工程力學(xué)第九章 扭轉(zhuǎn)

工程力學(xué)第九章扭轉(zhuǎn)第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第九章扭轉(zhuǎn)基本概念動(dòng)力傳遞與扭矩切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一節(jié)引言扭轉(zhuǎn)：以橫截面繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)為主要特征的變形形式，稱為扭轉(zhuǎn)。

第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一節(jié)引言扭力偶：使桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶。扭力偶矩：使桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶之矩。第四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一節(jié)引言軸：凡以扭轉(zhuǎn)為主要變形的直桿稱為軸。

第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一節(jié)引言扭轉(zhuǎn)角：軸的變形以橫截面間繞軸線的相對(duì)角位移稱扭轉(zhuǎn)角。

第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩之間的關(guān)系

第二節(jié)動(dòng)力傳遞與扭矩

式中：P=Mω—功率，即力偶在單位時(shí)間內(nèi)所作之功，單位為kW（千瓦）；M—力偶矩，單位為N·m（牛頓·米）；ω—相應(yīng)角速度；{n}—軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min（轉(zhuǎn)／分），或r/s（也可表示為s-1）（轉(zhuǎn)／秒）。功率P=Mω，又1W=1N·m/s于是上式變?yōu)镻*103=M*2πn/60由此得則若轉(zhuǎn)速n的單位為r/s,第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二節(jié)動(dòng)力傳遞與扭矩

扭矩與扭矩圖扭轉(zhuǎn)變形的內(nèi)力：—扭矩。扭矩：即n－n截面處的內(nèi)力偶矩。第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二節(jié)動(dòng)力傳遞與扭矩扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：采用右手螺旋法則。指向截面外側(cè)為正指向截面內(nèi)側(cè)為負(fù)第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二節(jié)動(dòng)力傳遞與扭矩

扭矩圖：表示扭矩沿軸線變化情況的圖線。第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題1圖示傳動(dòng)軸,轉(zhuǎn)速n=500r/min，輪B為主動(dòng)輪，輸入功率PB=10kW，輪A與輪C均為從動(dòng)輪，輸出功率PA=4kW，PC=6kW。試計(jì)算軸的扭矩，并畫扭矩圖。解（1）扭力偶矩計(jì)算第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）扭矩計(jì)算設(shè)AB與BC段的扭矩為正，并分別用T1和T2表示，則（3）畫扭矩圖根據(jù)上述分析，畫扭矩圖，扭矩的最大絕對(duì)值為Tx76.4N·m114.6N·m第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

例題一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速；主動(dòng)輪輸入的功率P1=500kW，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：1.計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.計(jì)算各段的扭矩BC段內(nèi)：AD段內(nèi)：CA段內(nèi)：(負(fù))注意這個(gè)扭矩是假定為負(fù)的第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.作扭矩圖由扭矩圖可見，傳動(dòng)軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為9.56kN·m。第十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二節(jié)動(dòng)力傳遞與扭矩思考：如果將從動(dòng)輪D與C的位置對(duì)調(diào)，試作該傳動(dòng)軸的扭矩圖。這樣的布置是否合理？第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日15.94.786.374.78第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三節(jié)切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律

薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

從圓管上切取一微體abcd，微體既無軸向正應(yīng)變，也無橫向正應(yīng)變，只是相鄰橫截面ab與cd之間發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，即僅產(chǎn)生剪切變形；而且，沿圓周方向所有微體的剪切變形均相同。

第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三節(jié)切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律由此可見，在圓管橫截面的各點(diǎn)處，僅存在垂直于半徑方向的切應(yīng)力，如圖示，它們沿圓周大小不變，而且由于管壁很薄，沿壁厚也可近似認(rèn)為均勻分布。第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三節(jié)切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力設(shè)圓管的平均半徑為Ro，壁厚為δ，微剪力對(duì)軸線O的力矩為Ro?τδRodθ。橫截面的扭矩T即為：

