湖北省襄陽市襄州區(qū)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析

PAGE20-湖北省襄陽市襄州區(qū)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題1．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知平面的一個法向量為，點在平面內(nèi)，若點到平面的距離，則A． B． C．或 D．或3．甲、乙兩人比賽，每局甲獲勝的概率為，各局的勝負(fù)之間是獨立的，某天兩人要進(jìn)行一場三局兩勝的比賽，先贏得兩局者為勝，無平局．若第一局比賽甲獲勝，則甲獲得最終勝利的概率為（

）A． B． C． D．4．在棱長均等的正三棱柱中，直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．若，則（

）A． B． C． D．6．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成120°的二面角.若，，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知在中，為線段上一點，沿將翻轉(zhuǎn)至，若點在平面內(nèi)的射影恰好落在線段上，則二面角的正切的最大值為（

）A． B．1C． D．二、多選題9．已知，表示兩條不重合的直線，，，表示三個不重合的平面，給出下列命題，其中正確的是（

）A．若，，且，則B．若，相交且都在，外，，，，，則C．若，，則D．若，，，則10．下列說法中正確的有（

）A．若事件A與事件B是互斥事件，則B．若事件A與事件B是對立事件，則C．某人打靶時連續(xù)射擊三次，則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D．把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件11．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若把圖像上的所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)在上是增函數(shù)C．若把函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)是奇函數(shù)D．，若恒成立，則的取值范圍為12.棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，若，則下列說法中正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．二面角的正切值的取值范圍為C．當(dāng)時，平面截正方體所得截面為等腰梯形D．當(dāng)時，三棱錐的外接球的表面積為三、填空題13．已知，則點到直線的距離為_______.14．已知向量可作為空間的一組基底，若，且在基底下滿足，則__．15．已知三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)面底面，且，則該幾何體的外接球的表面積為____________．16．如圖，在的點陣中，依次隨機(jī)地選出、、三個點，則選出的三點滿足的概率是______．四、解答題17．如圖，在空間四邊形中，已知是線段的中點，在上，且．(1)試用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．18．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測試，并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)估計這次測試成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(3)在測試成績位于區(qū)間[80，90）和[90，100]的學(xué)生中，采用分層抽樣，確定了5人，若從這5人中隨機(jī)抽取2人向全班同學(xué)介紹自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，設(shè)事件A＝“抽取的兩人的測試成績分別位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）.19．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC．(1)求角B的大小；(2)若，角B的角平分線交AC于D，且BD＝1，求的周長．20．大力開展體育運動，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，是學(xué)校教育的重要目標(biāo)之一.我校開展體能測試，A、B、C三名男生準(zhǔn)備在跳遠(yuǎn)測試中挑戰(zhàn)2.80米的遠(yuǎn)度，已知每名男生有兩次挑戰(zhàn)機(jī)會，若第一跳成功，則等級為“優(yōu)秀”，挑戰(zhàn)結(jié)束；若第一跳失敗，則再跳一次，若第二跳成功，則等級也為“優(yōu)秀”，若第二跳失敗，則等級為“良好”，挑戰(zhàn)結(jié)束.已知A、B、C三名男生成功跳過2.80米的概率分別是，，，且每名男生每跳相互獨立.(1)求A，B，C三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中共跳5次的概率；(2)分別求A，B，C三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中獲得“優(yōu)秀”的概率21．已知四棱錐中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分別是、、、的中點．(1)求平面與平面所成的銳二面角的大??；(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由如圖所示，已知多面體中，四邊形為菱形，為正四面體，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.