復(fù)變函數(shù)與積分變換課后答案

復(fù)變函數(shù)與積分變換

課后答案

（蘇變萍'陳東立）

高等教育出版社（第二版）

武漢大學(xué)珞珈學(xué)院

第一章......................................................2

第二章....................................................20

第三章....................................................44

第四章....................................................65

第五章...................................................no

第一章

復(fù)變函

第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1.1內(nèi)容要點

1.復(fù)數(shù)的各種表示法

代數(shù)表示法；z=%+iy.

三角表示法;z=r（cwO*isin^）.

指數(shù)表示法：z=r/.

2.短數(shù)的代數(shù)運笫及幾何意義

復(fù)數(shù)的加減法：2]土打=（勺±*2），i（yi土力）?

復(fù)數(shù)的乘法：Z]司二⑸”2-力y2）+、（與力+#2,1）.

復(fù)數(shù)的除法：&/彳+學(xué)/嗎-/（0）.

定理1兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們模的乘積；兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于

它們輻角的和.

定理2兩個復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商；兩個復(fù)數(shù)商的輻角等于被除數(shù)

與除數(shù)的輻角差.

3.始充復(fù)平密、平面點集

4.復(fù)變函數(shù)的概念及其幾何意義

定義1設(shè)。是一個給定的復(fù)數(shù)集，如果有一法則/,對于每一個數(shù)zGD,

總有確定的復(fù)數(shù)w和它對應(yīng).則稱/是。上確定的復(fù)變數(shù)函數(shù)（簡稱復(fù)變函

數(shù)），記作w-/（z）.數(shù)集D叫做這個函故的定義域.

5.初等函數(shù)的定義及性質(zhì)

1.2教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點

I.教學(xué)要求

牢固掌握復(fù)數(shù)的各種表示方法及其運算，了解區(qū)域的概念，理解復(fù)變函數(shù)的

概念，了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),嘉函數(shù)和三角函數(shù)的定義及它們的主要性質(zhì).

重點：復(fù)數(shù)的運算，復(fù)變函數(shù)的概念.

難點：初等函數(shù)中的多值函數(shù)的理解.

2.學(xué)習(xí)注意點

(1)下面的證明過程錯在何處？

題目：證明若Z|Z2Z3=O,則Z],Z2-3中至少有一個為零.

證：設(shè)4=r*e'"("=1,2,3),則

=r

Z\z2z3ir2r3/'|*'2+'P=0.

門，r2,口中至少有一個為零，

J.Zi，Z2，的中至少有一個為零.

答：證明過程的設(shè)是錯誤的，當Z=0時，Z不具有指數(shù)表達式.正確的證明

為：

若Z3#0,則ZiZ2=Zl：2卜3'：)=0,

若32Ho，則Z]=Z2,=0,

故Z]，Z2,句中至少有一個為0.

(2)下面的解題過程錯在何處？

題目：求益的全部單根.

3

解：86=(2)1=2i==el(ln2+v2U)=el^.e^=土般,

答；此解題過程在第二步到第三步的推導(dǎo)時出錯了，正確的是：

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)

(23)l=(2V*'n)i=V2e3E，a=0,1,2).

在實數(shù)范圍內(nèi)

(23)i=2i.

(3)下面的解題過程錯在何處？

題目：設(shè)=-1+-/3i,Z2=-1+i.求argzjz2<

解：Argz,z2=Argzj+

23

二林+

T34+2kH

17…

--7T+247C,

17

?,.arg2j^2=~

-2?

答；??一加<&rgZ[Z2W(,

a職Z]Z2=磊穴是錯誤的<

正確答案：由ArgZ]?2=~三"+2時,得

1Ju

7

argzjzz=-不n.

(4)證明：(a)Ln(i2)=A+-1-jrci=yLni(A=0,±1,±2f-?*);

(b)Lni2^2Uii.

1i

證：(a)r/Ln(i，)=詢電(內(nèi))+

(2上冗+號卜，

(2M處

=(五+于)i,

方5=-—+2麻卜=("十”,

J.Ln(J2)=(4=0,±1,±2,…).

2

(b)Lni=Ln(-1)=(2k+1)TOT

21.ni=2(%+2&irb=(4fc41〉而，

Lni2R2Lni.

1.3釋疑解難

1.復(fù)方程az2+Az+c=O(〃亍0)的求根公式z=1—a+彳6—中6?-

2a

4QC為什么要求不等于0.

