【典型題】九年級(jí)數(shù)學(xué)下期中試卷(帶答案)

【典型題】九年級(jí)數(shù)學(xué)下期中試卷(帶答案)一、選擇題1．P是△ABC一邊上的一點(diǎn)（P不與A、B、C重合），過點(diǎn)P的一條直線截△ABC，如果截得的三角形與△ABC相似，我們稱這條直線為過點(diǎn)P的△ABC的“相似線”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P的△ABC的“相似線”最多有幾條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條2．如圖所示，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，BC＝7，則△ABC的面積是()A． B．12 C．14 D．213．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是邊AD上的一點(diǎn)，射線CF和BA的延長線交于點(diǎn)E，如果，那么的值是（）A． B． C． D．4．觀察下列每組圖形，相似圖形是（）A． B．C． D．5．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是，那么它們的對(duì)應(yīng)中線之比是（）A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:96．如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（3，1），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來的2倍后得到線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（）A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）7．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標(biāo)桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長為（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺8．已知線段a、b、c、d滿足ab=cd，把它改寫成比例式，錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)：d＝c：b B．a(chǎn)：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d9．如圖，△ABC中AB兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C′，且△A′B′C′與△ABC的位似比為2：1．設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（）A． B． C． D．10．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條邊DF＝50cm，EF＝30cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，則樹高AB為（）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m11．如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝12m，則坡面AB的長度是（）A．15m B．m C．24m D．m12．如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，則下列結(jié)論成立的是（）A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA二、填空題13．如圖，，，，則______.14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，2），C是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，連接BP、EC．當(dāng)BP所在直線與EC所在直線垂直時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為____15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，若AB=2，則DE=______.16．如圖，矩形的頂點(diǎn)都在曲線（常數(shù)，）上，若頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的函數(shù)表達(dá)式是_.17．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)O是原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸上，菱形的兩條對(duì)角線的長分別是6和4，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為．18．已知線段a＝2厘米，c＝8厘米，則線段a和c的比例中項(xiàng)b是______厘米．19．已知點(diǎn)P在線段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____．20．如果=k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_____．三、解答題21．如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。?2．如圖，在中，，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、（1）求的值；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)．23．如圖，在中，,以邊為直徑作⊙交邊于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)，、的延長線交于點(diǎn).（1）求證：是⊙的切線；（2）若,且,求⊙的半徑與線段的長.24．如圖，已知反比例函數(shù)（k1＞0）與一次函數(shù)相交于A、B兩點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C.若△OAC的面積為1，且tan∠AOC＝2.（1）求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，反比例函數(shù)y1的值大于一次函數(shù)y2的值.25．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長線上一點(diǎn)，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的長；（2）若AC＝BC，求證：△CDE∽△DFE．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．C解析：C【解析】試題分析：根據(jù)相似線的定義，可知截得的三角形與△ABC有一個(gè)公共角.①公共角為∠A時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定：當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠C時(shí)，即圖中PD∥BC時(shí)，△APD∽△ACB；當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠B時(shí)，即圖中當(dāng)PF⊥AB時(shí)，△APF∽△ABC；②公共角為∠C時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定：當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠A時(shí)，即圖中PE∥AB時(shí)，△CPE∽△CAB；當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠B時(shí)，根據(jù)∠CPB<60°，可知此時(shí)不成立；③公共角為∠B，不成立.