薄壁圓管扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力為：

當(dāng)時(shí)，該公式足夠精確。第二十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三節(jié)切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律純剪切與切應(yīng)力互等定理：切應(yīng)力互等定理：在微體的兩個(gè)相互垂直的截面上，切應(yīng)力總是同時(shí)存在，且大小相等，方向則共同指向或共同背離兩截面的交線。

在微體的左、右兩個(gè)側(cè)面上，力偶之矩為

τδdydx。頂面與底面的兩個(gè)力所構(gòu)成的力偶之矩為τ’δdxdy。微體平衡，則τ=τ’。純剪切：如上述微體的四個(gè)側(cè)面上，僅存在切應(yīng)力而無正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。

第二十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三節(jié)切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律剪切虎克定律

：τ＝Gγ在切應(yīng)力作用下，微體發(fā)生切應(yīng)變。

薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)表明：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限τp時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即

τγ。引入比例系數(shù)G，則τ＝Gγ。G－切變模量（剪切彈性模量），單位為Gpa，其值隨材料而異，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。

第二十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

由式可知，在ρ＝R即圓截面邊緣各點(diǎn)處，切應(yīng)力最大，其值為

式中Wp為抗扭截面系數(shù)，Wp=Ip/R單位為m3或mm3。可見，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與扭矩成正比，與抗扭截面系數(shù)成反比。

平面假設(shè)：變形后，橫截面仍保持為平面，其形狀、大小與間距均不變，而且，半徑仍為直線。第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件

扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力

扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)表明：塑性材料試樣受扭時(shí)，先發(fā)生屈服，在試樣表面的橫向與縱向出現(xiàn)滑移線，如果再繼續(xù)增大扭力偶矩，試樣最后沿橫截面被剪斷；

脆性材料試樣受扭時(shí)，變形始終很小，最后在與軸線成450傾角的螺旋面發(fā)生斷裂。

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，圓軸受扭時(shí)，其破壞的標(biāo)志仍然是塑性屈服與脆性斷裂。

第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力：試樣扭轉(zhuǎn)屈服時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力，稱為扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力。

扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力：扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限統(tǒng)稱為扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力，并用τu表示。

－塑性材料－脆性材料第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件()＝MxIp圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力當(dāng)＝max時(shí)，＝maxmax=MxWpWp=maxIpWp扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)第二十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：第二十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件Ip＝d432Wp=d316Ip＝D

432(1-4)Wp=D

316(1-4)=d/D對(duì)于實(shí)心圓截面對(duì)于圓環(huán)截面第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1已知傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n=8.3s-1，主動(dòng)輪輸入功率P1=368kW，從動(dòng)輪2、3分別輸出功率為P2=147kW，P3=221kW，[τ]=70MPa，[θ]=10/m，G=80GPa。試按強(qiáng)度條件求AB段的直徑d1；BC段的直徑d2；若兩段采用同一直徑d，試確定d的大小。解(1)求外力偶矩

(2)求扭矩

d1d2123M2M1M3ABC第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(3)按強(qiáng)度條件求直徑：又所以同理若兩段采用同一直徑，則取d1d2123M2M1M3ABC第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題已知解放牌汽車主傳動(dòng)軸傳遞的最大扭矩T=1930Nm，傳動(dòng)軸用外徑D=89mm、壁厚=2.5mm的鋼管做成。材料為20鋼，其許用切應(yīng)力[]=70MPa。校核此軸的強(qiáng)度。若在同樣強(qiáng)度條件下，將空心軸改成實(shí)心軸，試確定其直徑，并比較二者的重量。第三十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：（1）計(jì)算抗扭截面系數(shù)第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）強(qiáng)度校核