答：因為關(guān)于復(fù)數(shù)方根加:/(即J—)的定義中要求紡六。，若z=O必有

切=0.而JF=72為復(fù)數(shù)方根的形式，因此公式中7-4歐xo.

事實上，因為

2

(U+bz+e=0T

若『-4ac=0,貝！1

3

V—b---

,一2a,

2,證明：(a)若Inz=lnr+ij{"0,m<0<e"耳，那么

Ini2:21ni;

(b)若In2=lnr+id(r>0,^-K<6<?冗)，那么

ini202bu.

證：(a),/Ini2=ln(-1)=21ni=2(Iniil+方i)=ni;

Ini2=21ni.

(b)Ini2=ln(一1)=Tri,2lni=InIiI+學(xué)7ri)=5m;

/.Ini2/：2Lni?

由(a)、(b)可知，輻角主值的定義范圍可由復(fù)平面上原點引出的任一條射線

為起始邊、終邊來劃分，隨之相關(guān)的性質(zhì)也可能發(fā)生變化，

3.證明：對任何非零復(fù)數(shù)句和Z2

ln(z\z2)=Inzj+ln22+2k石(A=0,±1).

證：因為當Re(z])>0,Re(Z2)>0時，

ln(Z]Z2)=lnz]+Inz2+2km(k=0)<

當Re(z1>0或Re12)>0時，

CargZi+aigz2,Ia電與+aigz2?W冗，

9唔(可22)=

.argzi+aigzj±Iargzi+argzzI>兀.

InIZ]z2?=InIz(I+InIZ2I,

ln(zjZ2)=Inzi+lnz2+2?4(4=0,±1).

當Re(zi)<0且Re(z2)<0時,

Jargzi+argZ2，Iarg^+aigz2?Wn,

arg(ziz2)-

arg1】+arg22±2K,largarj+argz?I>〃.

In\z\z2\=InIZjI+iniz2?>

ln(zjz2)=Inz]+Inz2+2km(女=0,±1).

綜上所述，對任何非零復(fù)數(shù)為和Z2都有

lnkZjZ2)=Mzi+lnz2+2km(左=0,±1).

4.求證：.三個復(fù)數(shù)Z1,Zz，Z3成為等邊三角形頂點的必要與充分條件是：

Z；+Z；+Z：=Z]Z2+32彳3+為旃.

證：三角形Z]Z2Z3是等邊二角形的必要與充分條件為；向量N]Z?繞Z\旋轉(zhuǎn)

?4?

所以，若z=a+訪為上述方程的根，則其共舸復(fù)數(shù)5=a-訪也為方程的根.

例6為什么在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)Icoszlwl」sinzl<l未必總成立？

答：設(shè)z=%+iy,則

cosz=cosxchy-isinxshy,

Icos2I=v(cosxchy)2+(sinxshy)2

=v(1+sh2y)cos2x+sin2xsh2y

=Vcos"+sh2y.

當shy>］時，有IcoszI>1;當yf8時/coszI-8,所以，|cos2I<1未必

總成立.同理IsinzIW1也未必總成立.

例7證明：若z在圓周IzI=2上，那么-丁/w---《.

z-4z+33

證：???1/―4，+3|才|/-4Z2I-3。|Z"-I4Z2|-3=3,

11

二Z4-4Z2+3

例8求(-&+0i"的所有的根、單根，并說明幾何意義.

解:所有的方根：(-a+&吊=(2e%+2勺；

=尬?(了+彳)*(i=0,±1,±2,?

單根:軻/，加患，啊e塔.

幾何意義：半徑為打的圓內(nèi)接等邊三角形的三個頂點.

1.5習(xí)題選解

1.1.4證明：（a）—（Z）7*0,^2#0）;

z\z2Z1?2

Z3Z4z3Z4

句1Z

lit:?；一,~一,Z9-=一,

222z2Z]Z\

1.L5證明：(Z|+Z2)“=，其中Z22為任意的復(fù)數(shù)，，為正

i=0

整數(shù).

?6,

證：當e=1時，等式顯然成立.

設(shè)B=m時，(zj+Z2)m=2cz廠k城成立，則

當幾=m+1時，

m

(Z1+Z2)1"”=(Z|+

i-0

=S^r'-^2+L短

i=0上=0

m+1

.m+l-A'3

_7，*12]Z2?

k=0

故結(jié)論成立.

