考研數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題完整版及答案解析數(shù)一

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦考研數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題完整版及答案解析數(shù)一2022考研數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題完整版及答案解析（數(shù)一）

一、挑選題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，惟獨(dú)一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）

（1）當(dāng)0x→時(shí)，下面4個(gè)無(wú)窮小量中階數(shù)最高的是（）

2

3

5

45xxx++

(C)33

ln(1)ln(1)xx+--

(D)1cos0

x

-?

【答案】（D）

【解析】（A）項(xiàng)：當(dāng)0x→

2

2x=

:（B）項(xiàng)：明顯當(dāng)0x→時(shí)，2352

454xxxx++:

（C）項(xiàng)：當(dāng)0x→時(shí)，3333

3

3

333

122ln(1)ln(1)lnln12111xxxxxxxxx

??++--==+???::（D

）項(xiàng)：1cos3

1

10

0001(1cos)2lim

limlimkkkxxxxxxxxkxkx→→→→-?===?

所以，13k-=，即4k=

時(shí)1cos0

lim

k

xx

-→?

存在，所以

4

1cos0

8

x-?

:

（2）下列命題中正確的是（）(A)若函數(shù)()fx在[],ab上可積，則()fx必有原函數(shù)(B)若函數(shù)()fx在(,)ab上延續(xù)，則

()b

a

fxdx?

必存在

(C)若函數(shù)()fx在[],ab上可積，則()()x

a

xfxdxΦ=

?

在[],ab上必延續(xù)

(D)若函數(shù)()fx在[],ab上不延續(xù)，則()fx在該區(qū)間上必?zé)o原函數(shù)【答案】C

【解析】選項(xiàng)（A）錯(cuò)誤，反例：1,01

()2,12

xfxx≤≤?=?>>，且()1PBA=，則（）（A）()1PAB=（B）()1PAB=（C）()0PAB=（D）()0PAB=【答案】（C）

【解析】由已知條件()1()()PBAPABPA=?=先看（A）()()

()()()

PABPAPABPBPB=

=，推不出等于1所以（A）排解

（B）()()()()()

()1()()()

PABPBPABPBPAPABPBPBPB--=

==≠排解（C）()()()()()

()01()1()()

PBAPAPABPAPAPABPBPBPB--=

===--，故（C）對(duì)

（D）()1()101PABPAB=-=-=，所以（D）不對(duì)。故選（C）

（８）已知隨機(jī)變量XY和均聽從(0,1)N，且不相關(guān)，則（）

(A)22XY+聽從2

(2)χ(B)(,)XY-不一定聽從正態(tài)分布

(C)2

2XY

聽從(1,1)F(D)XY-聽從(0,2)N

【答案】（B）

【解析】由于XY和均聽從(0,1)N，且不相關(guān)，不知道其是否自立，所以(A)（C）（D）不對(duì)。

二、填空題（本小題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上）（9）2222lim14nn

nnnnnn→∞??+++=?+++?

?L_______________【答案】

4

π

【解析】2

2222111limlim141nnnin

nnnnnnnin→∞→∞=??+++=?+++?

???+???

∑L

=

11

02

01arctan|14

dxxxπ==+?（10）橢圓2

2

44xy+=在點(diǎn)()0,2處的曲率半徑ρ=_________________【答案】

12

【解析】由820xyy'+=知4xyy

-'=，316

yy-''=。故0|0xy='=，0|2xy=''=-，故在點(diǎn)()

0,2處的曲率為

3

22(0,2)

21yKy''

=

='??+??

所以()0,2處的曲率半徑為11

2

Kρ=

=（11）函數(shù)2

2

2

(,,)fxyzxyz=++在點(diǎn)11,,022M??

-???

處沿方向lij=-vvv的方向?qū)?shù)

f

l

?=?v

【解析】因?yàn)閘ij=-vvv

，所以cos0αβγ===為方向lv的方向余弦，

因此，

)coscoscosMM

M

f

fff

xyl

xyzαβγ??????=?+?+?=-=???????v

（12）冪級(jí)數(shù)

21

(1)

nnnax∞

+=-∑在2x=處條件收斂，則其收斂域?yàn)開______________

【答案】[0,2]

【解析】由

21

(1)

nnnax∞

+=-∑在2x=處條件收斂，得

0n

na

∞

=∑條件收斂，即

n

na

∞

=∑收斂但

n

na

∞

=∑發(fā)散，即

()0

n

na∞=-∑收斂但0

n

na

∞

=∑發(fā)散，所以

21

(1)

nn

nax∞

+=-∑在0x=處條件收斂，所以

21

(1)

nnnax∞

+=-∑的收斂域?yàn)閇0,2]

（13）設(shè)1234,,,aaaa均為n維列向量，若123,,aaa線性無(wú)關(guān)，41232aaaa=-+，構(gòu)成矩陣1234(,,,)Aaaaa=，則齊次線性方程組0Ax=的通解為_________________________.【答案】(2,1,11)T

k--

【解析】由題設(shè)知,123,,,aaa線性無(wú)關(guān),1234,,,aaaa線性相關(guān),所以向量組1234,,,aaaa的秩為3.注重到方程0Ax=中未知量個(gè)數(shù)為4,故方程的基礎(chǔ)解系由1個(gè)非零解向量組成.

