三角函數(shù)7正余弦應(yīng)用教師

正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例考查利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題中的角度、方向、距離及測(cè)量問題．基礎(chǔ)梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測(cè)量距離問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等．2．實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角≡flj水平線(2)方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖(2)).(3)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏東60°等．(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，…明確已知與未知，理清量與量之間一的關(guān)系....(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型.一⑶根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.…一⑷將三角形問題還原為實(shí)際問題，…注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后…已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，…可用正弦定理或余弦定理求解,…(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，…然后逐步求解其他三角形，,有時(shí)需設(shè)出未知量，…從幾個(gè)三角形中列出方程.(組)-，解方程(組)居出所要求的解..雙基自測(cè).如圖，設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定 .λ一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后，就可以.一計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為(). %25√2A.50?'2mB.50\；3mC.25?,l2mD?-2-m解析由正弦定理得ABACsin∠ACBSinB，又??B=30°.?.AB=AC?sin∠ACBSinBC?,l250×"TL-1—=50?,2(m).22.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為（）.A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°解析根據(jù)仰角與俯角的定義易知α=β.3.若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°,點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°,點(diǎn)A在點(diǎn)B的（）.A.北偏東15°B.北偏西15°C.北偏東10°D.北偏西10°答案B4.一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°,另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的速度是每小時(shí)（）.5海里C.10海里解析如圖所示，依題意有∠BAC=60°5√3海里D.10√3海里∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，從而CD,=CA=10(海里),在RtAABC中，得AB=5（海里）, 5于是這艘船的速度是詆=1°（海里/時(shí)）.5.海上有A,B,Cm個(gè)小島，測(cè)得A,B兩島相距10海里，∠BAC=60°,∠ABC=75°，則B,C間的距離是海里. BC解析由正弦定理,知Sik=SinAB180°-60°-75°.解得BC=5√6（海里）.考向一測(cè)量距離問題【例1】?如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸AB兩點(diǎn)間的距離，在這岸定基線CD現(xiàn)已測(cè)出CD=a和∠ACD=60°∠ADC=60°，試求AB的長.,∠BCD=30°,∠BDC=105°,,［審題視點(diǎn)］在ABCD中，求出BC,在AABC中，求出AB.解在AACD中，已知CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60，所以AC=a.?.?∠BCD=30°,BDC=105°.?.∠CBD=45°在ABCD中由正弦定理可得BC=asin105° 3+1Sin45°a.，2∠在AABC中，已經(jīng)求得AC和BC,又因?yàn)椤螦CB=30°,所以利用余弦定理可以求得A,B兩點(diǎn)之間的距離為AB=\：'AC2+BC2—2AC-BC?cos30°=￡a.玄迷亙2(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型．2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解．【訓(xùn)練1】如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°,30°,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=0.1km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B,D的距離.解在△ACD中，∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1km.又∠BCD=180°—60°—60°=60°,故CB是ACAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA.XV∠ABC=15°在AABC中，ABACsin∠BCAsin∠ABC,所以AB=AC"°=*46(km)

Sin15 20同理，BD=3''2+''^6(km).故B、D的距離為3飛2+'3km.

20 20考向二測(cè)量高度問題【例2】?如圖，山腳下有一小塔AB,在塔底B測(cè)得山頂C的仰角為60在山頂C測(cè)得塔頂A的俯角為45°,已知塔高AB=20m,求山高CD.［審題視點(diǎn)］過點(diǎn)C作CE〃DB,延長BA交CE于點(diǎn)E,在AAEC中建立關(guān)系.如圖，設(shè)CD=Xm,貝UAE=X—20m,O,tan60°=而，BD???BD= ?F=S=*xMtan60 -,1,3 3在AAEC中，x-20=133x,,解得X=IO(3+√3)m.故山高CD為10(3+√3)m.方浣總泊(1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念；⑵分清已知和待求，分析(畫出)示意圖，明確在哪個(gè)三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理.【訓(xùn)練2】如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一

水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在

點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為0，求塔高AB.解在ABCD中，NCBD=n—a—B,由正弦定理得sin∠BDC=sin∠CBD'所以BC=CDsin∠BDCsin∠CBDS?sinβSinα+βStan0Sinβ在Rt^ABC中，AB=BCtanNACB=Sin。+8考向三正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用【例3】?如圖所示，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°，求BD的長.［審題視點(diǎn)］由于AB=5,∠ADB=45°,因此要求BD,可在^ABD中，由正弦定理求解，關(guān)鍵是確定NBAD的正弦值.在AABC中，AB=5,AC=9,∠ACB=30°,因此可用正弦定理求出SinNABC,再依據(jù)NABC與NBAD互補(bǔ)確定SinNBAD即可.解在AABC中，AB=5,AC=9,NBCA=30°.由正弦定理，得ABACSinNACBSinNABC'AC?SinNBCA9Sin30SinNABC= ttj= ^AB 591Q????AD〃BC,??.NBAD=180°—NABC,一一— —9于是SinNBAD=SinNABC=I0. ——. — ―9同理，在AABD中，AB=5,SinNBAD=10NADB=45°,由正弦定理:AB BDSinNBDASinNBAD'解得BD=呼.故BD的長為竽.門法總瞥”要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個(gè)三角形，在分割時(shí)，要注意有利于應(yīng)用正、余弦定理.【訓(xùn)練3】如圖，在AABC中，已知/8=45°,D是BC邊上的一點(diǎn)， 'BDAD=10,AC=14,DC=6,求AB的長.解在AADC中，AD=IO,AC=14,DC=6,AD2+DC2—AC2由余弦定理得CoSNADC=JAnnr2AD?DC100+36—196_1

