四川省南充市儀隴縣觀紫中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

四川省南充市儀隴縣觀紫中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.（理）如果是二次函數(shù),且的圖象開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,）,那么曲線上任一點(diǎn)的切線的傾斜角的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.設(shè)定義在R上的函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)且時，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A.2 B.4 C.5 D.8參考答案：B由當(dāng)x∈（0，π）且x≠時，，知時，為減函數(shù)，當(dāng)。又時，0＜f(x)＜1，在R上的函數(shù)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出和草圖像如下，由圖知y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個數(shù)為4個.選B.3.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇出數(shù)，若f(1)>1，f(2)＝，則(

)A．a(chǎn)<

B．a(chǎn)<且a≠1C．a(chǎn)>且a<－1

D．－1<a<

參考答案：答案：D4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的表面積為A. B. C. D.參考答案：D本題考查三視圖,空間幾何體的表面積.還原出空間幾何體,如圖四棱錐所示,平面,,,取的中點(diǎn),取的中點(diǎn),所以平面,且,即四棱錐的外接球的半徑;所以該幾何體的外接球的表面積.選D.5.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f（x）＝，當(dāng)x＞0時，f（x＋1）＝f（x）＋f（1），若直線y＝kx與函數(shù)y＝f（x）的圖象恰有7個不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為A．（2－2，2－4）

B．（＋2，＋）C．（2＋2，2＋4）

D．（4，8）參考答案：A6.已知向量與的夾角為θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t），||在t0時取得最小值．當(dāng)0＜t0＜時，夾角θ的取值范圍為(

)A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，）參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由向量的運(yùn)算可得=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函數(shù)知，當(dāng)上式取最小值時，t0=，根據(jù)0＜＜，求得cosθ的范圍，可得夾角θ的取值范圍．【解答】解：由題意可得?=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣═（1﹣t）﹣t，∴=（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函數(shù)知，當(dāng)上式取最小值時，t0=，由題意可得0＜＜，求得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)量積與向量的夾角，涉及二次函數(shù)和三角函數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．7.已知點(diǎn)F為雙曲線C：的一個焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為（

）A．2

B．4

C．2m

D．4m參考答案：A，即，其中，又到其漸近線的距離:，故選A.8.中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則．例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的晷（guǐ）影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實(shí)測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的．下表為《周髀算經(jīng)》對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）．節(jié)氣冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）驚蟄（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（處暑）立夏（立秋）小滿（大暑）芒種（小暑）夏至晷影長（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.0已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長應(yīng)為（）A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【分析】設(shè)晷影長為等差數(shù)列{an}，公差為d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：設(shè)晷影長為等差數(shù)列{an}，公差為d，a1=130.0，a13=14.8，則130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6．∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0．∴《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長是82.0寸．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D

試題分析：A，B，C是非奇非偶函數(shù)函數(shù)，D為偶函數(shù).考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性與單調(diào)性.10.已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A.1

B.2

C.0

D.0或2參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且時，，若，則

；

參考答案：

因?yàn)?，所以，若，則與矛盾。若，則，所以矛盾。所以必有，。，，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以必有，即。【答案】略12.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過33，則這樣的數(shù)列至多有

▲

項(xiàng)．參考答案：7∴(n－1)(3n＋1)≤132，當(dāng)n＝6時，5×19＜132；當(dāng)n＝7時，6×22＝132，

故nmax＝7．【注】不易猜測：－3，－1，1，3，5，7，9．13.已知一個袋中裝有大小相同的4個紅球，3個白球，3個黃球．若任意取出2個球，則取出的2個球顏色相同的概率是

；若有放回地任意取10次，每次取出一個球，每取到一個紅球得2分，取到其它球不得分，則得分?jǐn)?shù)X的方差為

．參考答案：，9.6．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】任意取出2個球，基本事件總數(shù)n==45，取出的2個球顏色相同包含的基本事件個數(shù)m==12，由此能求出取出的2個球顏色相同的概率；有放回地任意取10次，每次取出一個球，每取到一個紅球得2分，取到其它球不得分，取到紅球的個數(shù)ξ～B（0.4，10），X=2ξ，由此能求出得分?jǐn)?shù)X的方差．【解答】解：一個袋中裝有大小相同的4個紅球，3個白球，3個黃球．任意取出2個球，基本事件總數(shù)n==45，取出的2個球顏色相同包含的基本事件個數(shù)m==12，∴取出的2個球顏色相同的概率是p=．∵有放回地任意取10次，每次取出一個球，每取到一個紅球得2分，取到其它球不得分，∴取到紅球的個數(shù)ξ～B（0.4，10），∴D（ξ）=10×0.4×0.6=2.4，∵X=2ξ，∴D（X）=4E（ξ）=4×2.4=9.6．故答案為：，9.6．14.已知函數(shù)f（x）=lnx+x﹣2的零點(diǎn)x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，則a+b=(

