高中數(shù)學(xué)3.1回歸分析 （二） 教案 （北師大選修2-3）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1回歸分析（教案)教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)案例的探究，會(huì)對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行線性回歸分析。理解相關(guān)系數(shù)的含義,會(huì)計(jì)算兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)系數(shù)，會(huì)通過(guò)線性相關(guān)系數(shù)判斷它們之間的線性相關(guān)程度。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)之間散點(diǎn)圖的觀察，能夠?qū)蓚€(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行可線性化的回歸分析。教學(xué)重點(diǎn):散點(diǎn)圖的畫(huà)法，回歸直線方程的求解方法；相關(guān)系數(shù)的求法與應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)回歸直線方程的求解方法；相關(guān)系數(shù)的求法與應(yīng)用；;能夠?qū)蓚€(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行可線性化的回歸分析.教法：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)式第一課時(shí)（回歸分析）教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題情境客觀事物是相互聯(lián)系的過(guò)去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系,但實(shí)際上更多存在的是一種非因果關(guān)系比如說(shuō)：某某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)，彼此是互相聯(lián)系的，但不能認(rèn)為數(shù)學(xué)是“因",物理是“果”，或者反過(guò)來(lái)說(shuō)事實(shí)上數(shù)學(xué)和物理成績(jī)都是“果”，而真正的“因”是學(xué)生的理科學(xué)習(xí)能力和努力程度所以說(shuō)，函數(shù)關(guān)系存在著一種確定性關(guān)系但還存在著另一種非確定性關(guān)系-—相關(guān)關(guān)系二、新授在必修課程中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了最小二乘法，并會(huì)建立變量之間的線性回歸方程.引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,然后完成知識(shí)點(diǎn)的填充.知識(shí)講解1。相關(guān)關(guān)系的概念兩個(gè)變量間的關(guān)系可分為確定關(guān)系和非確關(guān)系，前者又稱為函數(shù)關(guān)系，后者又稱為相關(guān)關(guān)系.2.回歸方程設(shè)有對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對(duì)于每一個(gè),對(duì)應(yīng)的隨機(jī)偏差項(xiàng)，我們希望總偏差越小越好，即要使越小越好．所以,只要求出使取得最小值時(shí)的，值作為，的估計(jì)值,記為，．注：這里的就是擬合直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．用什么方法求，?回憶《數(shù)學(xué)3（必修）》“2．4線性回歸方程”P(pán)71“熱茶問(wèn)題”中求，的方法:最小二乘法．利用最小二乘法可以得到，的計(jì)算公式為，其中，由此得到的直線就稱為這對(duì)數(shù)據(jù)的回歸直線,此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計(jì)值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值．舉例應(yīng)用例1．下表給出了我國(guó)從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)我國(guó)年的人口數(shù)．年份人口數(shù)/百萬(wàn)解：為了簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對(duì)應(yīng)人口數(shù)用表示,得到下面的數(shù)據(jù)表：作出個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，由圖可知，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸模型來(lái)表示它們之間的關(guān)系．根據(jù)公式（1）可得這里的分別為的估計(jì)值，因此線性回歸方程為由于年對(duì)應(yīng)的,代入線性回歸方程可得(百萬(wàn)），即年的人口總數(shù)估計(jì)為13。23億.對(duì)應(yīng)練習(xí)：課本練習(xí)小結(jié)：1。線性相關(guān)的概念；2.理解回歸方程的系數(shù)來(lái)歷；3.求回歸方程的步驟。作業(yè)：課本習(xí)題1—1，1題的第二問(wèn)第二節(jié)相關(guān)系數(shù)教學(xué)過(guò)程：一．問(wèn)題情境對(duì)任意給定的樣本數(shù)據(jù)，由計(jì)算公式都可以求出相應(yīng)的線性回歸方程，但求得的線性回歸方程未必有實(shí)際意義．左圖中的散點(diǎn)明顯不在一條直線附近，不能進(jìn)行線性擬合，求得的線性回歸方程是沒(méi)有實(shí)際意義的；右圖中的散點(diǎn)基本上在一條直線附近，我們可以粗略地估計(jì)兩個(gè)變量間有線性相關(guān)關(guān)系，但它們線性相關(guān)的程度如何,如何較為精確地刻畫(huà)線性相關(guān)關(guān)系呢？為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要對(duì)變量與的線性相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)（簡(jiǎn)稱相關(guān)性檢驗(yàn)），那么就需要學(xué)習(xí)相關(guān)系數(shù)來(lái)處理。