參考答案：1．D【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，求出，再將轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式即可.【詳解】由題意，，，∴其虛部為；故選：D.2．C【分析】先計算，再代點到直線的距離公式即可求解【詳解】由題意，所以，即，解得或．故選：C3．B【分析】分兩種情況（甲第二局獲勝或甲第二局負(fù)，第三局獲勝）討論得解.【詳解】解：根據(jù)題意知只需考慮剩下兩局的情況，（1）甲要獲勝，則甲第二局獲勝，此時甲獲得最終勝利的概率為；（2）甲要獲勝，則甲第二局負(fù)，第三局獲勝，所以甲獲得最終勝利的概率為．故甲獲得最終勝利的概率為.故選：B4．D【分析】設(shè)正三棱柱的棱長為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】設(shè)正三棱柱的棱長為2，取的中點，的中點，連接，則∥，，因為平面，平面，所以，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)直線與所成角為，則，所以直線與所成角的余弦值為，故選：D5．C【分析】令可得，再代入，結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式求解即可【詳解】令可得，故，則故選：C6．A【分析】求出直線的方向向量，平面的法向量，再根據(jù)空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解．【詳解】解：平面的方程為，平面的法向量可取平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，令，則，，所以，則直線與平面所成角的大小為，．，故選：A．7．C【分析】根據(jù)二面角的平面角的定義得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得點P在平面ABC內(nèi)，則的最小值為點D到平面ABC的距離，設(shè)點P到平面ABC的距離為h，運用等體積法可求得答案.【詳解】解：由已知得，所以是和折成120°的二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，因為，其中，所以點P在平面ABC內(nèi)，則的最小值為點D到平面ABC的距離，設(shè)點P到平面ABC的距離為h，因為，，所以平面BDC，所以AD是點A到平面BDC的距離，所以，又中，，所以，所以，則，所以，解得，所以的最小值為，故選：C.8．C【分析】過作交BC于E，連接EH，結(jié)合已知條件有二面角的平面角為，而，設(shè)且，則，即可求，，應(yīng)用函數(shù)與方程思想，構(gòu)造且在上有解求參數(shù)m的范圍，即可得二面角正切的最大值.【詳解】過作交BC于E，連接EH，∵在平面內(nèi)的射影恰好落在線段上，即面，∴且，,即面，面，則,∴二面角的平面角為，在中，，若令，則，又，∴，且，故，則，即方程在上有解時，m的最大值即為所求，而開口向上且，即，對稱軸.∴當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)時，當(dāng)對稱軸在上，恒成立；當(dāng)對稱軸在上，，即；∴綜上，有，即，故二面角的正切的最大值為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三垂線定理找到二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)線段關(guān)系、勾股定理求，，由，結(jié)合函數(shù)與方程的思想求參數(shù)m范圍，進(jìn)而確定最大值.9．BD【分析】根據(jù)線面平行，面面平行的性質(zhì)和判定分析判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)，，且時，與有可能平行，也可能相交，所以A錯誤，對于B，設(shè)，確定的平面為，因為，，，，，是相交直線，所以，，故，所以B正確，對于C，當(dāng)，時，與可能平行，也可能相交，所以C錯誤，對于D，當(dāng)，，時，由線面平行的性質(zhì)定理可知，所以D正確．故選：BD．10．ABC【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念判斷即可.【詳解】解：事件與事件互斥，則不可能同時發(fā)生，所以，故A正確；事件與事件是對立事件，則事件即為事件，所以，故B正確；事件“至少兩次中靶”與“至多一次中靶”不可能同時發(fā)生，且二者必發(fā)生其一，所以為對立事件，故C正確；“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時發(fā)生，即“丙分得的是紅牌”，所以不是互斥事件，故D錯誤．故選：ABC11．CD【分析】根據(jù)圖像可確定最小正周期，由此可得；根據(jù)可求得，由此可得A錯誤；根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換可求得，利用代入檢驗的方式可知B錯誤；根據(jù)三角函數(shù)平移變換可得，由正弦型函數(shù)奇偶性判斷可知C正確；將問題轉(zhuǎn)化為，由正弦型函數(shù)值域求法可求得的值域，由此可得的范圍，知D正確.【詳解】對于A，由圖像可知：的最小正周期，；，，解得：，又，，，A錯誤；對于B，圖像上的所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜茫?，?dāng)時，，在上不單調(diào)，B錯誤；對于C，的圖像向左平移個單位長度得：，，即為奇函數(shù)，C正確；對于D，，由得：，當(dāng)時，，，，，即實數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：CD.12．