考研數(shù)學(xué)高分復(fù)習(xí)指南(理工類)

考研數(shù)學(xué)高分復(fù)習(xí)指南數(shù)學(xué)統(tǒng)考從1987年至今，其間“數(shù)學(xué)考試大綱”雖然變化不大，但每年的試題均有所創(chuàng)新,不過仔細(xì)分析還是萬變不離其宗。只要把本書歸納總結(jié)的題型、方法和技巧掌握了，研讀我們精心設(shè)置的典型例題，即可達(dá)到觸類旁通、融會(huì)貫通的境界。我們要提醒讀者的是，數(shù)學(xué)想要考高分，一定要了解考研數(shù)學(xué)究竟要考什么？綜觀這些年的試題可知，主要考查如下四個(gè)方面：（1）基礎(chǔ)（基本概念、基本理論、基本方法）；（2）解綜合題的能力；（3）分析問題和解決問題的能力，即解應(yīng)用題的能力；（4）解題的熟練程度（通過大題量、大計(jì)算量進(jìn)行考核）。真正了解了要考查的東西，復(fù)習(xí)時(shí)才能有的放矢。關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)題型與考試目標(biāo)之間的邏輯關(guān)系，有四句話供大家參考、體會(huì)：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)樹的根，技巧演練靠題型;勤學(xué)苦練強(qiáng)磨礪，功到高分自然成。本書特點(diǎn)：（1）對(duì)大綱要求的重要概念、公式、定理進(jìn)行剖析，增強(qiáng)讀者對(duì)這些內(nèi)容的理解和記憶，避免犯概念性錯(cuò)誤、錯(cuò)用公式和定理的錯(cuò)誤。（2）歸納、總結(jié)了二十多個(gè)思維定式，無疑這對(duì)讀者解題會(huì)有所幫助，但我們的目的是引導(dǎo)讀者去歸納總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣。這樣應(yīng)試的時(shí)候就能很快找到解題突破口。（3）用“舉題型講方法”的格式代替?zhèn)鹘y(tǒng)的“講方法套題型”的做法，使讀者應(yīng)試時(shí)，思路暢通、有的放矢，許多書的跟進(jìn)也說明這種做法的確很有效。（4）廣泛采用表格法，使讀者便于對(duì)照、比較，對(duì)要點(diǎn)一目了然。（5）介紹許多新的快速解題方法和技巧。例如，中值定理證明中的輔助函數(shù)的做法、不定積分中的湊微分法、不等式證明尤其是定積分不等式的證明方法等，都是我們教學(xué)研究的成果，對(duì)讀者應(yīng)試能起到“事半功倍”的效果。（6）創(chuàng)新設(shè)計(jì)出很多好的例題，以期提高讀者識(shí)別題型變異的能力。本書是世界圖書出版公司連續(xù)第17次修訂版，本次修訂幅度較大，主要從以下幾方面對(duì)該書進(jìn)行了完善和提升：一是對(duì)某些概念作了更系統(tǒng)的闡述，使知識(shí)體系更加完整，降低了學(xué)生的理解難度。例如，對(duì)于對(duì)于二重積分的上、下、左、右四種偏心圓的極坐標(biāo)表示、矩陣可逆的充分必要條件、如何由分布函數(shù)在一點(diǎn)處的概率等；二是由于每年的試題中，對(duì)以前的考題都有一定的重復(fù)率，而且由真題可以看出近年的試題的難度和變化趨勢(shì)，因此在這次修訂中增加了大量的歷年真題。另外，對(duì)一些偏題、重題、怪題進(jìn)行了徹底解決?？傊敬涡抻?，無論從質(zhì)量、體系還是難易程度、趨勢(shì)把控等方面都讓該書上了一個(gè)新臺(tái)階，做到了真正的與時(shí)俱進(jìn)！圖書目錄篇要高數(shù)解題的四種思維定勢(shì)1第1篇高等數(shù)學(xué)第1章函數(shù)·極限·連續(xù)7§11函數(shù)7一、函數(shù)的定義7二、函數(shù)的定義域的求法8三、函數(shù)的基本性質(zhì)9四、分段函數(shù)14五、初等函數(shù)14§12函數(shù)的極限及其連續(xù)性17一、概念17二、重要定理與公式21§13極限的求法28一、未定式的定值法28二、類未定式32三、數(shù)列的極限34四、極限式中常數(shù)的確定(重點(diǎn))38五、雜例41習(xí)題144第2章導(dǎo)數(shù)與微分48§2.1定義·定理·公式48一、導(dǎo)數(shù)與微分的定義48二、定理51三、導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則52四、基本公式52§2.2各類函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法52一、復(fù)合函數(shù)微分法及反函數(shù)求導(dǎo)數(shù)52二、參數(shù)方程微分法54三、隱函數(shù)微分法55四、冪指函數(shù)微分法56五、函數(shù)表達(dá)式為若干因子連乘積、乘方、開方或商形式的微分法57六、分段函數(shù)微分法58§2.3高階導(dǎo)數(shù)59一、定義與基本公式59二、高階導(dǎo)數(shù)的求法60習(xí)題263第3章不定積分67§31不定積分的概念與性質(zhì)67一、不定積分的概念67二、基本性質(zhì)67三、基本公式68§3.2基本積分法69一、第一換元積分法(也稱湊微分法)69二、第二換元積分法72三、分部積分法75§3.3各類函數(shù)積分的技巧及分析80一、有理函數(shù)的積分80二、簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分81三、三角有理式的積分82平面方程218二、空間曲面在其上某點(diǎn)處的切平面和法線方程219習(xí)題8220第9章重積分223§9.1概念·性質(zhì)223一、概念223二、性質(zhì)233§9.2二重積分的解題技巧226一、Df(x,y)dσ的解題程序226二、直角坐標(biāo)系中積分限的確定227三、極坐標(biāo)系中積分限的確定227四、典型例題分析229§9.3*三重積分239一、Ωf(x,y,z)dv的解題程序239二、坐標(biāo)系的選擇239三、球面坐標(biāo)系中積分限的確定240四、更換積分次序241五、三重積分計(jì)算242§9.4二、三重積分的應(yīng)用244習(xí)題9249第10章無窮級(jí)數(shù)253§10.1基本概念及其性質(zhì)253§10.2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法256一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un，(un≥0)斂散性的判別法256二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)∑∞n＝1(-1)n-1un(un＞0)的判斂法260三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)261四、雜例266§10.3冪級(jí)數(shù)267一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念267二、冪級(jí)數(shù)269§10.4無窮級(jí)數(shù)求和275一、冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)275二、求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和280§10.5傅里葉級(jí)數(shù)283一、概念、定理283二、周期與非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)285習(xí)題10289第11章曲線、曲面積分及場(chǎng)論初步293§11.1曲線積分的概念及性質(zhì)293一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分293二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分293三、兩種曲線積分之間的關(guān)系294§11.2曲線積分的理論及計(jì)算方法294一、基本定理294二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法295三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy的計(jì)算法297§11.3曲面積分的概念與性質(zhì)303一、對(duì)面積的曲面積分303二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分304三、兩種曲面積分之間的關(guān)系304§11.4曲面積分的理論與計(jì)算方法304一、基本定理304二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法305三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法306§11.5場(chǎng)論初步312一、概念與公式312二、例題選講314習(xí)題11317第12章常微分方程318§12.1概念318§12.2一階微分方程319一、變量可分離的微分方程319二、齊次方程321三、一階線性微分方程322四、伯努利方程327五、全微分方程328§12.3可降階的高階方程330一、可降階的高階方程解法一覽表330二、解題技巧及分析330§124高階線性微分方程331一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)331二、二階常系數(shù)線性微分方程333三、n階常系數(shù)線性方程334四、歐拉方程340§12.5微分方程的應(yīng)用341一、在幾何中的應(yīng)用341二、在力學(xué)中的應(yīng)用343習(xí)題12344第13章函數(shù)方程與不等式證明346§13.1函數(shù)方程346一、利用函數(shù)表示法與用何字母表示無關(guān)的“特性”求解方程346二、利用極限求解函數(shù)方程347三、利用導(dǎo)數(shù)的定義求解方程348四、利用變上限積分的可導(dǎo)性求解方程348五、利用連續(xù)函數(shù)的可積性及原函數(shù)的連續(xù)性求解349六、利用解微分方程的方法求解f(x)350§13.2不等式的證明352一、引入?yún)?shù)法352二、利用微分中值定理353三、利用函數(shù)的單調(diào)增減性(重點(diǎn))355四、利用函數(shù)的極值與最值356五、利用函數(shù)圖形的凹凸性358六、利用泰勒展開式358七、雜例359習(xí)題13361篇要線性代數(shù)的八種思維定勢(shì)364第2篇線性代數(shù)第1章行列式368§11行列式的概念368一、排列與逆序368二、n階行列式的定義369§12性質(zhì)、定理與公式370一、行列式的基本性質(zhì)370二、行列式按行(列)展開定理373三、重要公式與結(jié)論373§1.3典型題型分析374題型一抽象行列式的計(jì)算374題型二低階行列式的計(jì)算375題型三n階行列式的計(jì)算377§14雜例382習(xí)題一384第2章矩陣387§21矩陣的概念與運(yùn)算387一、矩陣的概念387二、矩陣的運(yùn)算387§22逆矩陣390一、逆矩陣的概念390二、利用伴隨矩陣求逆矩陣391三、矩陣的初等變換與求逆393四、分塊矩陣及其求逆394五、矩陣的秩及其求法394§23典型題型分析395題型一求逆矩陣395題型二求矩陣的高次冪Am.398題型三有關(guān)初等矩陣的命題400題型四解矩陣方程401題型五求矩陣的秩403題型六關(guān)于矩陣對(duì)稱、反對(duì)稱命題的證明405題型七關(guān)于方陣A可逆的證明405題型八與A的伴隨陣A*有關(guān)聯(lián)的命題的證明406題型九關(guān)于矩陣秩的命題的證明408習(xí)題2410第3章向量415§31基本概念415一、向量的概念與運(yùn)算415二、向量間的線性關(guān)系415三、向量組的秩和矩陣的秩416§3.2重要定理與公式417§33典型題型分析418題型一討論向量組的線性相關(guān)性418題型二有關(guān)向量組線性相關(guān)性命題的證明421題型三判定一個(gè)向量是否可由一組向量線性表示428題型四有關(guān)向量組線性表示命題的證明431題型五求向量組的極大線性無關(guān)組432題型六有關(guān)向量組或矩陣秩的計(jì)算與證明434題型七與向量空間有關(