()1

23

421011aaaa???-?=??-??，故2111??

?-???-??

是方程的一個(gè)非零解,所以也是0Ax=的一個(gè)基礎(chǔ)解系,從而0Ax=的一個(gè)通解為(2,1,11)T

k--,其中k是隨意常數(shù).。

（14）設(shè)隨機(jī)變量XY和互相自立，且~(0,1),~(0,2)XNYN，則2

2

()DXY+=______【答案】10

【解析】由于XY和互相自立，所以22

XY與互相自立，2222

()DXYDXDY+=+

因?yàn)閪(0,1)XN，所以22

~(1)Xχ，故22DX=，~(0,2)YN

~(0,1)N22

~(1)2

Yχ，故22()282YDDY=?=，所以2222()2810DXYDXDY+=+=+=

三、解答題（本題共9小題，滿分94分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證實(shí)過(guò)程或演算步驟）（15）（本題滿分10分）

設(shè)(,)fuv具有二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足1222

2=??+??v

f

uf，又)](21,[),(2

2yxxyfyxg-=，求.2222y

gxg??+??

【解析】由復(fù)合函數(shù)[(,),(,)]zfxyxy?ψ=的求導(dǎo)法則：

221()()2xygfxyfxuxvx

??

?-?

??????=+

?????ffyxuv??=+??（2分）221()()2xygfxyfyuyvx??

?-?

??????=+?????.ffxyuv

??=-??（4分）從而

22222222gfffffyyxxyxxuuvvuvv??????????=?+?++?+?????????????????

222

2

2222ffffyxyxuuvvv????=+++?????（6分）222222

22gfffffxxyyxyyuuvvuvv??????????=?-?--?-?????????????????

222

2

2222ffffxxyyuuvvv????=-+-?????（8分）所以2222

22222222

222222()()()()ggffffxyxyxyxyuvuv

??????+=+++=++??????=.22yx+（

10分）（10分）（16）（本題滿分10分）

設(shè)()yyx=是區(qū)間(,)ππ-

內(nèi)過(guò)點(diǎn)(的光潔曲線,當(dāng)0xπ-時(shí)，

()()

000fxxfxx

+?-≤?；

當(dāng)0x??，所以()()0faxfa+?->，即在點(diǎn)

a的右鄰域內(nèi)()()fxfa>；（7

分）

因?yàn)?)()()

lim0xfbxfbfbx

-

-?→+?-'=，即在點(diǎn)b

的左鄰域內(nèi)()()fxfb>；（8分）

所以，()fx在[],ab上的最大值不能在xa=或xb=處取到，

又由于函數(shù)()fx在[],ab上延續(xù)，所以函數(shù)()fx在[],ab內(nèi)一定能取到最大值和最

小值，所以一定存在(),cab∈，使得()()[,]

maxabfcfx=，即：[],xab?∈，

()()fxfc≤。

（9分）所以，按照第一問(wèn)的結(jié)論，有()0fc'=，即()fx'在(),ab內(nèi)有零點(diǎn)。（10分）

（18）（本題滿分10分）

設(shè)?

=4

tanπ

xdxann

（1）求

∑

∞

=1

nnaann2++的值。（2）證實(shí)：對(duì)隨意正常數(shù),0>λ∑∞

=1nλ

n

an

收斂?！咀C實(shí)】（1）naann2++n

1

=

?

+4

2)tan1(tanπ

dxxxn

n

1=?

40

tantanπ

xxdn)

1(1

+=

nn2分

∑

∞

=1

nnaann2++=∑∞

=1

n)1(1+nn=14分

（2）?

=

4

tanπ

xdxan

n1

2

1n

tdtt=+?5分+,11λΘ∑

∞

=1

n1

1+λn收斂，由比較判別法可知

∑

∞

=1

nλn

an

收斂。10分（19）（本小題滿分10分）

設(shè)L為從點(diǎn)(1,0)A-沿曲線3

yxx=-到點(diǎn)(1,0)B的有向弧段，求其次型曲線積分

2

(sin3cos)(sin)xL

Iexyydxxyydy=+-+-?

【解析】

()

()()()()()()2

2

2

2

1

3333311

3

3

3

3

2

133232(sin3cos)(sin)sin3()cos()sin()()()sin3()cos()sin()()13sin3()()13cos()13sin(xL

xxxIexyydxxyydy

exxxxxdxxxxxxdxxexxxxxxxxxxx

dx

e

xxxxxxxxxxx--=+-+-=++=++=++-???()

1

31

)xdx

--?

（4分）

因?yàn)?

)2

33

2

sin3()()13xexxxxxx

+為奇函數(shù)，所以（6分）

()()()()1

3

2

3

11

12

3

311

1

13

3

31

1

1

1

3

31

1

1

1

3133

11

1

cos()13sin()13sin()cos()sin()cos()cos()cos()cos()|cos()cos()2

Ixxxxxxdx

xxxxdxxxdx

xxxdxxxxdx

xdxxxxdx

xxxxxdxxxdx=--+--====--+=-?

