三角形全等 省賽獲獎

第22課時三角形全等1．[2018·黔南州]如圖22－1，a，b，c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側(cè)△ABC全等的是(

) A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙圖22－1B【解析】乙、丙和△ABC全等．理由如下：在△ABC和圖乙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和圖丙的三角形中，滿足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；無法判定甲與△ABC全等．2．[2017·臺州]如圖22－2，點P是∠AOB平分線OC上一點，PD⊥OB，垂足為D，若PD＝2，則點P到邊OA的距離是 (

)圖22－2A

第2題答圖【解析】如答圖，作PE⊥OA于E，∵點P是∠AOB平分線OC上一點，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝2.3．如圖22－3，已知點A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，還需要添加一個條件是 (

) A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF圖22－3B4．[2018·瀘州改編]如圖22－4，已知點D，A，E，B在同一條直線上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.求證：∠F＝∠C.圖22－41．全等圖形及全等三角形

全等圖形：能夠________的兩個圖形稱為全等圖形．

全等三角形：能夠________的兩個三角形叫全等三角形．2．全等三角形的性質(zhì)

性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊________，對應(yīng)角________；

拓展：全等三角形的對應(yīng)邊上的高線________，對應(yīng)邊上的中線________，對應(yīng)角的平分線________．重合重合相等相等相等相等相等3．三角形全等的判定對應(yīng)相等的元素三角形是否一定全等一般三角形兩邊一角兩邊及其夾角一定(SAS)兩邊及其中一邊的對角不一定兩角一邊兩角及其夾邊一定(ASA)兩角及其中一角的對邊一定(AAS)三角不一定三邊一定(SSS)直角三角形斜邊、直角邊一定(HL)4.三角形的穩(wěn)定性

三角形具有穩(wěn)定性實際利用的就是“SSS”．5．角平分線的性質(zhì)

性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的____________．

判定：角的內(nèi)部，到角兩邊的距離相等的點在______________．6．命題與證明

命題：判斷某一件事情的句子叫做命題．

組成：命題通常寫成“如果……，那么……”的形式．

命題的真假：命題有真命題和假命題；定理是用推理的方法判斷為正確的命題．距離相等角平分線上互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．把其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做它的逆命題．互逆定理：如果一個定理的逆命題能被證明是真命題，那么就稱它為原定理的逆定理，這兩個定理叫做互逆定理．【知識拓展】(1)改寫命題時，要明確命題的條件和結(jié)論，有時語言要重新組合，可添上命題中被省略的詞語；(2)用舉反例的方法說明一個命題是假命題，就是舉出一個符合命題題設(shè)而不符合命題結(jié)論的例子，舉反例也可以通過畫圖的形式展現(xiàn)．1．證明的基本方法

綜合法：從已知條件入手，探索解題途徑的方法．

分析法：從結(jié)論出發(fā)，用倒推來尋求證題思路的方法．

兩頭“湊”法：綜合應(yīng)用以上兩種方法而找到證題思路的方法．2．反證法

先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定假設(shè)不正確，從而得到原命題成立． (1)有些用直接證法不易證明的問題可嘗試考慮用反證法； (2)證明唯一性和存在性問題常用反證法．3．全等三角形證明規(guī)律 (1)出現(xiàn)角平分線時，常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形； (2)過角平分線上一點向角兩邊作垂線； (3)公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角； (4)若有中線時，常加倍中線，構(gòu)造全等三角形．類型一命題、真假命題、互逆命題典例[2018·嘉興]某屆世界杯的小組比賽規(guī)則：四個球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽(每兩隊賽一場)，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，某小組比賽結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四隊分別獲得第一、二、三、四名，各隊的總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)，則與乙打平的球隊是 (