)A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用根的存在定理先判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后確定與a，b的關(guān)系．【解答】解：因?yàn)閒（x）=lnx+x﹣2，所以函數(shù)在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)閒（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2+2﹣2=ln2＞0．所以在區(qū)間[1，2]上，函數(shù)存在唯一的一個零點(diǎn)．在由題意可知，a=1，b=2，所以a+b=3．故選：B【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間的判斷以及根的存在性定理的應(yīng)用，判斷函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．15.為了活躍學(xué)生課余生活，我校高三年級部計劃使用不超過1200元的資金購買單價分別為90元、120元的排球和籃球．根據(jù)需要，排球至少買3個，籃球至少買2個，并且排球的數(shù)量不得超過籃球數(shù)量的2倍，則能買排球和籃球的個數(shù)之和的最大值是．參考答案：12【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】設(shè)買排球x個，籃球y個，由題意列關(guān)于x，y的不等式組，作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：設(shè)買排球x個，籃球y個，買排球和籃球的個數(shù)之和z=x+y．則，由約束條件作出可行域如圖：聯(lián)立，解得A（8，4），化目標(biāo)函數(shù)z=x+y為y=﹣x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣x+z過點(diǎn)A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為12．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．16.已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2時，f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在區(qū)間[﹣3，3]上至多有9個零點(diǎn)，則a=．參考答案：【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】利用f（x）的周期與對稱性得出f（x）在（2，3）上的解析式，由g（x）的零點(diǎn)個數(shù)可得y=ax與f（x）在（2，3）上的圖象相切，根據(jù)斜率的幾何意義列方程組解出a．【解答】解：f（2）=﹣4×22+12×2﹣8=0，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期為4．作出f（x）在[﹣3，3]上的函數(shù)圖象，如圖所示：令g（x）=0得f（x）=a|x|，∴當(dāng)x＞0時，y=ax與y=f（x）在（2，3）上的函數(shù)圖象相切，∵1＜x＜2時，f（x）=﹣4x2+12x﹣8，且f（x）是偶函數(shù)，∴當(dāng)﹣2＜x＜﹣1時，f（x）=﹣4x2﹣12x﹣8，又f（x）周期為4，則當(dāng)2＜x＜3時，f（x）=﹣4（x﹣4）2﹣12（x﹣4）﹣8=﹣4x2+20x﹣24，設(shè)y=ax與y=f（x）在（2，3）上的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則，解得x0=，a=20﹣8．故答案為：．17.一個與球心距離為的平面截球所得的圓的面積為，則球的體積為

____．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）為了了解低保戶的生活情況，用分層抽樣的方法從三個居民區(qū)的低保戶中，抽取若干家庭進(jìn)行調(diào)研，有關(guān)數(shù)據(jù)如小表（單位：戶）：居民區(qū)低保戶數(shù)抽取低保戶數(shù)3421768

（1）求；

（2）若從兩個居民區(qū)抽取的低保戶中隨機(jī)選2戶進(jìn)行幫扶，用列舉法求這2戶都來自居民區(qū)的概率．參考答案：（1）分層抽樣的抽樣比為……………………2分

∴，……………………4分（2）記從居民區(qū)抽取的兩個低保戶為，從居民區(qū)抽取的四個低保戶為，則從兩個居民區(qū)抽取的6個低保戶中隨機(jī)選2戶進(jìn)行幫扶的基本事件有共15種………9分選中的2個低保戶都來自居民區(qū)的基本事件有共6種………11分∴選中的2戶都來自居民區(qū)的概率為

……13分19.（本小題14分）已知函數(shù)且是函數(shù)的極值點(diǎn).（I）求實(shí)數(shù)a的值，并確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得函數(shù)有兩個零點(diǎn)；

（II）是否存在這樣的直線，同時滿足：①是函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線

;

②與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，如果存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；不存在，請說明理由。參考答案：解答：：（I）時，由已知，得，所以時，………………3分令得舍去）。x-0+極小值當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，時，要使函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即方程有兩不相等的實(shí)數(shù)根，也即函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點(diǎn)。

（1）當(dāng)時，或

（2）當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，

……………

6分（II）假設(shè)存在，時，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的方程為：

直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，，所以切線的斜率為所以切線的方程為：即的方程為：，得得其中……………10分記其中，，令，得1+0-極大值又

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為：………………14分

略20.(本題滿分12分)如圖，在直三棱柱中，，，且是中點(diǎn).（I）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面.

參考答案：(Ⅰ)解：(I)連接交于點(diǎn)，連接因?yàn)闉檎叫?，所以為中點(diǎn)又為中點(diǎn)，所以為的中位線，所以

………………2分又平面，平面所以平面

……………4分(Ⅱ)因?yàn)椋譃橹悬c(diǎn)，所以

…………5分又因?yàn)樵谥比庵?，底面，又底?所以,又因?yàn)椋云矫?，又平面，所?/p>

…………8分在矩形中,,所以，所以，即

………………10分又，所以平面

……………12分21.已知函數(shù)，對任意的x∈（0，+∞），滿足，其中a，b為常數(shù)．（1）若f（x）的圖象在x=1處切線過點(diǎn)（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求證：；（3）當(dāng)f（x）存在三個不同的零點(diǎn)時，求a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）由求得a=b，代入原函數(shù)求得則f′（1），再求出f（1）由直線方程點(diǎn)斜式求得切線方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，則由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+的導(dǎo)函數(shù)，分析可知當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＞0時，由△＞0求得a的范圍．進(jìn)一步求得導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn)，分別為，則x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上遞增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，結(jié)合，f（1）=0，可得使f（x）存在三個不同的零點(diǎn)時的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．解答： （1）解：由，且，得，即，∴a=b．則f（x）=lnx﹣ax+，∴，則f′（1）=1﹣2a，又f（1）=0，∴f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切線上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；（2）證明：∵f（x）=lnx﹣ax+，∴=，令g（x）=（0＜x＜1），則=＜0．∴g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，∵x∈（0，1）時，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1時，；（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．當(dāng)a=0時，，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＜0時，，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＞0