工程力學(xué) 第四章 截面的幾何性質(zhì)

工程力學(xué)第四章截面的幾何性質(zhì)第一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日§4.1靜矩和形心一.靜矩

與理論力學(xué)中的靜力矩概念相似量綱[L3]-(m3)值域-實(shí)數(shù)（4-1）1.靜矩的定義取微面積dA，把ydAzdA稱為dA對(duì)y、z的靜矩截面的靜矩第二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日[例4-1]求三角形ABC對(duì)底邊BC的靜矩bhABCOzy解:z積分得：第三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.形心坐標(biāo)

引用理論力學(xué)求容重為1個(gè)單位的均質(zhì)等厚薄板，求重心的公式（4-2）即由此得出（4-3）3.靜矩的性質(zhì)

截面對(duì)通過(guò)其形心軸的靜矩等于零.反之,若截面對(duì)某軸靜矩為零，則該軸必過(guò)截面形心.第四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日二.組合截面的靜矩截面圖形由n個(gè)部分組成根據(jù)定義所以（4-4）又有（4-5）第五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日CL6TU5[例4-2]確定圖示截面圖形形心C的位置。解：A1=120×10y1=5z1=6012A2=70×10y1=45z1=5第六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日CL6TU6[例4-3]求圖示陰影部分的面積對(duì)y軸的靜矩。解：第七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日§4.2慣性矩、極慣性矩和慣性積一.慣性矩1.定義（4-6）量綱：[L4]，值域：非負(fù)。2.慣性半徑工程中常把慣性矩表示為截面圖形的面積與某一長(zhǎng)度平方的乘積，即（4-7）分別稱為平面圖形對(duì)y軸和z軸的慣性半徑第八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日二.極慣性矩量綱：[L4]，值域：非負(fù)。三、慣性積量綱[L4]-(m4)值域-實(shí)數(shù)正交系中有一個(gè)坐標(biāo)軸是截面對(duì)稱軸，則截面圖形對(duì)該坐標(biāo)系的慣性積必為零。（4-8）（4-9）第九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日所以四.慣性矩、極慣性矩和慣性積性質(zhì)一覽表名稱定義量綱關(guān)系性質(zhì)靜矩慣性矩極慣性矩慣性積[L3][L4][L4][L4]對(duì)形心軸靜矩為零對(duì)對(duì)稱軸慣積為零第十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日五.常見(jiàn)截面圖形的慣性矩(1)矩形截面對(duì)對(duì)稱軸的慣性矩CL6TU7第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)圓對(duì)直徑的慣性矩(3)圓環(huán)對(duì)直徑的慣性矩dρρ第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日§4.3慣性矩與慣性積的平行移軸公式

一.慣性矩的平行移軸公式1.坐標(biāo)關(guān)系式2.慣性矩的移軸公式---①---②(4-6)第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日①式代入（4-6）式(4-10a)利用②式并注意到對(duì)形心軸的靜矩為零同理3.結(jié)論

截面圖形對(duì)任一坐標(biāo)軸的慣性矩等于對(duì)自身形心軸的慣性矩加上兩軸間距平方與圖形面積之積所得到的和。可見(jiàn)在平行的諸軸中，平面圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩最小。(4-10b)第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日(4-9)①式代入（4-9）式注意到對(duì)形心軸的靜矩為零，且(4-11)

截面圖形對(duì)任一坐標(biāo)系的慣性積等于對(duì)形心坐標(biāo)系的慣性積加上兩對(duì)軸間距與圖形面積三者之積所得到的和。

結(jié)論二.慣性積的移軸公式注意ab的正負(fù)值同c點(diǎn)在yz坐標(biāo)系中坐標(biāo)值

第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日80802020解（1）確定形心軸Z的位置：先求形心位置取y為對(duì)稱軸，形心必位于對(duì)稱軸上。Zc=0Z1CZyc（2)求IZIⅡ[例4-4]確定形心軸Z的位置，并求IZy第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日Z(yǔ)80802020IⅡCycZCⅠZCⅡy第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日[例4-5]：求圖示平面圖形對(duì)y、z軸的慣性矩Iy、IZCL6TU11（y為對(duì)稱軸、過(guò)形心）IIIII解（1）求Iy（2)求IZ:第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日Z(yǔ)*ZcIIIIIII第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日§4.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸和主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式y(tǒng)zp1.坐標(biāo)關(guān)系式2.慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日經(jīng)整理可得同理(4-12a)(4-12b)3.慣性積的轉(zhuǎn)軸公式(4-12c)第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日二.主慣性軸與主慣性矩的定義

(1)主慣性軸當(dāng)平面圖形對(duì)某一對(duì)正交坐標(biāo)軸y0、z0的慣性積Iy0z0=0時(shí)，則坐標(biāo)軸y0、z0稱為主慣性軸。

(2)主慣性矩平面圖形對(duì)任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。

(3)形心主慣性軸過(guò)形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸。

(4)形心主慣性矩平面圖形對(duì)任一形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。

可以證明:任意平面圖形必定存在一對(duì)相互垂直的形心主慣性軸。因此，具有一個(gè)或兩個(gè)對(duì)稱軸的正交坐標(biāo)軸一定是平面圖形的主慣性軸。第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日三.主慣性軸方位：（4-13）由（4-13）通過(guò)倍角公式可得第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日或簡(jiǎn)寫(xiě)成四.主慣性矩把上式代入（4-12a,b)，經(jīng)整理得（4-14a)（4-14b)（4-14）第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

[例4-6]求圖示平面圖形形心主慣性軸的方位及形心主慣性矩的大小。CL6TU13（1）求形心主慣性軸的位置及形心主慣性矩大小的步驟a）找出形心位置；b)求各簡(jiǎn)單圖形自身形心主慣性矩,再就整個(gè)圖形參考坐標(biāo)系在zcy，求出Iz、Iy、Izy。c）求α0、Iz0、Iy0第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：zy由對(duì)稱性確定形心位置C，過(guò)形心建立zcy坐標(biāo)系第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日形心主慣性矩為z0y0把數(shù)據(jù)代入下式zy第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日[例4-7]

一截面的尺寸如圖所示，已知截面的形心C位于截面上邊緣以下20mm和左邊緣以右40mm處,試計(jì)算截面的形心主慣性矩。第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

先求得截面形心C（40,-20），再選擇一對(duì)分別與上邊緣和左邊緣平行的形心軸(見(jiàn)圖)。解:列表計(jì)算圖示截面對(duì)所選形心軸的慣性矩和慣性積(參看圖)如下

將截面分為I，II兩矩形，兩矩形形心坐標(biāo)分別為zyzc0zc第二十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日29.6133.870.8項(xiàng)目列號(hào)ⅠⅡ分塊號(hào)iAimm2mm104mm4aibiai2Aibi2Ai（1）（2）（4）（3）（5）（6）120070015-2520-352743.84885.8128.697.3097.3144.63661.3項(xiàng)目列號(hào)ⅠⅡ分塊號(hào)i（7）（8）（9）（10）（11）（12）104mm40019286.43661.32872.41440.6278.4100.3計(jì)算列表第三十頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日把求得的各值代入式（4-13），得即形心主慣性軸Zco可從形心軸Zc沿逆時(shí)針向轉(zhuǎn)113.80得到。把求得的Izc、Iyc、Izcyc代人式（4-15），即得形心主慣性矩的數(shù)值第三十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日作業(yè)：6-16-2(b)6-36