=2×10×6=—2,??.∠ADC=120°,.??∠ADB=60°.在AABD中，AD=10,∠B=45°,∠ADB=60ABAD由正弦定理得^!^^^二盂吊'.AB=SinBAD?sin∠ADB10sin60°Sin45°規(guī)范解答—-如何運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問【問題研究】1解三角形實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟是：審題一一建模準(zhǔn)確地畫出圖形——求解—-檢驗(yàn)作答.，2三角形應(yīng)用題常見的類型：，①實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已

知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；，②實(shí)際問題經(jīng)抽象

概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形，這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問題的解；，

③實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使

用正弦定理或余弦定理.，【解決方案】航海、測(cè)量問題利用的就是目標(biāo)在不同時(shí)刻的位置數(shù)

據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定

的時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離，因此解題的關(guān)鍵就是通過這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測(cè)量目標(biāo)歸入到一個(gè)可解三角形中.【示例】如圖，甲船以每小時(shí)30\回海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向

勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，

此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A處時(shí)，乙船航行到甲船的北

2偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10√2海里.問：乙船每小時(shí)航行多少海

里？用第?賣煙A⑴分清已知條件和未知條件（待求）?（2）將問題集中到一個(gè)三角形中.（3）利用正、余弦定理求解.［解答示范］如圖，連接燈2由已知慶旦=1042,20L.. .一A1A2=30V2×60=10√2,???A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=180°-120°=60°,???△A1A2B2是等邊三角形，.二旦=々4=10位.由已知，A1B]=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°,（8分）在AA1B2B1中，由余弦定理得BB2=A1B2^A1^2--2A1B??A1B2?cos45°=202+（10λ,,2）2-2×20×10√2×22=200,ΛB1B2=10√2.因此，乙船的速度為喏×60=30√2（海里/時(shí)）.（12分）回亞顯已利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解.【試一試】如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相

距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救.信息中心立即把

消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北

偏東0的方向即沿直線CB前往B處救援，求Cosθ.［嘗試解答］如圖所示，在AABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,

由余弦定理，得BC2=AB2+AC2—2AB-AC-cos120°=2800,所以

BC=20-√,7. _AB_x.'l21

由正弦定理，得sin∠ACB=BC?sin∠BAC=\.由∠BAC=120°，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB=2?7.故CosO=cos（∠ACB+30°）=CosNACBcos30°-sin∠ACBsin30°2√7V3_\，/、i'恒=7×2 7×2=14.習(xí)題L在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高為 m..某人朝正東方向走％km后，向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好Wkm,那么X的值為km..一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60,行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15,這時(shí)船與燈塔的距離為km..如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設(shè)于B,。，已知AABD為邊長等于a的正三.如圖，甲船以每小時(shí)0七2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B處，此時(shí)兩船相距20海里11北120BB甲乙（1）5A1A2當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B處，此時(shí)22兩船相距10<’2海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里?105分析：讀懂題意，正確構(gòu)造三角形，結(jié)合正弦定理或余弦定理求解．解法一：如圖（2），連結(jié)AB，由已知AB=10√2，12 22AA=30√2X4=10√2,12 60.?.AA=AB,12 22又∠AAB=180-120=60122??.△A1A2B2是等邊三角形,.?.AB=AA=10√2,12 12由已知，AB=20,∠BAB=105-60=45,11 112120BBA1A2105在^ABB中，由余弦定理，121乙5（2），甲BB2=AB2+AB2-2ABABcos45=202+(10√2)2-2X20X10√2X豆=200.12 1112 1112 210√2???BIb2=10<2.因此，乙船的速度的大小為丁X60=30V2（海里/小時(shí)）.答：乙船每小時(shí)航行30√2海里.解法二：如圖(3),連結(jié)AB,21 20 —由已知AB=20,AA=30√2x—=10√2,∠BAA=105,11ι2 60 112cos105=cos(45+60)=Cos45cos60-sin45Sin60=√2(1-Bsin105=sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60=口(1+⑸

44,在^AAB中，由余弦定理，

211AB2=AB2+AA2-2ABAAcos10521 11 12 11 12O=(10<2)2+202-2X10√2X20XJ2(I- =100(4+2√3).4.?.AB=10(1+√3).21由正弦定理Sin∠AAB=AgSin∠BAA=一也一上巨匕包=立,121 A2B1 11210(1+⑼ 4 2?∠A1A2BI=45，即∠B1a2bJ=60-45=15，cos15?=sin105=．在^BAB中，由已知AB=10J2，由余弦定理，122 22BB2=AB2+AB2-2ABABcos1512 21 22 21 22O=102(1+√3)2+(10√2)2-2X10(1?+J3)x