《向量的加法》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)

《向量的加法》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)（1）通過經(jīng)歷向量加法的探究，掌握向量加法概念，結(jié)合物理學(xué)實(shí)際理解向量加法的意義．能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能作出已知兩向量的和向量．（2）在探究活動(dòng)中，理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意義．掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：向量加法的運(yùn)算及其幾何意義．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量加法法則定義的理解．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程一、整體概覽問題1：?jiǎn)栴}1：閱讀課本第137－141頁(yè)，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的對(duì)象在高中的地位是怎樣的？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)章引言的內(nèi)容．預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)主要研究向量的加法（2）第通過一節(jié)向量的概念，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了向量，本節(jié)延續(xù)上一節(jié)的要求，開始向量的運(yùn)算，從加法運(yùn)算到后面的減法、數(shù)乘運(yùn)算．加法運(yùn)算屬于向量運(yùn)算的第一節(jié)，為后面后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，做好鋪墊．設(shè)計(jì)意圖：通過章引言內(nèi)容的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生明晰下一階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．二、探索新知1、形成定義問題2：如圖6－1－8所示，假設(shè)某人上午從點(diǎn)A到達(dá)了點(diǎn)B，下午從點(diǎn)B到達(dá)了點(diǎn)C．（1）分別用向量表示出該人上午的位移、下午的位移以及這一天的位移；（2）這一天的位移與上午的位移、下午的位移有什么聯(lián)系?試從大小和方向兩個(gè)角度加以闡述．師生活動(dòng)：通過學(xué)生學(xué)過的物理知識(shí)自行解決問題，教師給出引導(dǎo)性話語(yǔ)，引出本節(jié)主題．★資源名稱：【知識(shí)點(diǎn)解析】知識(shí)講解——向量的加法運(yùn)算★使用說(shuō)明：本視頻資源主要針對(duì)平面向量的加法運(yùn)算相關(guān)概念進(jìn)行講解，加深學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解和掌握．注：此圖片為“微課”縮略圖，如需使用資源，請(qǐng)于資源庫(kù)調(diào)用．預(yù)設(shè)的答案：（1）上午的位移是，下午的位移是，一天的位移是．（2）位移可以看成位移與的和．設(shè)計(jì)意圖：給出了向量加法的實(shí)際背景，這說(shuō)明了研究向量加法的意義及合理性．這一內(nèi)容的設(shè)置，旨在說(shuō)明從生活中能抽象出數(shù)學(xué)問題，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．引語(yǔ)：而本節(jié)要講的內(nèi)容即額為向量的加法．（板書：向量的加法）教師講解：一般地，平面上任意給定兩個(gè)向量，在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，作出向量，則向量稱為向量的和（也稱為向量的和向量）．向量的和向量記作，因此．當(dāng)不共線時(shí)，求它們的和可用圖6－1－9所示，當(dāng)共線時(shí)，求它們的和可用圖6－1－10所示．因正好能構(gòu)成一個(gè)三角形，因此上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的三角形法則．★資源名稱：【數(shù)學(xué)探究】用兩種方法求作和向量★使用說(shuō)明：本資源探索用三角形法則和平行四邊形法則求作和向量．通過交互式動(dòng)畫的方式，運(yùn)用了本資源，可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加教學(xué)效果，提高教學(xué)效率．注：此圖片為“動(dòng)畫”縮略圖，如需使用資源，請(qǐng)于資源庫(kù)調(diào)用．需要提醒學(xué)生的是：（1）與實(shí)數(shù)加法（即標(biāo)量的加法）運(yùn)算不同，實(shí)數(shù)加法是數(shù)值的運(yùn)算，而向量的加法既要關(guān)注大小又要關(guān)注方向，兩者有本質(zhì)區(qū)別；（2）由定義可知兩個(gè)向量的和仍然是向量除了需要通過作圖來(lái)幫助學(xué)生理解兩個(gè)向量的和之外，還需要帶領(lǐng)學(xué)生分析的代數(shù)特點(diǎn)，要向?qū)W生說(shuō)明：從左邊往右邊看，等式左邊的兩個(gè)向量，其中一個(gè)向量的終點(diǎn)與另外一個(gè)向量的始點(diǎn)是一樣的，而右邊的向量相當(dāng)于消去了這個(gè)點(diǎn)；從右邊往左邊看，相當(dāng)于是引入了個(gè)新的字母，而且引入的這個(gè)新字母是任意的．值得注意的是，對(duì)任意向量，有，向量的模與的模之間滿足不等式．初步應(yīng)用例1已知||=3，||=4，求的最大值和最小值，并說(shuō)明取得最大值和最小值時(shí)與的關(guān)系．師生活動(dòng)：教師使用信息技術(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生觀察到所求對(duì)象的變化情況．預(yù)設(shè)的答案：由可知，的最大值為=3+4=7，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同時(shí)取得最大值．由可知，的最小值為4－3=1，當(dāng)且僅當(dāng)a與b方向相反時(shí)取得最小值．設(shè)計(jì)意圖：直觀形象的理解題目的本質(zhì)，特別是取得最值時(shí)兩個(gè)向量的相對(duì)位置，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決問題中的應(yīng)用．問題3：從物理學(xué)中我們已經(jīng)知道，力既有大小也有方向，因此力是向量．當(dāng)在光滑的水平面上沿兩個(gè)不同的方向拉動(dòng)一個(gè)靜止的物體時(shí)，如圖6－1－11所示，物體會(huì)沿著力或所在的方向運(yùn)動(dòng)嗎?如果不會(huì)，物體的運(yùn)動(dòng)方向?qū)⑹窃鯓拥?師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖，自己寫出答案，教師給出答案．預(yù)設(shè)的答案：我們知道，物理學(xué)中力的合成遵循平行四邊形法則．因此，情境中的物體不會(huì)沿著或所在的方向運(yùn)動(dòng)，其會(huì)沿著以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)．設(shè)計(jì)意圖：視學(xué)生的情況，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到平拋物體時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)速度的求法也遵循平行四邊形法則．還可以引導(dǎo)學(xué)生舉出更多實(shí)際生活中的例子，這樣可以開闊學(xué)生的學(xué)習(xí)思路，提高學(xué)習(xí)興趣．教師講解：一般地，向量的加法也滿足類似的法則，這就是說(shuō)，當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，可以通過作平行四邊形的方法來(lái)得到它們的和：如圖6－1－12所示，平面上任意給定兩個(gè)不共線的向量與，在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，，以AB，AC為鄰邊作一個(gè)平行四邊形ABDC，作出向量，因?yàn)椋虼耍@種求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的平行四邊形法則．由向量加法的平行四邊形法則不難看出，向量的加法運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)于任意的向量與，都有+=+．注意：（1）該法則是求兩個(gè)向量和的另外一種作圖方法，實(shí)際作圖時(shí)，需要將兩個(gè)向量的始點(diǎn)平移到一起（使它們重合），然后再作平行四邊形；（2）平行四邊形法則適用于兩個(gè)向量不共線的情形，這就是說(shuō)，當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，不能用平行四邊形法則得到它們的和，平行四邊形法則具有一定的局限性；（3）平行四邊形法則揭示了兩個(gè)不共線向量的和向量的一個(gè)幾何意義．問題4：從前面已經(jīng)知道，兩個(gè)向量的和還是一個(gè)向量，因此我們可以用得到和向量與另外一個(gè)向量相加．而且我們也已經(jīng)知道，如同數(shù)與數(shù)的加法一樣，向量相加滿足交換律，那么向量相加是否滿足結(jié)合律呢?也就是說(shuō)，三個(gè)向量相加時(shí)，最后的結(jié)果是否與求和的順序有關(guān)呢?師生活動(dòng)：學(xué)生自行思考并給出答案，教師給出正確答案．預(yù)設(shè)的答案：滿足結(jié)合律．三個(gè)向量相加時(shí)，最后的結(jié)果是否與求和的順序無(wú)關(guān)．因?yàn)橄蛄康募臃ㄟ\(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，所以有限個(gè)向量相加的結(jié)果是唯一的，我們可以任意調(diào)換其中向量的位置，也可以任意決定相加的順序．設(shè)計(jì)意圖：通過向量加法的交換律和結(jié)合律與實(shí)數(shù)加法的交換律和結(jié)合律形式上是完全心相同的，為以后線性運(yùn)算做好鋪墊．問題5：給出如圖的三個(gè)向量、、，分別作出（+）+和+（+），看看兩個(gè)向量是否相等？師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)題目要求畫出（+）+和+（+），并觀察說(shuō)明答案．預(yù)設(shè)的答案：不難發(fā)現(xiàn)：（+）+=+（+），及向量的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律．設(shè)計(jì)意圖：通過向量加法的交換律和結(jié)合律與實(shí)數(shù)加法的交換律和結(jié)合律形式上是完全心相同的，為以后線性運(yùn)算做好鋪墊．問題6：圖61－14中的和，與向量相加的順序有關(guān)嗎？為什么?師生活動(dòng)：學(xué)生自己思考并有教師指導(dǎo)給出答案．預(yù)設(shè)的答案：無(wú)關(guān)．原因在于向量的加法運(yùn)算滿足交換律，因此可以任意調(diào)整有關(guān)順序．事實(shí)上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，所以有限個(gè)向量相加的結(jié)果是唯一的設(shè)計(jì)意圖：利用作圖，讓學(xué)生觀察和總結(jié)，在這個(gè)過程中，為了方便學(xué)生觀察，可以增加相應(yīng)的網(wǎng)格，以便學(xué)生平移有關(guān)向量．三、初步應(yīng)用例2化簡(jiǎn)下列各式：（1）（2）師生活動(dòng)：學(xué)生自行解答，由老師指定學(xué)生回答．設(shè)計(jì)意圖：例注意其中用了向量加法的交換律和結(jié)合律．鞏固練習(xí)1、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則|a＋b＋c|為（）A．0B．3C．eq\r(2)D．2eq\r(2)2、如圖10，D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于（）圖10A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))D．eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))【答案】A預(yù)設(shè)的答案：1、D（2）A設(shè)計(jì)意圖：通過鞏固訓(xùn)練的設(shè)置，加深概念的理解和應(yīng)用．四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)問題7：（1）向量加法的三角形法則是什么？（2）向量加法的平行四邊形法則是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充．預(yù)設(shè)的答案：（1）一般地，平面上任意給定兩個(gè)向量，在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，作出向量，則向量稱為向量的和（也稱為向量的和向量）．向量的和向量記作，因此．當(dāng)不共線時(shí)，求它們的和可用圖6－1－9所示，當(dāng)共線時(shí)，求它們的和可用圖6－1－10所示．因正好能構(gòu)成一個(gè)三角形，因此上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的三角形法則．（2）一般地，向量的加法也滿足類似的法則，這就是說(shuō)，當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，可以通過作平行四邊形的方法來(lái)得到它們的和：如圖6－1－12所示，平面上任意給定兩個(gè)不共線的向量與，在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，，以AB，AC為鄰邊作一個(gè)平行四邊形ABDC，作出向量，因?yàn)椋虼耍@種求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的平行四邊形法則．設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確向量的概念的有關(guān)知識(shí)．布置作業(yè)：教科書第141頁(yè)練習(xí)A1，2，3題．五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．．如圖7，已知向量a、b，求作向量a＋b．圖7圖8設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)向量的加法的作圖能力．2．如圖11所示，已知正方體ABCD—A1B1C1D1．圖11設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AC1,\s\up6(→))＝__________．（用a、b、c表示）設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)向量加法的簡(jiǎn)單應(yīng)用．3．已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，AD⊥BC于D．求證：|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)向量加法的應(yīng)用．參考答案：1．解：作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O（如圖8），作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b．2．【答案】a＋b＋c3．證明：如圖12所示，以DB、DA為鄰邊作ADBE，于是eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))．圖12∵|eq\o(DE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴|eq\o(DB,