x=-10,解得:x=2,貝IJx+y=2-1=1,故答案為1.γ—V=I(2020?北京)方程組3%;y=7的解為V.”一?【答案】:二「y—lV【分析】方程組利用加減消元法求出解即可.【解析】‘%—y=1①3x+y=7②,①+②得:4x=8,解得:x=2,把*=2代入①得:y=1,X2則方程組的解為{X=1.y—1X.8.(2020?無(wú)錫)我國(guó)古代問(wèn)題:以繩測(cè)井,若將繩三折測(cè)之,繩多四尺,若將繩四折測(cè)之,繩多一尺,井深幾何?這段話的意思是:用繩子量井深,把繩三折來(lái)量,井外余繩四尺,把繩四折來(lái)量,井外余繩一尺,井深幾尺?則該問(wèn)題的井深是一尺.【答案】8【分析】可設(shè)繩長(zhǎng)為X尺,井深為y尺,根據(jù)等量關(guān)系:①繩長(zhǎng)的1-井深=4尺;②繩長(zhǎng)的1-井深=1尺;3 4列出方程組求解即可.【解析】設(shè)繩長(zhǎng)是X尺,井深是y尺,依題意有λf?X—y—43<1x—y—14J解得"86.V故井深是8尺.fx=1(2019江蘇常州)若1 C是關(guān)于x、y的二元一次方程ax+y=3的解,則a= Iy=2【答案】1【解析】本題考查了二元一次方程的解的定義,Ix=1將1 小代入方程ax+y=3,得a+2=3,a=1,Iy=2因此本題答案為1.(2019?湖南張家界)《田畝比類乘除捷法》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作,其中有一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題:“直田積八百六十四步,只云長(zhǎng)闊共六十步,問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何”.意思是:一塊矩形田地的面積為864平方步,只知道它的長(zhǎng)與寬共60步,問(wèn)它的長(zhǎng)比寬多多少步?根據(jù)題意得,長(zhǎng)比寬多步.【答案】12.【解析】二元方程組的應(yīng)用;整體思想;完全平方公式。(xy=864設(shè)矩形的長(zhǎng)為X步,寬為y步,根據(jù)題意,得《 ,n,[X+y=60從而(x+y)2-4xy=602-4×864=3600-3456=144,即(x—y)2=144,于是,χ-y=i2.三、應(yīng)用題(2%+4y=5,(2020?連云港)解方程組](%=1-y.【答案】見解析?!痉治觥堪呀M中的方程②直接代入①,用代入法求解即可.【解析】2%+4y=5①x=1-y②把②代入①,得2(1-y)+4y=5,解得y=2.乙把丫二,代入②,得χ=-1.原方程組的解為.%=一
{3
iy=21212.(2020?樂(lè)山)解二元一次方程組:'2%+y=2,8x+3y=9.【答案】見解析?!痉治觥糠匠探M利用加減消元法與代入消元法求出解即可.【解析】{2χ+yy-=2?,法1:②-①×3,得2x=3,3解得:x=2,把乂:,代入①,得y=-1,3???原方程組的解為H;法2:由②得:2x+3(2x+y)=9,把①代入上式,解得:x=2,把乂/代入①,得y=-1,???原方程組的解為3
[y:-1?13.(2019年福建省)解方程組K-V=5Ξx+y=4【答案】方程組的解為z=3V=-Ξ**【解析】此題考查了解二元一次方程組,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法與加減消元法.方程組利用加減消元法求出解即可.?耳-y=5①(2,十尸4②‘①+②得:3χ=9,即χ=3,把乂=3代入①得:y=-2,則方程組的解為.f3κ-4(κ-Ξy)=5r(2019年麗水)解方程組[χ-Ξy=l.【答案】'{I;【解析】根據(jù)二元一次方程組的解法,先將式子①化簡(jiǎn),再用加減消元法(或代入消元法)求解;r3κ-4(χ-Ξy)=5j①[工-%=1②. '將①化簡(jiǎn)得:-x+8y=5③,②+③,得y=l,將y=ι代入②,得χ=3,I7=1(2019年山東濰坊)己知關(guān)于X,y的二元一次方程組!”一3曠5的解滿足χ>y,求k的取值范圍.[κ~Ξy=k【答案】k<5.【解析】先用加減法求得χ-y的值(用含k的式子表示),然后再列不等式求解即可.?2芯-3產(chǎn)5①匕-2y=k②①-②得:χ-y=5-k,???x〉y,.?.x-y>0..?.5-k>0.解得:k<5.(2020?江西)放學(xué)后,小賢和小藝來(lái)到學(xué)校附近的地?cái)偵腺?gòu)買一種特殊型號(hào)的筆芯和卡通筆記本,這種筆芯每盒10支,如果整盒買比單支買每支可優(yōu)惠0.5元.小賢要買3支筆芯,2本筆記本需花費(fèi)19元;小藝要買7支筆芯,1本筆記本需花費(fèi)26元.(1)求筆記本的單價(jià)和單獨(dú)購(gòu)買一支筆芯的價(jià)格;(2)小賢和小藝都還想再買一件單價(jià)為3元的小工藝品,但如果他們各自為要買的文具付款后,只有小賢還剩2元錢.他們要怎樣做才能既買到各自的文具,又都買到小工藝品,請(qǐng)通過(guò)運(yùn)算說(shuō)明.【答案】見解析。【分析】(1)設(shè)筆記本的單價(jià)為X元,單獨(dú)購(gòu)買一支筆芯的價(jià)格為y元,根據(jù)“小賢要買3支筆芯,2本筆記本需花費(fèi)19元;小藝要買7支筆芯,1本筆記本需花費(fèi)26元”,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論;(2)先求兩人帶的總錢數(shù),再求出兩人合在一起買文具所需費(fèi)用,由二者的差大于2個(gè)小工藝品所需錢數(shù),可找出:他們合在一起購(gòu)買,才能既買到各自的文具,又都買到小工藝品.【解析】(1)設(shè)筆記本的單價(jià)為X元,單獨(dú)購(gòu)買一支筆芯的價(jià)格為y元,>舊*,口(2%+3y=19依題意,得:{%+7yL26,解得:{13?答:筆記本的單價(jià)為5元,單獨(dú)購(gòu)買一支筆芯的價(jià)格為3元.(2)小賢和小藝帶的總錢數(shù)為19+2+26=47(元).兩人合在一起購(gòu)買所需費(fèi)用為5×(2+1)+(3-0.5)×10=40(元).?.?47-40=7(元),3X2=6(元),7>6,???他們合在一起購(gòu)買,才能既買到各自的文具,又都買到小工藝品.17.(2019年山東煙臺(tái))亞洲文明對(duì)話大會(huì)召開期間,大批的大學(xué)生志愿者參與服務(wù)工作.某大學(xué)計(jì)劃組織本校全體
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