滿足強(qiáng)度條件第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（3）確定實(shí)心軸直徑，并比較其重量空心軸比實(shí)心軸省材料第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2下圖所示階梯形圓截面軸，在橫截面A、B與C處承受扭力偶作用，試校核軸的強(qiáng)度。已知MA=150N.m，MB=50N.m，MC=100N.m，許用切應(yīng)力［τ］＝90MPa。解：（1）問題分析繪制扭矩圖，由圖知AB與BC段的扭矩分別為T1=150N.mT2=100N.m（2）強(qiáng)度校核Τmax,1與τmax,2均小于許用切應(yīng)力，說明軸滿足強(qiáng)度條件。第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3某傳動(dòng)軸，軸內(nèi)的最大扭矩T=1.5kN.m，若許用切應(yīng)力［τ］＝50MPa，試按下列兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。（1）實(shí)心圓截面軸；（2）空心圓截面軸，其內(nèi)、外徑的比值di/d0=0.9。解：（1）確定實(shí)心軸的直徑而故根據(jù)強(qiáng)度條件取d=54mm（注意取法）第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日取do=76mm，di=68mm（注意）（3）重量比較由于空心及實(shí)心圓軸的長(zhǎng)度及材料均相同，所以，二者的重量比等于其橫截面面積之比，即上述數(shù)據(jù)充分說明，空心軸比實(shí)心軸輕。即空心軸省材料。(2)確定空心軸的內(nèi)、外徑則其內(nèi)徑為:di=0.9do=0.90.0763=0.0687m第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題例題4已知：P＝7.5kW,n=100r/min,許用切應(yīng)力＝40MPa,空心圓軸的內(nèi)外徑之比=0.5。求:實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題解：PMx=T=9549n7.5=9549100=716.2N.mmax=Wp116MxMx=d13=40MPa=0.045m=45mmd1=16716.2401063第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題例題4max==40MPaWp2Mx16Mx=D23(1-

4)d2=0.5D2=23mmA1A2=d12D22(1-

2)=1.28=0.045m=45mmD2=16716.2(1-0.5

4)401063第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第六節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)變形：軸的扭轉(zhuǎn)變形，用橫截面間繞軸線的相對(duì)角位移即扭轉(zhuǎn)角φ表示。相距l(xiāng)的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為上式表明，扭轉(zhuǎn)角φ與扭矩T、軸長(zhǎng)l成正比，與GIP成反比。扭轉(zhuǎn)剛度：乘積GIP稱為圓軸截面的扭轉(zhuǎn)剛度，或簡(jiǎn)稱為扭轉(zhuǎn)剛度。第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第六節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件：－單位長(zhǎng)度的許用扭轉(zhuǎn)角。對(duì)于一般傳動(dòng)軸，為0.50／m—10／m；對(duì)于精密儀器及儀表的軸，根據(jù)規(guī)范確定。第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第六節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件例題傳動(dòng)軸ABC，MA=300kNm，MB=200kNm，MC=500kNm，lAB=a，lBC=2a，已知兩段軸的最大剪應(yīng)力相等，求：（1）直徑比d1/d2；（2）扭轉(zhuǎn)角比AB/BC。第四十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例5一傳動(dòng)軸如圖所示,其轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動(dòng)輪輸入功率P1=367kW；三個(gè)從動(dòng)輪的輸出功率分別為P2=110kW，P3=110kW，P4=147kW。已知[τ]=40MPa,[θ]=0.30/m，G=80GPa。試設(shè)計(jì)軸的直徑d。123N1N2N3dABCN4D43412P4P1P2P3ABCD解(1)求外力偶矩

(2)求扭矩

最大扭矩為第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(3)求直徑

按強(qiáng)度條件：又所以按剛度條件：又解得：比較強(qiáng)度條件和剛度條件，取第四十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例6圖示圓截面軸AC，承受扭力偶矩MA、MB及MC作用。試計(jì)算該軸的總扭轉(zhuǎn)角ΦA(chǔ)C（即截面C對(duì)截面A的相對(duì)轉(zhuǎn)角），并校核軸的剛度。已知MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3.0105mm4，l=2m，G=80GPa，[]=0.50/m。解：(1)扭轉(zhuǎn)變形分析利用截面法，得AB與BC段的扭矩分別為T1=180N.m