) A．甲 B．甲與丁 C．丙 D．丙與丁B【解析】∵甲、乙、丙、丁四隊分別獲得第一、二、三、四名，各隊的總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)，共進(jìn)行3＋2＋1＝6場比賽，最高總得分18分，18＜9＋7＋5＋3，∴甲得分為7分，2勝1平，乙得分5分，1勝2平，丙得分3分，1勝0平，丁得分1分，0勝1平，∵甲、乙都沒有輸球，∴甲一定與乙平，∵丙得分3分，1勝0平，乙得分5分，1勝2平，∴與乙打平的球隊是甲與?。櫽?xùn)練1.[2017·嘉興]下列關(guān)于函數(shù)y＝x2－6x＋10的四個命題：①當(dāng)x＝0時，y有最小值10；②n為任意實數(shù)，x＝3＋n時的函數(shù)值大于x＝3－n時的函數(shù)值；③若n＞3，且n是整數(shù)，當(dāng)n≤x≤n＋1時，y的整數(shù)值有(2n－4)個；④若函數(shù)圖象過點(a，y0)和(b，y0＋1)，其中a＞0，b＞0，則a＜b.其中真命題的序號是 (

)A．① B．② C．③ D．④C

【解析】

∵y＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴當(dāng)x＝3時，y有最小值1，故①錯誤；當(dāng)x＝3＋n時，y＝(3＋n－3)2＋1＝n2＋1，當(dāng)x＝3－n時，y＝(3－n－3)2＋1＝n2＋1，∴n為任意實數(shù)，x＝3＋n時的函數(shù)值等于x＝3－n時的函數(shù)值，故②錯誤；∵拋物線y＝x2－6x＋10的對稱軸為x＝3，a＝1＞0，∴當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝n＋1時，y＝(n＋1)2－6(n＋1)＋10，當(dāng)x＝n時，y＝n2－6n＋10，(n＋1)2－6(n＋1)＋10－[n2－6n＋10]＝2n－5，∵n是整數(shù)，∴2n－5是整數(shù)，故③正確；∵拋物線y＝x2－6x＋10的對稱軸為x＝3，a＝1＞0，∴當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大，x＜3時，y隨x的增大而減小，∵y0＋1＞y0，∴當(dāng)0＜a＜3，0＜b＜3時，a＞b，當(dāng)a＞3，b＞3時，a＜b，當(dāng)a，b在3兩側(cè)時，a，b的大小不確定，故④錯誤．故選C.2．[2017·無錫]對于命題“若a2＞b2，則a＞b”，下面四組關(guān)于a，b的值中，能說明這個命題是假命題的是 (

)A．a(chǎn)＝3，b＝2 B．a(chǎn)＝－3，b＝2C．a(chǎn)＝3，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝3【解析】A，C選項均滿足a2＞b2，且a＞b，B選項滿足a2＞b2，但a＜b，D選項不滿足a2＞b2，故選B.B3．[2017·常德]命題：“如果m是整數(shù)，那么它是有理數(shù)”，則它的逆命題為：_______________________________．思維升華(1)兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題；(2)正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理；(3)舉反例是說明假命題不成立的常用方法，但需要注意所舉反例需要滿足命題的題設(shè)，只是結(jié)論不成立．如果m是有理數(shù)，那么它是整數(shù)類型二反證法典例[2018·嘉興]用反證法證明時，假設(shè)結(jié)論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關(guān)系只能是 (

) A．點在圓內(nèi) B．點在圓上 C．點在圓心上 D．點在圓上或圓內(nèi)

【解析】反證法證明時，假設(shè)結(jié)論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關(guān)系只能是：點在圓上或圓內(nèi)．DA．綜合法 B．反證法C．舉反例法D．?dāng)?shù)學(xué)歸納法B思維升華反證法的步驟是：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．類型三三角形全等典例[2018·溫州]如圖22－5，在四邊形ABCD中，E是AB的中點，AD∥EC，∠AED＝∠B. (1)求證：△AED≌△EBC； (2)當(dāng)AB＝6時，求CD的長．圖22－5思維升華