【答案】ACD【分析】根據(jù)平面，得到點到平面的距離為定值，可判定A正確；當(dāng)時，點與點重合，得到二面角的平面角大于，可判定B不正確；當(dāng)時，得到可得且，可判定C正確；在上取點，使，連接，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，根據(jù)，列出方程，求得球的半徑，可判定D正確.【詳解】對于A中，因為，可得點是線段上的一個動點，又因為平面，所以點到平面的距離為定值，所以三棱錐是定值，又由，所以A正確；對于B中，當(dāng)時，點與點重合，此時二面角的平面角大于，如圖所示，此時二面角的正切值小于，所以B不正確；對于C中，當(dāng)時，此時，即點為的中點，如圖所示，連接，此時，在正方體中，因為可得分別為棱，的中點，可得且，在直角中，可得,在直角中，可得,所以四邊形為等腰梯形，即平面截正方體所得截面為等腰梯形，所以C正確；對于D中，如圖所示，連接，交于，則為的中點，所以，在上取點，使，連接，則，所以平面，則，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則，由及，得點在過點且平行于的直線上，設(shè)，因為，，所以，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以D正確.故選：ACD13．##【分析】根據(jù)空間向量點到線的距離公式求解即可【詳解】因為，，點到直線的距離為：故答案為：14．2【分析】根據(jù)題意利用向量相等列出方程組求出的值．【詳解】因為，且，所以，解得故答案為：2．15．【分析】取的中點，連接、，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到底面，建立空間直角坐標(biāo)系，首先求出外接圓的圓心，即可設(shè)球心為，則，即可得到方程，求出，從而得到外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式計算可得；【詳解】解：取的中點，連接、，因為，為等邊三角形，所以，，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則外接圓的圓心為，設(shè)球心為，則，所以，解得，所以，所以外接球的表面積；故答案為：16．【分析】先將個點標(biāo)號，對點的位置進(jìn)行分類討論，結(jié)合古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知、、三個點是有序的，討論點為主元，對點分三種情況討論，如下圖所示：（1）第一類為號點.①若，三點共線有條直線，此時有種；②若，如點在號位，則點在號位或號位，即確定第二號點有種方法，確定第三號點有種方法，此時有種；（2）第二類為、、、號點，此時，不存在這樣的點；（3）第三類為、、、號點，以號點為例，有三種情況如下圖所示：故有種.綜上所述，滿足共有種.因此，所求概率為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）數(shù)狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得；（2）由（1）可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律及定義計算可得；(1)解：，，又(2)解：由（1）可得知18．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，即可求解；（3）根據(jù)題意確定抽樣比，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件中所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典摡型的概率計算公式，即可求解.（1）解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，這次測試成績的平均數(shù)為（分）.（3）解：測試成績位于的頻率，位于的頻率，因為，所以確定的5人中成績在內(nèi)的有3人，分別記為，成績在內(nèi)的有2人，分別記為，從5人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間：共有10個樣本點，其中，即，所以概率為.19．(1)120°(2)【分析】（1）根據(jù)cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC，利用正弦定理和余弦定理求解；（2）根據(jù)，得到ac＝a+c，再由b＝2，利用余弦定理求解.(1)解：因為cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC，所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC，即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC，由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac，由余弦定理得，cosB，由B為三角形內(nèi)角得B＝120°；(2)由題意得:，且ABDCBDB＝60°，BD＝1，所以，所以（a+c），即ac＝a+c，因為b＝2，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accos120°＝a2+c2+ac，因為，所以ac=a+c＝4或ac＝﹣3（舍），故的周長為．20．(1)(2)A，B，C三名男生獲得“優(yōu)秀”的概率分別為，，【分析】（1）A，B，C三名男生共跳5次，則可知有1人第一跳成功，其余2人第一跳失敗，然后利用互斥事件和獨立事件的概率公式求解即可，（2）根據(jù)題意獲得優(yōu)秀可分為兩個互斥事件：第一次成功，第一次失敗第二次成功，由此分別計算即可(1)記“A，B，C三名男生第跳成功分別為事件，則由題意可知,A，B，C三名男生共跳5次，則有1人第一跳成功，其余2人第一跳失敗，記“A，B，C三名男生共跳5次”為事件，則(2)由題意得男生跳高的等級為“優(yōu)秀”的概率為,男生跳高的等級為“優(yōu)秀”的概率為男生跳高的等級為“優(yōu)秀”的概率為21．(1)(2)存在，.【分析】（1）證明出平面，，設(shè)，以點為坐標(biāo)原