二、新授(一）知識(shí)點(diǎn)講解1．相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：對(duì)于，隨機(jī)取到的對(duì)數(shù)據(jù)，樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為．2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):（1）；（2）越接近與1，,的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；（3）越接近與0，，的線性相關(guān)程度越弱．可見(jiàn),一條回歸直線有多大的預(yù)測(cè)功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)．應(yīng)用舉例要分析學(xué)生高中入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號(hào)入學(xué)成績(jī)高一期末成績(jī)（1）計(jì)算入學(xué)成績(jī)與高一期末成績(jī)的相關(guān)系數(shù);（2）如果與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程；（3）若某學(xué)生入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉郑嚬烙?jì)他高一期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)．解：（1）因?yàn)?，?，．因此求得相關(guān)系數(shù)為．結(jié)果說(shuō)明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的；點(diǎn)評(píng)：解決這類問(wèn)題的解題步驟：（1）作出散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近；（2）求相關(guān)系數(shù)；(3）計(jì)算,，寫(xiě)出線性回歸方程．對(duì)應(yīng)練習(xí):課本練習(xí)五．回顧小結(jié)：1．相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式與回歸系數(shù)計(jì)算公式的比較;2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì);3．探討相關(guān)關(guān)系的基本步驟．六．課外作業(yè)：習(xí)題1—1第2題．第三節(jié)可線性化的回歸分析教學(xué)過(guò)程：一．問(wèn)題情境前面我們學(xué)習(xí)的是利用線性回歸方程與相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系的，那么能否利用散點(diǎn)圖將其他的常見(jiàn)函數(shù)擬合成線性關(guān)系呢？這也是我們本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的可線性化的回歸分析問(wèn)題二、新授（一)知識(shí)點(diǎn)講解在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系,這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見(jiàn)的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式．（1)，令,,則有．(2)，令，，，則有．（3），令,，，則有．（4），令,，，則有．(5），令，，則有．（二）應(yīng)用舉例某地區(qū)對(duì)本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本（萬(wàn)元）與人均產(chǎn)出（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù):人均資本/萬(wàn)元人均產(chǎn)出/萬(wàn)元（1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù))，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)和的值；（2）估計(jì)企業(yè)人均資本為萬(wàn)元時(shí)的人均產(chǎn)出（精確到）．分析：根據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問(wèn)題不是線性回歸問(wèn)題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知,只要對(duì)的兩邊取對(duì)數(shù),就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系．解(1）在的兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得，設(shè)，，,則．相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如圖所示．1人均資本/萬(wàn)元345.56。578910。511.5142人均產(chǎn)出/萬(wàn)元4.124。678.6811。0113。0414.4317。525。4626。6645。230。477120。602060。740360。812910。84510。903090.954241。021191.06071.1461340.61490。669320。938521。041791.115281。159271。243041.405861。425861.65514仿照問(wèn)題情境可得,的估計(jì)值，分別為由可得，即，的估計(jì)值分別為和．（2）由（1）知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖（見(jiàn)書(shū)本頁(yè)）當(dāng)時(shí)，(萬(wàn)元），故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬(wàn)元時(shí)，人均產(chǎn)值約為萬(wàn)元．2．練習(xí):練習(xí)．五．回顧小結(jié)：1．