(1)全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL；(2)判定兩個三角形全等一般可以從三個角度思考：一是從三邊考慮；二是從兩邊和它們的夾角考慮，三是從兩角和夾邊考慮；(3)軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等．跟蹤訓(xùn)練1.[2018·武漢]如圖22－6，點E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF與DE交于點G，求證：GE＝GF.圖22－62．[2017·溫州]如圖22－7，在五邊形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.(1)求證：△ABC≌△AED；(2)當(dāng)∠B＝140°時，求∠BAE的度數(shù)．【解析】(1)根據(jù)邊角邊判定△ABC與△AED

三角形全等；(2)由三角形全等的性質(zhì)得∠B＝∠E＝140°，五邊形內(nèi)角和為(5－2)×180°＝540°，再求∠BAE的度數(shù)．圖22－7(2)由△ABC≌△AED得∠B＝∠E＝140°，∵五邊形內(nèi)角和為(5－2)×180°＝540°，∴∠BAE＝540°－2×140°－2×90°＝80°.類型四三角形全等的開放探究型問題典例[2018·成都]如圖22－8，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是 (

) A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC圖22－8C【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)定理逐個判斷即可．A．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤；B．∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤；C．∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本選項正確；D．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤．跟蹤訓(xùn)練1.[2018·金華]如圖22－9，△ABC的兩條高線AD，BE相交于點F，請?zhí)砑右粋€條件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及輔助線)，你添加的條件是___________．圖22－9AC＝BC【解析】根據(jù)三角形高線的定義可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再有∠C＝∠C，然后再添加AC＝BC，可利用AAS判定△ADC≌△BEC.添加AC＝BC，∵△ABC的兩條高線AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，2．[2018·濱州]已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D為BC的中點．(1)如圖22－10①，若點E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF，求證：BE＝AF；(2)若點E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點，且DE⊥DF，那么BE＝AF嗎？請利用圖②說明理由．圖22－10解：(1)證明：如答圖①，連結(jié)AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∠EBD＝45°.∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF；

跟蹤訓(xùn)練2答圖① 跟蹤訓(xùn)練2答圖②(2)BE＝AF.理由如下：如答圖②，連結(jié)AD，∵∠ABD＝∠CAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA.思維升華

(1)全等三角形的開放型探究試題，常見的類型有條件開放型、結(jié)論開放型及策略開放型三種．注意挖掘題目中隱含的條件，例如公共邊、公共角、對頂角等；(2)三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查判定三角形全等的方法為主．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．類型五利用全等三角形設(shè)計測量方案典例楊陽同學(xué)沿一段筆直的人行道行走，在由A步行到達(dá)B處的過程中，通過隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標(biāo)語，其具體信息匯集如下：

如圖22－11，AB∥OH∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于點O，OD⊥CD，垂足為D，已知AB＝20m，請根據(jù)上述信息求標(biāo)語CD的長度．

圖22－11【解析】由AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)，可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的定義，可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相鄰兩平行線間的距離相等可得OD＝OB，利用ASA定理，可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相鄰兩平行線間的距離相等，∴OD＝OB，跟蹤訓(xùn)練課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖22－12所示．(1)求證：△ADC≌△CEB；(2)從三角板的刻度可知AC＝25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小(每塊磚的厚度相等)．圖22－12【解析】(1)根據(jù)題意，可得AC＝CB，∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC；(2)根據(jù)全等，可得DC＝BE＝3a，根據(jù)勾股定理得(4a)2＋(3a)2＝252.解：(1)證明：由題意得AC＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)∵一塊墻磚的厚度為a，∴AD＝4a，BE＝3a，由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，在Rt△ACD中，AD2＋CD2＝AC2，∴(4a)2＋(3a)2＝252，∵a＞0，∴解得a＝5，∴砌墻磚塊的厚度a為5cm.類型六角平分線典例如圖22－13，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直．若AD＝8，則點P到BC的距離是 (

)

A．8 B．6 C．4 D．2圖22－13C

典例答圖【解析】如答圖，過點P作PE⊥BC于點E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB