任意角與弧度制 教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

任意角與弧度制課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)課題5.1任意角與弧度制授課時(shí)間：年月日課型：新授課課時(shí)：第一課時(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.通過(guò)探索讓學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解并掌握“正角”、“負(fù)角”、“象限角”、“終邊相同的角”的含義。2.培養(yǎng)學(xué)生判斷推理和化歸轉(zhuǎn)化能力，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、辨析、運(yùn)用的綜合思維能力，體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力。學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義，掌握終邊相同的角的表示方法；教學(xué)難點(diǎn)：終邊相同的角的表示；教學(xué)準(zhǔn)備教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體課件，三角尺，直尺學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一：情景引入，溫故知新一、問(wèn)題情境：1.思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表快了1.25小時(shí)，你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？2．復(fù)習(xí)：初中是如何定義角的？從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形.3．情境：生活中很多實(shí)例不在范圍內(nèi).體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720o，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080o經(jīng)過(guò)1小時(shí)時(shí)針、分針、秒針轉(zhuǎn)了多少度？4．問(wèn)題：這些例子不僅不在范圍，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，想想用什么辦法才能推廣到任意角？（二）教授新課二、建構(gòu)理論：1．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn)．突出“旋轉(zhuǎn)”注意：“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”⑵“正角”與“負(fù)角”、“0角”我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零角．記法：角或可以簡(jiǎn)記成.⑶意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了.1角有正負(fù)之分如：=210=150=6602角可以任意大3還有零角：一條射線，沒(méi)有旋轉(zhuǎn).要注意：正角和負(fù)角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負(fù)規(guī)定純屬習(xí)慣，就好象與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無(wú)正負(fù)，就好象數(shù)零無(wú)正負(fù)一樣．2．“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角.角的頂點(diǎn)合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊合于軸的正半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限）.例如：30、390、330是第象一限角，300、60是第四象限角，585、1180是第三象限角，2000是第二象限角等.3.終邊相同的角觀察：390，330角，它們的終邊都與30角的終邊相同⑵探究：終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0到360的角與個(gè)周角的和：390=30+360330=3036030=30+0×3601470=30+4×3601770=305×360⑶結(jié)論：所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合：即：任何一個(gè)與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和.⑷注意以下四點(diǎn)：=1\*GB3①=2\*GB3②是任意角；=3\*GB3③與之間是“+”號(hào)，如，應(yīng)看成.=4\*GB3④終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．教師活動(dòng)：通過(guò)對(duì)問(wèn)題情景中4個(gè)問(wèn)題的引入，讓學(xué)生思考并從實(shí)際問(wèn)題中抽象找出其中的角的關(guān)系，教師進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明；通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的觀察，研究。學(xué)生活動(dòng)：通過(guò)對(duì)4個(gè)問(wèn)題的獨(dú)立思考，組內(nèi)交流，并讓一個(gè)組內(nèi)的代表總結(jié)出組內(nèi)結(jié)果并進(jìn)行匯報(bào)，各組之間進(jìn)行對(duì)比；通過(guò)讓學(xué)生觀察數(shù)這些角的關(guān)系，加上引導(dǎo)得出一個(gè)基本事實(shí)，即推廣到任意角的概念；活動(dòng)意圖通過(guò)生活中熟悉的情景，問(wèn)題1和問(wèn)題3引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)角的取值范圍，并學(xué)會(huì)運(yùn)用角的正負(fù)來(lái)表示方向，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；通過(guò)練習(xí)鞏固分析表達(dá)任意角，教會(huì)學(xué)生解決和研究問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)抽象能力；通過(guò)練習(xí)達(dá)到靈活運(yùn)用；培養(yǎng)學(xué)生利用已學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)探索新的問(wèn)題，并去解決問(wèn)題的能力。環(huán)節(jié)二：例題講解例1在范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.（注：是指例2.寫出終邊在軸上的角的集合.例3.寫出終邊直線在上的角的集合,并把中適合不等式的元素寫出來(lái).鞏固練習(xí)1.在0°～360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它是第幾象限的角.(1)-120°(2)1110°2.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，則A∩B=（）A{銳角}B{小于90°的角C{第一象限的角}D以上說(shuō)法都不對(duì)3.如果α，β終邊相同，則α-β的終邊落在（）