guān)的命題437習(xí)題3440第4章線性方程組444§4.1概念、性質(zhì)、定理444一、克萊姆法則444二、線性方程組的基本概念445三、線性方程組解的判定446四、非齊次線性方程組Ax=b與齊次線性方程組Ax=0解的關(guān)系446五、線性方程組解的性質(zhì)446六、線性方程組解的結(jié)構(gòu)446§42典型題型分析448題型一基本概念題(解的判定、性質(zhì)、結(jié)構(gòu))448題型二含有參數(shù)的線性方程組解的討論451題型三討論兩個(gè)方程組的公共解457題型四有關(guān)基礎(chǔ)解系的證明461題型五綜合題462習(xí)題4467第5章特征值和特征向量471§51概念與性質(zhì)471一、矩陣的特征值和特征向量的概念471二、特征值與特征向量的計(jì)算方法471三、相似矩陣及其性質(zhì)472四、矩陣可相似對(duì)角化的充要條件472五、對(duì)稱矩陣及其性質(zhì)472§52重要公式與結(jié)論473§53典型題型分析474題型一求數(shù)值矩陣的特征值與特征向量474題型二求抽象矩陣的特征值、特征向量476題型三特征值、特征向量的逆問題478題型四相似的判定及其逆問題480題型五判斷A是否可對(duì)角化482題型六綜合應(yīng)用問題485題型七有關(guān)特征值、特征向量的證明題491習(xí)題5493第6章二次型496§61基本概念與定理496一、二次型及其矩陣表示496二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型496三、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形497四、施密特（Schmidt）正交化方法497五、二次型和矩陣的正定性及其判別法498六、正交矩陣501§62典型題型分析501題型一二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣及其性質(zhì)501題型二實(shí)對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化問題503題型三化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形505題型四已知二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，反求參數(shù)508題型五有關(guān)二次型及其矩陣正定性的判定與證明510題型六合同矩陣512習(xí)題6513篇要概率統(tǒng)計(jì)的九種思維定勢(shì)515第3篇概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1章隨機(jī)事件和概率519§1基本概念、性質(zhì)與公式519一、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件519二、事件的關(guān)系及其運(yùn)算519三、事件的概率及其性質(zhì)521四、條件概率與事件的獨(dú)立性523五、重要概型524六、重要公式525§2典型題型分析525題型一古典概型與幾何概型525題型二事件的關(guān)系和概率性質(zhì)的命題528題型三條件概率與積事件概率的計(jì)算530題型四全概率公式與Bayes公式的命題531題型五有關(guān)Bernoulli概型的命題534習(xí)題1536第2章隨機(jī)變量及其分布539§1基本概念、性質(zhì)與公式539一、概念與公式一覽表539二、重要的一維分布542三、重要的二維分布544§2典型題型分析545題型一一維隨機(jī)變量及其分布的概念、性質(zhì)的命題545題型二求一維隨機(jī)變量的分布律、概率密度或分布函數(shù)548題型三求一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布553題型四二維隨機(jī)變量及其分布的概念、性質(zhì)的考查557題型五求二維隨機(jī)變量的各種分布與隨機(jī)變量獨(dú)立性的討論559題型六求兩個(gè)隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布565習(xí)題2571第3章隨機(jī)變量的數(shù)字特征578§1基本概念、性質(zhì)與公式578一、一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征578二、二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征580三、幾種重要的數(shù)學(xué)期望與方差581四、重要公式與結(jié)論582§2典型題型分析582題型一求一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征582題型二求一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望587題型三求二維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征589題型四有關(guān)數(shù)字特征的證明題599題型五應(yīng)用題600習(xí)題3603第4章大數(shù)定律和中心極限定理607§1基本概念與定理607一、切比雪夫不等式607二、中心極限定理607三、重要公式與結(jié)論608四、注意608§2典型題型分析608題型一有關(guān)切比雪夫不等式與大數(shù)定律的命題608題型二有關(guān)中心極限定理的命題610習(xí)題4613第5章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念614§1基本概念、性質(zhì)與公式614一、幾個(gè)基本概念614二、三個(gè)抽樣分布——χ2分布、t分布與F分布615三、正態(tài)總體下常用統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)615四、重要公式與結(jié)論616§2典型題型分析617題型一求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征或取值的概率、樣本的容量617題