????????（10

分）

（20）（本題滿分11分）

設(shè)4維向量組()()()1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,T

T

T

aaaααα=+=+=+

()44,4,4,4T

aα=+問(wèn)a為何值時(shí)1234,,,αααα線性相關(guān)?當(dāng)1234,,,αααα線性相關(guān)時(shí),求

其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出.【解析】記1234[,,,]Aαααα=，則

1234123412341

2

3

4aaaa

++++=102341023410234102

3

4aaaaaa

a

+++++++

1

234123

4(10)

12341

2

3

4aaaa

+=+++31234

000(10)

(10)000000aaaaaa

=+=+（4分）

按照線性相關(guān)性的定義，存在一組不等于零的數(shù)1234k,k,k,k,使得

112233440kkkkαααα+++=成立，則1234,,,αααα線性相關(guān).于是當(dāng)0A=時(shí)方程組有

非零解，此時(shí)滿足線性相關(guān)的定義，即3

(10)0aa+=，解得當(dāng)0a=或10a=-時(shí)，

1234,,,αααα線性相關(guān).（4分）

當(dāng)0a=時(shí)，1α為1234,,,αααα的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且2131412,3,4αααααα===.（6分）當(dāng)10a=-時(shí),對(duì)A作初等行變換.

923418341274123

6A-????-?

?=??-?

???

[][]()[][]()

[][]()211311411923

410

100010010010

0010+?-+?-+?--??

??-??→

??

-??

-??

[][][]121013101410

9234110010101001?

?

?

-????-?

?→??

-??

-??

[][][][][][]1

44133

122123400001100[,,,]10101001ββββ+?+?+?????

-??→=??-??-??從矩陣中可以看出因?yàn)?34,,βββ為1234,,,ββββ的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且

1234ββββ=，（10分）

故234,,ααα為1234,,,αααα的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且1234αααα=.

（11分）

（21）（本題滿分11分）

已知實(shí)二次型123(,,)T

fxxxxAx=的矩陣ijAa??=??滿足1122336,aaaABC++=-=

其中1101202,02411012BC-????

????==-????????--????

。（Ⅰ）用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所用的正交變換和所得標(biāo)準(zhǔn)型；（Ⅱ）求出該二次型

【解析】（Ⅰ）記[][]121,0,1,1,2,1T

T

αα=-=則

[][]122,012BCααα==-

[][]1

21

2ABAAAαααα==,由題設(shè)ABC=知

10Aα=，2212Aαα=-所以12,αα是A分離屬于特征值120,12λλ==-的特征向量。

LLL2分

設(shè)3λ是第三個(gè)特征值，利用題設(shè)有：

1231122336aaaλλλ++=++=-，所以36λ=。LLL3分

設(shè)36λ=對(duì)應(yīng)的特征向量為[]3123,,T

xxxα=，由3231,λλλλ≠≠，知

3231,αααα⊥⊥，即

13123020

xxxxx-=??

++=?

LLL5分

解得[][]123,,1,1,1T

T

xxxt=-，取[]31,1,1T

α=-將123,,ααα單位化得3個(gè)兩兩正交的單位向量組

]

]]1231,0,1,1,2,1,1,1,1TTT

ηηη=-==-LLL7分記[]123,,Uηηη=，則U為正交矩陣，且0000120006T

UAU??

??=-??????

（*）

作正交變換xUy=，即得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：22

23126yy-+LLL9分

（Ⅱ）由（Ⅰ）的（*）推得：

0000600120666006060TAUU-????????=-=????????-????

，故所求的二次型為：2

12321223(,,)61212TfxxxxAxxxxxx==LLL11分

（22）（本小題滿分11分）

設(shè)隨機(jī)變量(,)XY的概率密度為：

()01,0(,)0kxyxyx

fxy+<<<<?=?

?其它

求：（I）常數(shù)k的值；

（II）(,)XY的邊緣密度函數(shù)(),()XYfxfy；（III）求ZXY=+的密度函數(shù)()Zfz；

【解析】（1）由

(,)1fxydxdy+∞

+∞-∞

-∞

=??

，則10

(,)()12

x

k

fxydxdydxkxydy+∞

+∞

-∞

-∞

=+=

=?

?

??所以2k=LLL2分（2）202()3,01

()()0,x

Xxydyxxfxfxydy+∞

-∞

?+=<<?=

=?

????

，

其它LLL4分122()123,01()()0,yYxydyyyyfyfxydx+∞

-∞

?+=+-<<?

=

=???

??

，其它LLL6分

（3）()()()(,)Zxyz

FzPZzPXYzfxydxdy+≤=≤=+≤=

??

①當(dāng)0z<時(shí)()0ZFz=LLL分②當(dāng)2z≥時(shí)()1ZFz=LLL7分③當(dāng)01z≤<時(shí)3

20

()(,)2()3

z

zyZy