直線與平面平行的性質(zhì)平面與平面平行的性質(zhì)

2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)內(nèi)容要求

1.證明并掌握直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)定理.2.能應(yīng)用文字語言、符號(hào)語言、圖形語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行，兩平面平行的性質(zhì)定理.3.能用兩個(gè)性質(zhì)定理，證明一些空間線面平行關(guān)系的簡單問題.平行自

主

預(yù)

習(xí)線面平行的性質(zhì)定理面面平行的性質(zhì)定理文字一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線_______如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面______，那么它們的__________相交交線平行a?βα∩βγ∩α＝aγ∩β＝b線線平行線線平行即

時(shí)

自

測(cè)1.判斷題(1)一條直線如果和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行.(

)(2)如果直線a∥平面α，直線b?α，則a與b平行.(

)(3)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.(

)(4)過直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面和已知直線平行.(

)提示(2)a與b平行或異面.(4)過直線外一點(diǎn)可以作一條直線與已知直線平行，但過直線外一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面與已知直線平行.√×√×2.如圖所示，過正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，則BB1與EE1的位置關(guān)系是(

)A.平行

B.相交

C.異面

D.不確定解析BB1∥平面CDD1C1，平面BB1E1E∩平面CDD1C1＝E1E，BB1?平面BB1E1E，由線面平行的性質(zhì)定理知，BB1∥EE1.答案A3.若平面α∥平面β，直線a?α，點(diǎn)B∈β，則在β內(nèi)過點(diǎn)B的所有直線中(

) A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行 C.存在無數(shù)多條直線與a平行 D.存在唯一一條直線與a平行解析設(shè)點(diǎn)B與直線a確定一平面為γ，γ∩β＝b，∴a∥b.答案

D4.已知直線l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，則直線l，m的位置關(guān)系是________.解析由直線與平面平行的性質(zhì)定理知l∥m.答案平行題型一線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】

求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行.解已知直線a，l，平面α，β滿足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求證：a∥l.證明：如圖所示，過a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.則b∥c.又∵b?β，c?β，∴b∥β.又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.【訓(xùn)練1】

若兩個(gè)相交平面分別過兩條平行直線，則它們的交線和這兩條平行直線平行.解已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l.求證：a∥b∥l.證明：如圖所示，∵a∥b，b?β，a?β，∴a∥β，又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.題型二面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】

已知AB，CD是夾在兩個(gè)平行平面α，β之間的線段，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面α.證明(1)若AB，CD在同一平面內(nèi)，則平面ABDC與α，β的交線為BD，AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M，N為AB，CD的中點(diǎn)，∴MN∥BD.又BD?平面α，MN?平面α，∴MN∥平面α.(2)若AB，CD異面，如圖，過A作AE∥CD交α于E，取AE中點(diǎn)P，連接MP，PN，BE，ED.∵AE∥CD.∴AE，CD確定平面AEDC.則平面AEDC與α，β的交線分別為ED，AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P，N分別為AE，CD的中點(diǎn)，∴PN∥ED，又ED?平面α，PN?平面α，∴PN∥平面α.同理可證MP∥BE，又MP?平面α，BE?平面α，∴MP∥平面α，∵AB，CD異面，∴MP，NP相交.∴平面MPN∥平面α.又MN?平面MPN，∴MN∥平面α.規(guī)律方法1.利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，往往需要有三個(gè)平面，即有兩平面平行，再構(gòu)造第三個(gè)面與兩平行平面都相交.2.面面平行?線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與判定定理的交替使用，可實(shí)現(xiàn)線線、線面及面面平行的相互轉(zhuǎn)化.【訓(xùn)練2】

如圖，已知α∥β，點(diǎn)P是平面α，β外的一點(diǎn)(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點(diǎn)A，B和C，D.(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長.(1)證明∵PB∩PD＝P，∴直線PB和PD確定一個(gè)平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

互動(dòng)探究【例3】

如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：GH∥平面PAD.[思路探究]探究點(diǎn)一證明平行關(guān)系的基本思路是什么？提示證明平行關(guān)系時(shí)，應(yīng)綜合應(yīng)用線線平行、線面平行及面面平行之間的相互轉(zhuǎn)化.探究點(diǎn)二解本題的關(guān)鍵是什么？提示關(guān)鍵是連接AC交BD于O，結(jié)合PC中點(diǎn)M，利用中位線，進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而作出判斷.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.∵ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥平面PAD.規(guī)律方法1.本題證明線面平行，利用了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即線線平行?線面平行?線線平行?線面平行.2.在將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，注意觀察圖形中是否有性質(zhì)定理中符合條件的平面.【訓(xùn)練3】

如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：l∥BC；(2)判斷MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論.法一(1)證明因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)解平行.證明如下：取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，可以證得NE∥AM且NE＝AM.可知四邊形AMNE為平行四邊形.所以MN∥AE，又因?yàn)镸N?平面APD，AE?平面APD，所以MN∥平面APD.法二(1)證明由AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以l∥AD，l∥BC.(2)解平行.證明如下：設(shè)Q是CD的中點(diǎn)，連接NQ，MQ，則MQ∥AD