中考復(fù)習(xí)弧長和扇形面積公式知識(shí)精講

初三數(shù)學(xué)弧長和扇形面積公式知識(shí)精講一.本周教學(xué)內(nèi)容：弧長和扇形面積公式、圓錐的側(cè)面積和全面積教學(xué)目的使學(xué)生掌握弧長和扇形面積公式、圓錐及其特征，使學(xué)生掌握?qǐng)A錐的軸截面圖及其特點(diǎn)。使學(xué)生掌握弧長和扇形面積公式、圓錐側(cè)面展開圖的畫法及側(cè)面積計(jì)算公式。使學(xué)生比較熟練地應(yīng)用弧長和扇形面積公式、圓錐的基本性質(zhì)和軸截面解決有關(guān)圓錐表面積的計(jì)算問題。培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及空間圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和計(jì)算能力。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)是弧長和扇形面積公式，圓錐及其特征，圓錐的側(cè)面積計(jì)算難點(diǎn)是圓錐側(cè)面展開圖（扇形）中各元素與圓錐各元素之間的關(guān)系教學(xué)過程.圓周長：C=2πr圓面積：S=πr2.圓的面積C與半徑R之間存在關(guān)系C=2πR，即360°的圓心角所對(duì)的弧長，因此，1°的圓心角所對(duì)的弧長就是2πR。360n°的圓心角所對(duì)的弧長是nπR180nπR:.1= P180 120*這里的180、n在弧長計(jì)算公式中表示倍分關(guān)系，沒有單位。.由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圓形叫做扇形。發(fā)現(xiàn)：扇形面積與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形面積也就越大。.在半徑是R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積S=πR2,所以圓心角為n°的扇形面積是：nπR2 1SaW= =-1R（n也是1°的倍數(shù)，無單位）扇形360 2圓錐的概念觀察模型可以發(fā)現(xiàn)：圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的。其中底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面，如果把這個(gè)側(cè)面展開在一個(gè)平面上，展開圖是一個(gè)扇形。如圖，從點(diǎn)S向底面引垂線，垂足是底面的圓心。，垂線段SO的長叫做圓錐的高，點(diǎn)S叫做圓錐的頂點(diǎn)。錐也可以看作是由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的。也就是說，把直角三角形SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形就是圓錐。其中旋轉(zhuǎn)軸SO叫做圓錐的軸，圓錐的軸通過底面圓的圓心，并且垂直于底面。另外，連結(jié)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段SA、SA、SA、……都叫做圓錐的母線，顯然，圓錐的母線長都相等。母線定義：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線。P122圓錐的性質(zhì)由圖可得（1）圓錐的高所在的直線是圓錐的軸，它垂直于底面，經(jīng)過底面的圓心；（2）圓錐的母線長都相等圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計(jì)算圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線、圓心是圓錐的頂點(diǎn)、弧長是圓錐底面圓的周長。圓錐側(cè)面積是扇形面積。如果設(shè)扇形的半徑為l，弧長為一圓心角為n（如圖），則它們之間有如下關(guān)系:C=nπl(wèi)180同時(shí)，如果設(shè)圓錐底面半徑為r，周長為c，側(cè)面母線長為l，那么它的側(cè)面積是:7 7=—cl=πrl面2圓錐的全面積為：πrl+πr2圓柱側(cè)面積：2πrh。例：在。中，120°的圓心角所對(duì)的弧長為80兀Cm，那么。。的半徑為

答案：120解：由弧長公式：/=迎得：180 cm。180X80π120π-120cm例：若扇形的圓心角為120°，弧長為10πcm，則扇形半徑為 ，扇形面積為R.1801R-n兀答案：15；25π例：如果一個(gè)扇形的面積和一個(gè)圓面積相等，且扇形的半徑為圓半徑的2倍，這個(gè)扇形的中心角為答案：90°例：已知扇形的周長為28cm，面積為49cm2,則它的半徑為cm。答案：7C C例：兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的AB-10π，CD-6π，又AC=12，求陰影部分面積。解：設(shè)OC=r，則OA=r+12，NO=n°???l-nπ(r+12)-10πAB180l-吧-6πCD180n-60J-18.?.OC=18,OA=OC+AC=30???S-S-S陰 扇AOB扇COD-11-OA-11-OC2AB2CD-?X10πX30--!-X6πx182 2-96π例：如圖，已知正方形的邊長為a,求以各邊為直徑的半圓所圍成的葉形的總面積。解：???正方形邊長為a；.S=a2,

正C1 1zax1S =—πR2=π()2=一兀a2半圓2 22 8??S正方形—2S=S半圓 兩個(gè)空白處???S兩個(gè)空白處11=a2—2X—πa2=a2—πa28 4???S四個(gè)空白處=2S=2a2—1πa2

2個(gè)空白 2???S=S-S=a2-(2a2-1πa2)=1πa2-a2陰正 四個(gè)空白處 2 2???葉的總面積為-πa2-a22*也可看作四個(gè)半圓面積減去正方形面積1a 1S=4S-S=4X π(-)2-a2=πa2-a2陰半正2 2 2例：已知48、CD為。O的兩條弦，如果AB=8,CD=6,C CAB的度數(shù)與CD的度數(shù)的和為180°,那么圓中的陰影部分的總面積為？解：將弓形CD旋轉(zhuǎn)至B,使D、B重合如圖，C點(diǎn)處于E點(diǎn)DEC???ABE的度數(shù)為180°???AE是。O的直徑.?.∠ABE=90°又??AB=8,BE=CD=6由勾股定理AE=■√82+62=10???半徑OA=1X10=52???S=S-S =1πχ52-1.8X6=25π-24陰半圓AABE2 2 2C例：在AAOB中，∠0=90°,OA=OB=4cm,以O(shè)為圓心，OA為半徑畫AB,以AB為直徑作半圓，求陰影部分的面積。解：??OA=4cm,NO=90°???S扇形AOB90×π×42360=4πcmAB=4v2cmSAAOB=8(Cm2)S半圓.?.S=S弓形AmB 扇形AOBO Bπ(2√2)2 // 、 2 =4π(cm2)一SAAOB=(4π-8)(Cm2),則陰影部分的面積為:S =S -S =4π-(4π-8)=8(cm2)陰影半圓弓形AmB例：①、②……Q是邊長均大于2的三角形，四邊形、……、凸n邊形，分別以它們的各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交，得到3條弧，4條弧，(1)圖①中3條弧的弧長的和為圖②中4條弧的弧長的和為(2)求圖Q中n條弧的弧長的和(用n表示)解(1)π，2R(2)解法1：Tn邊形內(nèi)角和為:(n-2)180°前n條弧的弧長的和為：(n-2"80=1(n-2)個(gè)以某定點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓周長360 2???n條弧的弧長的和為：2π×1X?(n-2)=(n-2)π2解法2：設(shè)各個(gè)扇形的圓心角依次為αJɑ2。,…,ɑ”。則α。+α。H—α。=(n-2)180。1 2 n???n條弧長的和為：απTαπ

X1+-^―180180X1-+空X1180π

180

π

180(α+α-Fa)

1 2 n(n—2)X180=(n-2)π例：如圖，在RtAABC中，已知NBCA=90°，NBAC=30°，AC=6m，把AABC以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長線上的點(diǎn)C'處，那么AC邊掃過的圖形(陰影部分)的面積為？∠BAC=30°,AB=6分析：在RtAACB中，NC=90°,???BC=1AB=3,ZCBA=60。2.?.AC=YAB2—BC2=3√3法一：S =1BC'?A'C'=1X3X3√3=空222ΔA'C'B???S扇A'BAnπr2 120πX621. = =12πS扇形C,BC360120πx32360360=3π=9π法二：以B為圓心，BC為半徑畫弧-S-S扇C'BC ΔACB???S=S+S陰影扇A'BA ΔA'C'B交A'B于D,AB于D'有SΔA'C'B=sδacb，S扇C,BD=S扇CBD,'S陰=S扇ABA「S扇D,BD120π×62 120π×32360360=12π-3π=9π例：如圖，已知RtAABC的斜邊AB=13cm，一條直角邊AC=5cm,以直線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周得一個(gè)圓錐。解：BC=√132—52=12(cm)以直線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐如圖所示，它的表面積為:S=S+S=π×122+π×12X13=300π(cm2)表底側(cè) ' '以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圖形如圖所示。1CD×13=1×5×122 2CD=竺13S=S+S上下=π×CD×BC+π×CD×AC60 60=πx—X12+πx—X51360S

=πXX17131020

= π1313例：一個(gè)圓錐的模型，這個(gè)模型的側(cè)面是用一個(gè)半徑為9?？?，圓心角為240°的扇形鐵皮制作，再用一塊圓形鐵皮做底，則這塊圖形鐵皮的半徑為 。答案：6例：若圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為2cm的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是答案：2π例：已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角為答案：160°例：若圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面展開圖的圓心角是 答案：180°例：如圖，圓錐形的煙囪帽的底面直徑是80cm，母線長50cm。（1）畫出它的展開圖；180c.?.α= πl(wèi)ɑπl(wèi)?.?C= 180180X80π

