曲線與方程 省賽獲獎

2.1.1曲線與方程基礎(chǔ)梳理1．一次函數(shù)y＝2x＋1與二元一次方程2x－y＋1＝0是x與y關(guān)系相同的等式嗎？2．一次函數(shù)y＝2x＋1圖象可作為二元一次方程2x－y＋1＝0的曲線，以此類推畫出二元一次方程2x－y＋4＝0的曲線．【答案】先描出y＝2x＋4的圖象上兩點，再由兩點確定直線．【答案】是3.是方程2x－y＋1＝0的解嗎？把寫成坐標形式(1,3)，那么點(1,3)在方程2x－y＋1＝0的曲線上嗎？4．方程的圖形上有點A(0,1)，把點A坐標寫成，它是方程2x－y＋1＝0的解嗎？【答案】是在【答案】是5．一般地：在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解之間建立了如下的關(guān)系：①曲線上點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么，這個方程叫做____________；這條曲線叫做__________．例：畫出方程y＝－x2(x≥0)的曲線．曲線的方程解：先畫出y＝－x2的曲線，注意到x≥0，將x<0部分的圖象擦去即可．方程的曲線自測自評1．曲線C的方程為y＝x(1≤x≤5)，則下列四點中在曲線C上的是(

)A．(0,0)

B.C．(1,5)D．(4,4)【答案】D

2．已知坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上，那么(

)A．曲線C上的點的坐標都適合方程f(x，y)＝0B．凡坐標不適合f(x，y)＝0的點都不在C上C．不在C上的點的坐標必不適合f(x，y)＝0D．不在C上的點的坐標有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0【答案】C

3．方程x2＋xy＝x的曲線是(

)A．一個點B．一條直線C．兩條直線D．一個點和一條直線【答案】C

題型一：曲線的圖象

例1.分別畫出下列各方程的曲線：①y＝x；②y＝x(x≥0)；③y＝x(x≤0);④y＝x(－1≤x≤2)．解：跟蹤訓(xùn)練1．分別畫出下列各方程的曲線：①x2＋y2＝1；②x2＋y2＝1(0≤x≤1)；③x2＋y2＝1(0≤y≤1)；④x2＋y2＝1(0≤x≤1,0≤y≤1)．解：題型二：曲線與方程的概念

例2.分析下列曲線上的點與方程的關(guān)系．(1)求第一、三象限角平分線上點的坐標滿足的關(guān)系；(2)作出函數(shù)y＝x2的圖象，指出圖象上的點與方程y＝x2的關(guān)系；(3)說明過點A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|＝2之間的關(guān)系．解：(1)第一、三象限角平分線l上點的橫坐標x與縱坐標y相等，即y＝x.可以看到：①l上點的坐標都是方程x－y＝0的解；②以方程x－y＝0的解為坐標的點都在l上．(2)函數(shù)y＝x2的圖象如右圖所示是一條拋物線，這條拋物線上的點的坐標滿足方程y＝x2，即方程y＝x2對應(yīng)的曲線是如圖所示的拋物線，拋物線的方程是y＝x2.(3)如右圖所示直線l上點的坐標都是方程|x|＝2的解，然而，坐標滿足方程|x|＝2的點不一定在直線l上，因此|x|＝2不是l的方程．跟蹤訓(xùn)練題型三：曲線與方程關(guān)系的應(yīng)用

例3.已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判斷點P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲線上；(2)若點M在此方程表示的曲線上，求m的值．解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10.∴點P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，點Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上．跟蹤訓(xùn)練3．判斷下列命題是否正確．(1)以坐標原點為圓心，半徑為r的圓的方程是y＝(2)方程(x＋y－1)·＝0表示的曲線是圓或直線．(3)點A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)都在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上．解：(1)不正確(2)不正確(3)不正確課時訓(xùn)練一、選擇填空題【答案】D

課堂小結(jié)1．一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點的坐標都是這個