1.1.7證明：(a)云+3i=2-3i;(b)iz=-i彳；(c)(2+i)2=3-4i;

(d)t(2i+5)(72-i)l=V3l2z+5l.

證：(a)z+3iz+3i=z-3i;

(b)iz=i*z=-iz;

(c)(2+i)2=(rn)2=(2-i)2=3-4i；

(d)l(2i+5)(^-i)l=l72-iH2i+5l=V3l2z+51=6l2z+5L

1.1.8應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當n=2,3,…時，

+，，，ZZ

(a)2]+z2”?+Z?=Z,+Z2++Z”；(b)Z1Z2?=122…Z”.

證：(a)ZI+Z2=ZI+2Z.

設(shè)ZI+Z2+…+Zm=勺+的+…+Zm，而

Zi+司+…+Zg+Zm+i=Zi+Z2+…+Z?,+Zg+i

=Zi+狽+…+Zg+Z*八

/.結(jié)論成立.

(b)Z\Z2=Z],Z2.

設(shè)ZiW“m=Z]Z2…Zm，而

，，，

ZlZz-.Z—Zm+i=Z]Z2…Z1n[口一=ZjZ2'^^+t-

?7?

A結(jié)論成立.

1.1.9證明：&lzl2Re(z)l+

證：?:x2+y2>2l%IIyI,

2(x2+y2)>+21xIIyI+y2,

/.21/2/(16+5)2,

72IzI>IRe(z)I+IIm(z)I.

1.1.10證明：當以，犯為非零復(fù)數(shù)時，

(b)

Z]+Z2上i!土19成立

i.i.n證明；當yiz/時,不等式

Z3+了4

Iz3I-Iz4I

Zl+Z2\z+z\IZ[I+IZ2I

證:x2

5+Z4產(chǎn)|^|_|24|

Z3+Z4

1.1.12證明：當Izl<1時，|lm(l-2+，)|<3.

證：|Im(1-z+z2)|=|Im(1-x+iy+x2-y2+2xyi)\

=Iy+2"IwIW+21%IIyI忘3(IxI<1).

1.1.15證明：以z0為中心，K為半徑的圓的方程IZ-ZQI=R可以寫成:

2

lzl-2Re(?0)+lz0|2=火2

證：：Iz-即|2=(z-%)(z-Zo)=(z-Zo)G-，o)

=2Z-NpZ-2ZQ+Z()W0

22

=IZI-(ZOZ+疝0)+IZQI

22

=IzI-2Re(z?0)+IZQ1,

以Zo為心，衣為半徑的圓的方程可以寫為：

2

lzl-2Re(2z0)+1初產(chǎn)=k2

1.1.16證明：雙曲線--尸=1可以寫成/+>=2.

?8,

-2'

/.雙曲線/-y=1可以寫為：，2+#=2.

1.1.18就以下各種情況，分別求argz.

⑷八急；⑻"尢；(c)z=(f_i)6.

工+但

解：(a)z=----=

1+百i~22，

27r

argz=—;

_i11.

(b)=-2-2廣-Z

37r

a%z=1；

(c)

argz=n.

1.1.19利用復(fù)數(shù)的三角表達式或指數(shù)表達式證明：

(a)(-l+i)7=-8(l+i);(b)(l+73i)-10=2-H(-l+V3i).

證：(a)(-1+i)7=&、(學(xué)'+2癡)=6e-%

=-8(l+i);

(b)(1+V3i)-10=2"l0e(f'+2A,n)(-10)=2_,0e3*1

=2-"(-1+V3i).

1.1.20證明：(a)l/l=1；(b)3=e~；

(c)e源.....叱=四十一紇)(A=2,3,-).

證：(a)IeltfI=ICQS9+isin&I=1;

(b)e'3=cosG-isin^=cos(-6)+isin(-8)=e-;

(c)ve%e%=e'(4+%).

設(shè)e%……e'*=eR+則

?9?

1.1.21當ziKO時，求Argz.

(a)z=z；(尼=1,2,…)；(b)z=if1.

解:(a)Vz=z；=(/*]/>=小咽，

Arg2=nArgZi;

(b),/彳==(門屋i)-l=r「%-%,

/.Argz=-Argzj.

1.1.22證明：若Re(z。>O,Re(Z2)>0,那么a學(xué)(Ng)=argZ|+argN2,

證：,/Re(z()>0,Re(z2)>0,

ItTtKTV

?*--y<打眄<y>-y<"ga<y，

-7T<argz,+argz2<n,

.：討%(2逐2)=argz】+argz2.

