二重積分的概念與性質(zhì)演示文稿

二重積分的概念與性質(zhì)演示文稿本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第1頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分（優(yōu)選）二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第2頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分

重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取極限.

定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),其積分區(qū)域是一個(gè)確定區(qū)間.

而二重、三重積分的被積函數(shù)是二元、三元函數(shù),其積分域是一個(gè)平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域.重積分有其廣泛的應(yīng)用.序言本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第3頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分問(wèn)題的提出二重積分的概念二重積分的性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)doubleintegral第一節(jié)二重積分的概念

與性質(zhì)第九章重積分本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第4頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分一、問(wèn)題的提出定積分中會(huì)求平行截面面積為已知的一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開(kāi)始.而曲頂柱體的體積的計(jì)算問(wèn)題,一般立體的體積可分成一些比較簡(jiǎn)單的回想立體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積.曲頂柱體的體積.二重積分的一個(gè)模型.可作為二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第5頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分曲頂柱體體積=特點(diǎn)1．曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).曲頂頂是曲的二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第6頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分柱體體積=

特點(diǎn)分析曲邊梯形面積是如何求以直代曲、如何創(chuàng)造條件使

解決問(wèn)題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂平曲這對(duì)矛盾互相轉(zhuǎn)化與以不變代變.曲邊梯形面積的求法類似取近似、求和、取極限.二重積分的概念與性質(zhì)底面積×高本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第7頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分步驟如下用若干個(gè)小平頂柱體體積之和先任意分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積并任取小區(qū)域，近似表示曲頂柱體的體積，二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第8頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分(1)

分割相應(yīng)地此曲頂柱體分為n個(gè)小曲頂柱體.(2)

取近似第i個(gè)小曲頂柱體的體積的近似式(用表示第i個(gè)子域的面積).將域D任意分為n個(gè)子域在每個(gè)子域內(nèi)任取一點(diǎn)二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第9頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分(3)求和即得曲頂柱體體積的近似值:(4)

取極限λ)趨于零,求n個(gè)小平頂柱體體積之和令n個(gè)子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第10頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分2.非均勻平面薄片的質(zhì)量(1)將薄片分割成n個(gè)小塊，看作均勻薄片.(2)(3)(4)近似任取小塊設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第11頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分也表示它的面積,二、二重積分的概念1.二重積分的定義定義作乘積

并作和

①②③二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第12頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素這和式則稱此零時(shí),如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于的極限存在,極限為函數(shù)二重積分,記為即④二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第13頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分曲頂柱體體積它的面密度曲頂即在底D上的二重積分,平面薄片D的質(zhì)量即二重積分的概念與性質(zhì)在薄片D上的二重積分,本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第14頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分

2.在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負(fù).則面積元素為二重積分的概念與性質(zhì)Dyxddd=s本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第15頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分(A)最大小區(qū)間長(zhǎng);(B)小區(qū)域最大面積;(C)小區(qū)域直徑;(D)最大小區(qū)域直徑.D選擇題二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第16頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分2.二重積分的存在定理設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時(shí),則都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第17頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分(2)3.二重積分的幾何意義(3)

(1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負(fù)的.這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,柱體體積的負(fù)值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第18頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分例設(shè)D為圓域二重積分=解

上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：二重積分的概念與性質(zhì)RD本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第19頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分性質(zhì)１為常數(shù),則(二重積分與定積分有類似的性質(zhì))二重積分的概念與性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)根據(jù)二重積分的幾何意義,確定積分值練習(xí)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第20頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分以1為高的性質(zhì)2將區(qū)域D分為兩個(gè)子域性質(zhì)3若為D的面積oxyD1D2

注既可看成是以D為底,柱體體積.