解：①公共角為∠A時(shí)：當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠C時(shí)，即圖中PD∥BC時(shí)，△APD∽△ACB；當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠B時(shí)，即圖中當(dāng)PF⊥AB時(shí)，△APF∽△ABC；②公共角為∠C時(shí)：當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠A時(shí)，即圖中PE∥AB時(shí)，△CPE∽△CAB；當(dāng)過點(diǎn)P的角等于∠B時(shí)，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜∠A，∴∠CPB＜60°，可知此時(shí)不成立；③公共角為∠B，不成立.綜上最多有3條.故選C．2．A解析：A【解析】【分析】【詳解】試題分析：過點(diǎn)A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，∴cosB==，∴∠B=45°，∵sinC===，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，則△ABC的面積是：×AD×BC=×3×（3+4）=．故選A．考點(diǎn)：1．解直角三角形；2．壓軸題．3．D解析：D【解析】分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．詳解：∵在平行四邊形ABCD中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵∴∴∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴故選D.點(diǎn)睛：考查相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方.4．D解析：D【解析】【分析】根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．【詳解】解：A、兩圖形形狀不同，故不是相似圖形；B、兩圖形形狀不同，故不是相似圖形；C、兩圖形形狀不同，故不是相似圖形；D、兩圖形形狀相同，故是相似圖形；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關(guān)鍵．5．A解析：A【解析】∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是1:3，∴它們的對(duì)應(yīng)中線之比為1:3.故選A.點(diǎn)睛:本題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)周長，對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性質(zhì)及靈活運(yùn)用它是解題的關(guān)鍵.6．A解析：A【解析】【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)與位似比的關(guān)系得出C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來的2倍后得到線段CD，∴A點(diǎn)與C點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∵C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），位似比為1：2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，4）故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，正確把握位似比與對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．B解析：B【解析】【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)竹竿的長度為x尺，∵竹竿的影長=一丈五尺=15尺，標(biāo)桿長=一尺五寸=1.5尺，影長五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，熟知同一時(shí)刻物髙與影長成正比是解答此題的關(guān)鍵．8．B解析：B【解析】【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積．對(duì)選項(xiàng)一一分析，選出正確答案．【詳解】解：A、a：d=c：b?ab=cd，故正確；B、a：b=c：d?ad=bc，故錯(cuò)誤；C、d：a=b：c?dc=ab，故正確；D、a：c=d：b?ab=cd，故正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)比例的基本性質(zhì)實(shí)現(xiàn)比例式和等積式的互相轉(zhuǎn)換．9．D解析：D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，然后表示出BC、B′C的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似變換的概念列式計(jì)算．【詳解】設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，則B、C間的橫坐標(biāo)的長度為﹣1﹣x，B′、C間的橫坐標(biāo)的長度為a+1，∵△ABC放大到原來的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣（a+3），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似變換的定義，利用兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的距離等于對(duì)應(yīng)邊的比列出方程是解題的關(guān)鍵．10．D解析：D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB．【詳解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴，∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案為16.5m．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型．11．C解析：C【解析】【分析】直接利用坡比的定義得出AC的長，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．【詳解】解：Rt△ABC中，BC＝12cm，tanA＝1：；∴AC＝BC÷tanA＝12cm，∴AB＝＝24cm．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握坡比的定義是解題關(guān)鍵．12．B解析：B【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定，采用排除法，逐條分析判斷．【詳解】∵∠APD=90°，而∠PAB≠∠PCA，∠PBA≠∠PAC，∴無法判定△PAB與△PCA相似，故A錯(cuò)誤；同理，無法判定△PAB與△PDA，△ABC與△DCA相似，故C、D錯(cuò)誤；∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB=PA，AC=PA，AD=PA，BD=2PA，∴=，∴，∴△ABC∽△DBA，故B正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．本題中把若干線段的長度用同一線段來表示是求線段是否成比例時(shí)常用的方法．二、填空題13．【解析】【分析】角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可證得△ABC∽△CBD再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可解【詳解】解：∵∠B=∠B∠CAB=∠BCD∴△ABC∽△CBD∴BC：BD=AB：BC∴BC：BD=（AD解析：【解析】【分析】角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可證得△ABC∽△CBD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可解．【詳解】解：∵∠B=∠B，∠CAB=∠BCD，∴△ABC∽△CBD，∴BC：BD=AB：BC，∴BC：BD=（AD+BD）：BC，即BC：4=（2+4）：BC，∴BC=2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.14．(1)【解析】【分析】先根據(jù)題意求得CD和PE的長再判定△EPC∽△PDB列出相關(guān)的比例式求得DP的長最后根據(jù)PEDP的長得到點(diǎn)P的坐標(biāo)【詳解】由題意可知OB=2AO=8∵CD⊥BOC是AB的中點(diǎn)∴解析：(1,)【解析】【分析】先根據(jù)題意求得CD和PE的長，再判定△EPC∽△PDB，列出相關(guān)的比例式，求得DP的長，最后根據(jù)PE、DP的長得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】由題意可知，OB=2，AO=8，∵CD⊥BO，C是AB的中點(diǎn)，∴BD=DO=BO==PE，CD=AO=4.設(shè)DP=a，則CP=4﹣a，當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時(shí)，∠FCP=∠DBP，又∵EP⊥CP，PD⊥BD，∴∠EPC=∠PDB=90°，∴△EPC∽△PDB.∴，∴a1=1，a2=3（舍去）.∴DP=1，∵PE=，∴P（1，）.考點(diǎn)：1相似三角形性質(zhì)與判定；2平面直角坐標(biāo)系.15．6【解析】【分析】利用位似的性質(zhì)得到AB：DE=OA：OD然后把OA=1OD=3AB=2代入計(jì)算即可【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似原點(diǎn)O是位似中心∴AB：DE=OA：OD即2：DE=1：3∴D解析：6【解析】【分析】利用位似的性質(zhì)得到AB：DE=OA：OD，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，∴DE=6．故答案是：6．【點(diǎn)睛】考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．16．【解析】【分析】利用矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A（3）C（5）所以B（）然后利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式【詳解】∵D（53）∴A（3）C（5）∴B（）設(shè)直線BD的解析式為y=m解析：【解析】【分析】利用矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A（，3），C（5，），所以B（，），然后利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式．【詳解】∵D（5，3），∴A（，3），C（5，），∴B（，），設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，把D（5，3），B（，）代入得，解得，∴直線BD的解析式為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性質(zhì)．17．－6【解析】【分析】分析：∵菱形的兩條對(duì)角線的長分別是6和4∴A（﹣32）∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上∴解得k=－6【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀?！解析：?【解析】【分析】分析：∵菱形的兩條對(duì)角線的長分別是6和4，∴A（﹣3，2）.∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得k=－6.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?8．4【解析】∵線段b是ac的比例中項(xiàng)∴解得b＝±4又∵線段是正數(shù)∴b＝4點(diǎn)睛：本題考查了比例中項(xiàng)的概念利用比例的基本性質(zhì)求兩條線段的比例中項(xiàng)的時(shí)候負(fù)數(shù)應(yīng)舍去解析：4【解析】∵線段b是a、c的比例中項(xiàng)，∴，解得b＝±4，又∵線段是正數(shù)，∴b＝4．點(diǎn)睛：本題考查了比例中項(xiàng)的概念，利用比例的基本性質(zhì)求兩條線段的比例中項(xiàng)的時(shí)候，負(fù)數(shù)應(yīng)舍去．19．5:3【解析】【詳解】試題解析：由題意AP：BP=2：3AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3故答案為5:3解析：5:3【解析】【詳解】試題解析：由題意AP：BP=2：3，AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.故答案為5:3.20．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案為：3解析：3【解析】∵=k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，故答案為：3.三、解答題21．（1）證明見試題解析；（2）90°．【解析】試題分析：（1）由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．試題解析：（1）∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．22．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）四邊形是平行四邊形，則有軸，可知的橫縱標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，結(jié)合解析式即可求解；【詳解】（1），，，，；（2）四邊形是平行四邊形，軸，的橫縱標(biāo)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，；【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)；利用平行四邊形的性質(zhì)確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．23．（1）證明參見解析；（2）半徑長為，=.【解析】【分析】（1）已知點(diǎn)D在圓上，要連半徑證垂直，連結(jié)，則，所以，∵，∴.∴，∴∥.由得出，于是得出結(jié)論；（2）由得到，設(shè)，則.，，，由，解得值，進(jìn)而求出圓的半徑及AE長.【詳解】解：（1）已知點(diǎn)D在圓上，要連半徑證垂直，如圖2所示，連結(jié)，∵，∴.∵，∴.∴，∴∥.∵，∴.∴是⊙的切線；（2）在和中，∵，∴.設(shè)，則.∴，.∵，∴.∴，解得=，則3x=,AE=6×-=6,∴⊙的半徑