1.1.23若ziZ2#O,證明：Re(z]云2)=IZi11z?I當且僅當

—=2kn(A=0,±1,±2,…)，

這里9=ArgZ[,夕2=Arg卬

19

證：設(shè)Zj=rjei,z2=小心，則

Re(z/2)=Re(=2屋外-%))=rjr2cos(9}-%),

I為IIZ2I=r}r2,

當Re(Z]>2)=IZiIIz?I時,

cos(81-B?)=1,

即

8、—8?=2!CK(A=0,±l,土2,…).

反之，當防-%=2尿時，

Re(Z]52)=IZ[IIZ2I?

結(jié)論成立.

1.2.1求下面各復(fù)數(shù)的所有的方根、單根，井說明幾何意義.

(a)(2i)5;(b)(c)(-1)1;

(d)(-16)1;(e)A;(f)(-4V2+4V2i)l.

解：(a)所有的方根：(2i)l=(2er+n")z

=&e(**；)R(4=0,±1,±2,…).

單根：&e乳&e%

幾何意義：半徑為女的圓的直徑的兩端點.

(b)所有的，方根：(1-V3i)l=72(e-f,+2iff')i

?10?

=&e(Dm(*=0,±I,±2,-

單根：缶多缶冠

幾何意義：半徑為日的圓的直徑的兩端點.

(C)所有的方根：(-l)；=e9m+2.)

=e；12*+i*(A=o,±1,±2,…),

單根：eNe",,eK

幾何意義：單位圓內(nèi)接等邊三角形的三個頂點.

(d)所有的方根：(-16"=2看出'21)

=2/⑵+1*(A=0,±1,±2,…).

...n37rSn7”

單根：2e」，2ej,2eH2eT.

幾何意義：半徑為2的圓內(nèi)接正四邊形的四個頂點.

(e)所有的方根：8i=(8e2in,)l

=V2eT1(Ze=0,±1,土2,

單根：42,2e乳后e箏，&e"',，2普，存者,.

幾何意義：半徑為正的圓內(nèi)接正六邊形的六個頂點.

(f)所有的方根：(-46+4&吊=2e」%+22

m

=2e(T*?)(右=0,士1,±2,…).

單根：2e—2em,2e右.

幾何意義：半徑為2的圓內(nèi)接等邊三角形的三個頂點.

1.2.2(a)令a為實數(shù)，證明：a+i的二次方根為土。當，這里A=

a?+1且a=arg(a+i).

(b)由(a)及

證明：士vrA"=±4(VA+a+iVA-a)-

V2

證：(a)(a+i)2=(兀2+i)?e~2-=±/leJ1,

(A=-/a2+1,a=arg(a+i))，

/,結(jié)論成立.

(b)土，e2'=±(cosg+isin令)，cosa=-7,

?11?

a/1+cosa：&十a(chǎn)

cos5=土4-2-"土、2A'

a/I-cosaIA-a

sm2=±、廠=士

.*.±。疔=±-尸(，力+a+ijA-a)?

V2

1.2.3(a)證明：二次方程a?+〃z+c=0(a/0)當a,b,c為復(fù)常數(shù)時的

求根公式是

-b+yb2-4ac

z=2a，

這里從一4ac盧0.

(b)試用(a)的結(jié)果求方程?+2z+(1-i)=0的根.

證：(a)az2++c=0,

4a1z2+4abz+4ac=0,

(2az+6)2=b2-4ac,

-b+Jb?-4ac

(i>2-4ac#0),

2a

(b)方程z2+2z+(1-i)=0的根為

z=-2+，4J心1=一1+&=-i+e（T）R（4=0,1）.

1.2.4設(shè)z為非零復(fù)數(shù)，m=-“"為負整數(shù)），利用z=*e證明:

1.2.5建立恒等式1+z+z?+…+z"=95~-(2.1),并導(dǎo)出

1-Z

提示：關(guān)于第一個等式可記5=1+Z+]2+…+/,并考慮S-zS.關(guān)于第

二個等式可在第一個等式中令不=，.

證：設(shè)S=1+Z+Z?4?…+Z",貝IJ

S-zS=1-zn+,.

即

?12?