50π=288（度）S扇形=πrl=πX40X50≈6280(cm2)例：一個(gè)圓錐的高是10cm，側(cè)面展開圖是半圓，求圓錐的側(cè)面積。,扇形弧長（即半圓）為c,則由題意得解：設(shè)圓錐底面半徑為r,圓錐母線長為l2πl(wèi) ?C= ,c=2πr2即生=2πr,:.1=2r2在RtASOA中，12=r2+102由此求得r=1033(cm),l=2033(cm)故所求圓錐的側(cè)面積為S圓側(cè)面=兀rl=兀X10√320√3200π X = (cm2)333例：蒙古包可以近似地看作圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建20個(gè)底面積為9πm2，高為3.5m,外圍高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛氈?解：:S=πr2,:9π=πr2,:r=3??h=4,

1.?.l=\：h]2+r2=5:S=S錐+S柱=πr1+2πrh=πX3X5+2πχ3X3.5=15π+21π=36πS=20X36π=720π總答：至少要720π平方米的毛氈。【模擬試題】［基礎(chǔ)演練］.已知扇形的弧長為6冗?？冢瑘A心角為60°,則扇形的面積為。.已知弓形的弧所對(duì)的圓心角為60°,弓形弦長為a,則這個(gè)弓形的面積是。.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4√3，AD=2√3，BD⊥AD，以BD為直徑的。。交AB于E,交CD于F,則圖中陰影部分的面積為.如圖，AB是。O1的直徑，AO1是。O2的直徑，弦MN//AB,且MN與。02相切于C點(diǎn)，若。01的半徑為2,C C則01B、BN、CN、O1C所圍成的陰影部分的面積是。.如圖，4ABC為某一住宅區(qū)的平面示意圖，其周長為800m,為了美化環(huán)境，計(jì)劃在住宅區(qū)周圍5m內(nèi)，（虛線以內(nèi)，^ABC之外）作綠化帶，則此綠化帶的面積為。C6.如圖，兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的AB=6兀cm,C CCCD=10兀Cm,。0'與AB,CD都相切，則圖中陰影部分的面積為CD［綜合測試］7.如圖，OA是。。的半徑，AB是以O(shè)A為直徑的。0’的弦，O'B的延長線交。。于點(diǎn)C,且OA=4,∠CCOAB=45°，則由AB，AC和線段BC所圍成的圖形面積是。一扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB8.如圖，，AC的夾角為120°，AB長為30cm，貼紙部分BD長為20cm，貼紙部分的面積為（）B.λ800A. πcm23500 πcm23C.800πcm2D.500πcm29.如圖，在同心圓中，兩圓半徑分別為2、∠AOB=120°4，，則陰影部分的面積為（）A.4π2πB.D.πc?3π一塊等邊三角形的木板，邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平翻滾（如圖），那么，B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為（）3πA.—24πB.一3C.43πD.2+—2（2004?湖北黃岡）如圖，要在直徑為50cm的圓形木板上截出四個(gè)大小相同的圓形凳面，問怎樣才能截出直徑最大的凳面，最大直徑是多少厘米？［探究升級(jí)］12.（2004?新疆）在相距40km的兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B之間，有一個(gè)近似圓形的湖泊，其半徑為10^,圓心恰好位于A、B連線的中點(diǎn)處，現(xiàn)要繞過湖泊從A城到B城，假設(shè)除湖泊外，所有的地方均可行走，有如圖所示兩種行走路線，請(qǐng)你通過推理計(jì)算，說明哪條路線較短。C（1）的路線：線段AC→CD→線段DBC（2）的路線：線段AE→EF→線段FB（其中E、F為切點(diǎn)）［參考答案］1.27πcm22.3.—33—3π

24.π+12π<3λC

(——--)a26 4顯+125.(25π+400)m26.60πcm27.8.BB一π—2√3)A11.截法如圖所示根據(jù)圓的對(duì)稱性可知：O1,O3都在。O的直徑AB上，設(shè)所截出的凳面的直徑為r貝UOO=r,OO=r，OO=v2r12 23 1 3又,?oio3=AB-(JA+03B)=5°τ???√2r=50-r,.??(γ2+1)r=50???r=50(√2-1)≈20.7(cm)12.由題意可知圖答