A.X軸的正半軸上B.X軸的負(fù)半軸上

C.y軸的正半軸上D.y軸的負(fù)半軸上課堂小結(jié)任意角的概念，象限角的概念，終邊相同角的概念教師活動(dòng)通過(guò)對(duì)上述6道題目的審題思路和解答過(guò)程書寫的訓(xùn)練，讓學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)，任意角的概念。學(xué)生活動(dòng)通過(guò)讓學(xué)生思考解答上述6道題目，讓學(xué)生自主思考的過(guò)程中讓學(xué)生找出學(xué)生在審題過(guò)程中中的瓶頸，并且注意觀察老師的審題思路和書寫解答過(guò)程，通過(guò)對(duì)比的方式找出學(xué)生自己的易錯(cuò)點(diǎn)；尤其是遇到一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)如何把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言，進(jìn)而利用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)解答出相關(guān)問(wèn)題的答案?；顒?dòng)意圖說(shuō)明通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí);學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn).5.作業(yè)設(shè)計(jì)1.教材練習(xí)3,4,52.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容6.板書設(shè)計(jì)5.1任意角與弧度制問(wèn)題1：?jiǎn)栴}2：?jiǎn)栴}3；問(wèn)題4例1：例2例3鞏固練習(xí)：1.2.3.課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)課題5.1任意角與弧度制授課時(shí)間：年月日課型：新授課課時(shí)：第二課時(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式，并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題。2.主要是指數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中反映的思維品質(zhì)、表述的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。3.通過(guò)新的度量角的單位制(弧度制)的引進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的精神；通過(guò)對(duì)弧度制與角度制下弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的對(duì)比，讓學(xué)生感受弧長(zhǎng)及扇形面積公式在弧度制下的簡(jiǎn)潔美。學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：弧度的概念．弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明．；教學(xué)難點(diǎn)：“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系；教學(xué)準(zhǔn)備教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一：（一）情景引入，溫故知新由角度制的定義我們知道,角度是用來(lái)度量角的,角度制的度量是60進(jìn)制的,運(yùn)用起來(lái)不太方便.在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？教授新課1.定義我們規(guī)定,長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來(lái)度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下,1弧度記做1rad．在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略．2.思考：（1）一定大小的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？（2）引導(dǎo)學(xué)生完成P6的探究并歸納：弧度制的性質(zhì)：①半圓所對(duì)的圓心角為②整圓所對(duì)的圓心角為③正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)．④負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)．⑤零角的弧度數(shù)是零．⑥角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值|α|=3.角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：①將角度化為弧度：；；；．②將弧度化為角度：；；；．4.常規(guī)寫法：①用弧度數(shù)表示角時(shí),常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式,不必寫成小數(shù)．②弧度與角度不能混用．5．特殊角的弧度角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度06.角集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：

（1）在弧度制下，每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（角的弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)）與它對(duì)應(yīng)。所以用弧度制來(lái)度量角時(shí)，角的集合與實(shí)數(shù)集合R之間是一一對(duì)應(yīng)的。

（2）角度制的集合與實(shí)數(shù)集R之間也是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

（3）所以無(wú)論是在角度制下還是在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集合R之間都是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即正角對(duì)應(yīng)正數(shù)，負(fù)角對(duì)應(yīng)負(fù)數(shù)，零角對(duì)應(yīng)0。用弧度制表示：（1）終邊在軸上的角的集合（2）終邊在軸上的角的集（3）終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合弧長(zhǎng)公式在圓上過(guò)兩點(diǎn)的一段弧的長(zhǎng)度叫做弧長(zhǎng)。其中指的是弧度制的圓心角,請(qǐng)注意是弧度制!利用弧度制證明扇形面積公式，其中是扇形弧長(zhǎng)，是圓的半徑。證法一:∵圓的面積為,∴圓心角為1rad的扇形面積為,又扇形弧長(zhǎng)為l,半徑為R,∴扇形的圓心角大小為1rad,∴扇形面積．證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則在角度制下的扇形面積公式為，又此時(shí)弧長(zhǎng)，∴可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡(jiǎn)潔得多．教師活動(dòng)：通過(guò)初中學(xué)過(guò)的一些特殊角引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化成弧度制，因而進(jìn)一步的讓學(xué)分析，觀察并計(jì)算出扇形的面積公式。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行討論，通過(guò)討論學(xué)生分析出角與弧度之間的聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生的自主能動(dòng)性。；活動(dòng)意圖通過(guò)比較初中所學(xué)的特殊角的三角函數(shù)及扇形的面積，引入本節(jié)新課把角轉(zhuǎn)化成弧度制。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。環(huán)節(jié)二：例題講解例1.把化成弧度解：∴例2.把化成度解：例3.將表示成（，）的形式，并指出是第幾象限角。解：是第四象限角是第四象限角。課堂小結(jié)（1）弧度制的定義。（2）角度制與弧度制的互化。（3）特殊角的弧度數(shù)。（4）角的集合與實(shí)數(shù)集合R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；（5）弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，并靈活解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題；教師活動(dòng)通過(guò)對(duì)上述立體及鞏固練習(xí)的審題思路和解答過(guò)程書寫的訓(xùn)練，讓學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)，等式性質(zhì)與不等關(guān)系。學(xué)生活動(dòng)通過(guò)例題，讓學(xué)生自主思考的過(guò)程中讓學(xué)生找出學(xué)生在審題過(guò)程中中的瓶頸，并且注意觀察老師的審題思路和書寫解答過(guò)程，通過(guò)對(duì)比的方式找出學(xué)生自己的易錯(cuò)點(diǎn)；活動(dòng)意圖說(shuō)明通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知