I+z+z2+…+z”=f+1

1-z

若記z，e%貝J

1e1(m+I)8

1+e,<7+e'29+,,,”_Lr

-1-e'。

11-cos(rt+1)J-isin(n+-cos。+isinl)

(1-cosG>+sin20

1-cusg-co§(〃+1)0+cosn^

1+cosd+cos20+…+COSZl^=

2-2cos5

—cosn/Jcos^+sinn^sin0

=+

A.2e

74sin-

2cosn^sin2-+2sin曲sin-cos與

+

A-20

4sin-r-

1

2

2sin-

1.3.2畫出以下各種情形相應(yīng)的閉區(qū)域的草圖.

(a)-K<argz<TV(ZKO);(b)IRe(z)I<l2i

1

(c)(d)Re(z2)>0.

2，

解：(口)帶截痕zx(*wO)的復(fù)平面(圖1.1.1);(b)整個復(fù)平面(圖

1.1.2);

1.3.3設(shè)S為由Izl<1利lz-21<1兩點集構(gòu)成的開集，請說明為什么S

不是連通的.

解：因為從z=0到z=2的任何一條折線都不完全屬于5，由“連通”的定義

知，5不是連通的.

?13■

1.4.2求函數(shù)g(z)=：+占(z=x+iy)的定義域.并證明當工>0,1”

<I時，

g(Z)=/(Z),

這里f(z)=y[+*e-?dx+iS/.

n=0

解：函數(shù)屋z)的定義域為：*#0且y#L

f(z)=+i￡jr"=y—**+jlim

*Jo仁--xo…b1-y

二上+F—(^>0,lyI<1),

x1-y

?,?當4>0且lyI<I時，/(z)=g(z).

1.4.3寫出函數(shù)f(z)=，+z+l的f(z)=〃(#,7)+iv(x,y)形式.

解：/(z)=(%+iy)3+x-f-iy^l

士力3-3+4+i+](y+3%2#一/)

1.4.4設(shè)/(z)=%2-y2-2y+i(2x+2xy)，寫出/(z)關(guān)于z的表達式.

解：/(2)=x2-y24-2切+2%i-2'=("+iy)2+2i(%+iy)

-z2+2iz.

1.5.2求z的值(a)e"=-2；(b)e2=l+73i;(c)e21-1=1.

解:(a)Ve2四+的,

x=ln2,y=(2k+1)z,

z=ln2+(24+1)jri(4=0,±1,

(b)</P=26如2",

x=ln2,y=(24+：)兀，

z=1n2+(2A+4)？ri(力二0,±1,土2「、?)；

(c)*.*2z-1=Lnl=Ini+2A：7vi,

,14?

...z=J+(A=0,±1,±2,,**)*

1.5.3證明：Ie，Iw。”.

2222i?,222

證：；11I=le'-y+2n”=e“r,el21=e"+',

二leLeiM.

1.5.4證明：le-勺<1當且僅當Re(z)>0.

證：???le-2rI=e~2x,

當Re(z)=*>0時，le-2]<1,

反之，要想Ie-1<1,需x=Re(z)>0.

/.Ie-2ll<1當且僅當Re(z)>0.

1.5,5證明:(a)ex=e1；

(b)小=》當且僅當z="仆=0,±1,±2,…).

證：(a)eJ=ez-，r=e*(cosy-isiny)=ea(cosy+isiny)=e\

(b)e“=/,e】'=尹,

/.-z=z+2k穴)

.?.z=knR=0,±1,±2,…)，

反之，當z二k室時.

建=(-1)上，

了=薩=(-1)*,

二e'”=e,:,

，e“=F當且僅當z。府(4=0,±1,±2,…).

1.5.6(a)若/為純虛數(shù)，z有什么限制？

(b)證明：若e,為實數(shù)，則Im(z)=An(力=0,±1,±2,…).

證：(a)當/=e”(co§y+isiny)為純虛數(shù)時，

co8y=0,

/.Im(z)=AK+-y(A=0,±1,±2,…).

(b)設(shè)z="+iy,則當e，=ex(cosy+isiny)為實數(shù)時，

sin夕=0,

/.Im(z)=為北(及=0,±1,±2,…).

1.5.7證明：(a)ln(l-i)=]tn2-手：；

L4

(b)Ln(~1+看i)=ln2+2(4+4卜i(A=0,±l,±2,???).

證：(a)ln(1-i)=InV2-乎i=《ln2--yi;

424

?15?

(b)Ln(—1+7§i)-Jn2+-yoti+

=ln2+2(A+/)?ri(/r=0,±1.±2,…).

1.5.11證明：若Re(Nj)>0,R”z2)>0,那么

ln(Ng)=Ini]+Inzi.

證：由1.1.22知Re(Zi)>0,Re(Z2)>0時，

包鳥(21%2)=包眄+aig^2>

]nlz/zI=IniZiI+1口1Z21,

Inzg=IniZ[Z2I+iarg(z1Z2)

=InIZiI+InIz21+i(argzi+argzj)

=InZ]+lnz2?

=InIZ[I-InIz2?+沃喀布-iArgz2

二Lnzj-LDN2,

結(jié)論成立.

1.5.14證明：當〃=0,±1,±2,…時,

(a)(I+i),=e(Y+2*如；(b)(-1)：=e&T

證：(a)(1+i>+=<?"■+3+2問)=e(T+2a>0j嗎

(b)(_吊='-1)=￡如?1白=券內(nèi)(〃聲0,k=0,±1,±2,…).

1.5.15求值：(a)(l-i尸；(b)[號(-1~仔)

解；(a)(l-i)*=e4,Lna-,)=e4,<M-?2%R)=e("-8.〉e，2in2；

(b)[辛-1-e)]"'=e3"嗚(--的=e3m(1號+2癡)

=_好2一6%)/.

1.5.16由E=e“j證明：(-1+百。引=±242.

證：：(-1+73i)2=6如-"島)=呂。成+爭+2*=e=+3"，e刎

=±2,/2.

等式成立.

1.5.17證明：若z#0,a為實數(shù)，那么1/1=eolnlx,=\z\a.

_a_<rLux_a(In121十】ar^x+2AE)

證：,/zu-we.

■16■

/.Iz°l=ealnlil=\z\0.

1.5.18令c,d和z(z#O)為復(fù)數(shù)，若所有的賽均取主值,證明:

(a)J=z-。;(b)—z，*".

證：(a).../?z-c=e,Ln〃e-ci=e0=l,

1.

??「一■c?

z

(b)〃=eCjz，edLnz=e(id)Uu=zid.

1.5.19證明：e"=cosz+isinz,

證：：右邊二巴產(chǎn)+i二/二=e"=左邊，

等式成立.

證明：+及溫武力-和)=

1.5,20(f)2sin(z\cos2z2-cos2zt,

證：4/2sin(zi+Zz)sin(zi一句)

-2

=cos2z2-cos2z[

等式成立.

1.5.20中的(a)~(e),(g)可類似證之.

1.5.21證明：Isin2I2=sin2x+sh'y,并進而推出Isinzl*1sin*I.

證::sinz=sinxcosiy+cosusiniy=sinxchy+icosxshy,

「?IsinzI2=(sinuchy)2+(cosAshy)2=sin2x+sh2y,

IsinzI芬IsinxI.

1.5.22證明；IshyIw?si】】？?Wchy;IshyIIuoszI$chy.

證：由上題

sin2x+sh2y=Isinz12Hch2y-cos2x,

/.IshyIcIsinzIwchy.

同理IshylwIcoszlwchy.

1,5.23證明：cosz=0當且僅當z=(4+])n,其中A為整數(shù).

證：丁

cosz=cosxchy-isinxshy0t

cosx=0且shy=0,

/.z=%+iy=(土+5)兀(4=0,±1,±2,.

以匕過程可逆，故結(jié)論成立.

17

1.5.24根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念解方程.

(a)sinz=ch4；(b)sinz=72;(c)cos2=2.

解：(a)丫sinz=sin?chy4-icosxshy=<?h4,

/.x-2kn+y-±4,或

?inx=ch4,y二0(無解，舍去).

/.2=(24+1)亞士4i(A二0.土1■土2「??).

(b):sinz=sinxchy+icosxshy=V2f

/.x=2kit~2^7--111(戊+1),或

sin^=A/^,y=0(無解，舍去).

z=(24+--jK-iln(V2+1)(A=0.±1夕」2,…),

(c)ix肪z=cDsxch^-isinxshy=2,

?或

'.x=2ATTTy=-ln(2+6),

cosx=2,y=0(無解，舍去).

，2=2左加一：1。(2$方)(4=0,生1,±2尸??).

1.5?27證明：sh*=sh4cosy+ich:xsiny.

ift右邊=s*i%osy+icosixsiny

—i(nosixsiny-siniucosy)

=isin(y-ix)=isin(-i)(x+iy)

21

.e""1x-ex2e“-七一.

二】—云—=:一=shz,

等式成立.

1.5.25,1.5.26,1.5.28可類似證之.

1.5.29推導(dǎo)公式;ArthL3Ln自

.?shze2-e

證：,/w=Lhz=——=-------

chzez+e

1+以1r1+W

匕Z=彳121------,

1一和'21-w

一?1+卬

Ai-Uiw=1

1~M'

即

Arthz=《Ln:，，.

21一N

1.5.30計算：(a)Arctan(2i);(b)Arctan(1+i)；

(c)Arch(-1);(d)Arth(O).

解:(a)Arctan(2i)=-^Ln

乙1—21

=(4++、ln3(*=0,土1,土2,

gAH\it1+i(l+i)

(b)ArctanU+i)=一攵Ln〔_而

=|K+—In--arctanz+-ylrD

(1二0,土1,±2,…)；

2

(e)Arch(-1)-Ln[-1+R_1)-1]

=(2k+l)ni(A=0,±l,±2,??。)；

(d)Arth(O)=4Ln7--=A:Ki(i=0,±1,±2,…).

2I-U

?19?

第二章

第2章導(dǎo)

2.1內(nèi)容要點

1.復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)的概念

2.復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念和運算法勖

定義1設(shè)/(z)在包含z。的某區(qū)域。內(nèi)有定義，如果

存在，那么我們說函數(shù)/(z)在苑可導(dǎo)(或可微)，并稱這個極限為函數(shù)

在即處的導(dǎo)數(shù)，記為/'(zo).即

若記z="+△?,則得到了'(與)的另一種表達式

定理1函數(shù)/(z)=u(x,y)+iu(x,y)在定義域內(nèi)一點z=x+iy可導(dǎo)的

必要與充分條件是：以打夕)和“*y)在點(x,y)可微,并且在該點滿足柯西-

黎曼方程

3.解析函數(shù)的概念、函數(shù)解析的必要與充分條件

定義2如果函數(shù)/(z)不僅在Z。處可導(dǎo)，而且在飛的某個鄰域內(nèi)的任一點

可導(dǎo)，則稱/(z)在沏解析.如果函數(shù)/(z)在區(qū)域D內(nèi)任一點解析，則稱八？)在

區(qū)域D內(nèi)解析.

定理2函數(shù)_f(z)=u(t,y)+iu(*.y)在其定義域D內(nèi)解析的必要與充

分條件是："(x,y)與“%y)在“內(nèi)可微，并且滿足柯西-黎曼方程

dua警

-t)%

4.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，由解析函數(shù)的實部求其虛部和由虛部求其

實部的方法

定理3設(shè)八2)=認明外+以工,川是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么u(x,y)

?20?

和“*y）均為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).

由解析函數(shù)的實部（虛部）求其虛部（實部）的方法共有三種，見本章2.4的

例6.

5.初等函數(shù)的解析性

2.2教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點

1.教學(xué)要求

了解復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)的概念.理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及復(fù)變函數(shù)解析

的概念，掌握復(fù)變函數(shù)解析的必要與充分條件.了解調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)

系，掌握從解析函數(shù)的實（虛）部求其虛（實）部的方法，了解初等函數(shù)的解析性.

重點：解析函數(shù)的概念，函數(shù)解析的必要與充分條件，已知解析函數(shù)的實

（虛）部求其表達式的方法，初等函數(shù)的解析性.

難點：函數(shù)解析的必要與充分條件的證明.

2.學(xué)習(xí)注意點

（1）下面題目的求解過程錯在何處？

題目：計算Hm3二.

了r2+1

解：令z=iy,則

].iz3lim迎必1

lim—Z+1v*1iy+i=0.

答：復(fù)函數(shù)求極限時，Zf%表達的是在復(fù)平面上Z以任何方式趨于Z0,它

與實平面上（x,y）f（如，為）的含義一樣.

（2）下面的解答錯在何處？

題目：求函數(shù)ln（l+z）的奇點.

解：此函數(shù)的奇點為zw-1.

答：此解答錯在“zw-1”這個表達式上.復(fù)數(shù)域上的數(shù)是不分大小的.正確

的解答是：此函數(shù)的奇點為z=-1.

（3）（洛必達法則）若/（z）及晨力在點Z。解析，且f（z0）=g（z0）=0,g'J）

六0,試證：

f(z