對(duì)積分區(qū)域的可加性質(zhì).D1與D2除分界線外無(wú)公共點(diǎn).D又可看成是D的面積.二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第21頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分二重積分的概念與性質(zhì)在有界閉區(qū)域D1上可積,且則必有本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第22頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分特殊地性質(zhì)4(比較性質(zhì))設(shè)則二重積分的概念與性質(zhì)例的值=().(A)為正(B)為負(fù)(C)等于0(D)不能確定為負(fù)B本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第23頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分選擇題

比較(D)無(wú)法比較.oxy

1??1?2C(2,1)?性質(zhì)4(比較性質(zhì))的大小,則()二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第24頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分解例判斷的正負(fù)號(hào).故于是又當(dāng)二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第25頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分幾何意義以m為高和以M為高的兩個(gè)證再用性質(zhì)1和性質(zhì)3,

性質(zhì)5(估值性質(zhì))則σ為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.證畢.則二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第26頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分解估值性質(zhì)區(qū)域D的面積在D上例不作計(jì)算,二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第27頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分性質(zhì)6(二重積分中值定理)體積等于顯然幾何意義證D上連續(xù),σ為D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)使得則曲頂柱體以D為底為高的平頂柱體體積.將性質(zhì)5中不等式各除以二重積分的概念與性質(zhì)有本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第28頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分的最大值M與最小值m之間的.由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.兩端各乘以點(diǎn)的值證畢.即是說(shuō),確定的數(shù)值是介于函數(shù)在D上至少存在一點(diǎn)使得函數(shù)在該與這個(gè)確定的數(shù)值相等,即二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第29頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分選擇題(A)(B)(C)(D)提示:B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),不存在.利用積分中值定理.二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第30頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點(diǎn)是圓域內(nèi)的一點(diǎn).二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第31頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分

補(bǔ)充在分析問(wèn)題和算題時(shí)常用的設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù).oxyD1性質(zhì)7則D1為D在第一象限中的部分,對(duì)稱性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)坐標(biāo)y為奇函數(shù)則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第32頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分設(shè)f(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù),D1oxy

證則??得二重積分的概念與性質(zhì)軸的分為許多對(duì)稱于將域xD,子域內(nèi)取一中的子域在iDsD1軸的子域與其對(duì)稱于點(diǎn)xyxii),(,isD也記成).,(iiyx-取一點(diǎn)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第33頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分坐標(biāo)y為奇函數(shù)自證!則設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第34頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分這個(gè)性質(zhì)的幾何意義如圖:OxyzOxyz區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù)區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)y為奇函數(shù)二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第35頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x為奇函數(shù)oxyD1如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x則為偶函數(shù)則類似地,設(shè)區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,且D1為D在第一象限中的部分,二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第36頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分設(shè)D為圓域(如圖)00D1為上半圓域D2為右半圓域二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第37頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分

解由性質(zhì)得

例二重積分的概念與性質(zhì)}11,11),{(￡￡-￡￡-=yxyxD其中本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第38頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,(A)(B)(C)(D)0.A1991年研究生考題,選擇,3分D1是D在第一象限的部分,練習(xí)二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第39頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分D1D2D3D4記I=則I=I1+

I2,其中I1=I2=而I1=D1與D2關(guān)于y軸對(duì)稱D3與D4關(guān)于x軸對(duì)稱xy關(guān)于x和關(guān)于y都是奇函數(shù)二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第40頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分而I2=是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于y的奇函數(shù).

所以二重積分的概念與性質(zhì)D1D2D3D4本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第41頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分

今后在計(jì)算重積分利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí),

注意被積函數(shù)的奇偶性.

積分區(qū)域的對(duì)稱性,要特別注意考慮兩方面:二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第42頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分

思考當(dāng)f為關(guān)于x且關(guān)于y的偶函數(shù)時(shí)：當(dāng)f為關(guān)于x或關(guān)于y的奇函數(shù)時(shí)：04Di是區(qū)域D位于第i(i=1,2,3,4)象限的區(qū)域設(shè)區(qū)域關(guān)于x軸、y軸均對(duì)稱,函數(shù)f(x,y)在D上可積，則二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第43頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分若D為此式的幾何意義是:中心在原點(diǎn)的上半球的體積等于它在第一卦限內(nèi)的體積的4倍.0D1為x≥0,y≥0,則二重積分的概念與性質(zhì)本文檔共46頁(yè)；當(dāng)前第44頁(yè)；編輯于星期一\9點(diǎn)7分二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義(