2022年浙江省寧波市桃源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022年浙江省寧波市桃源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（理）若，則A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知集合，，則A∩B=（）A.{－3,－2,－1,0} B.{－1,0,1,2,3}C.{－3,－2} D.{－3,－2,－1,0,1,2,3}參考答案：B【分析】利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合，再由交集的定義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋啵蔬xB．【點(diǎn)睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.3.設(shè)a=log36，b=log510，c=log714，則(

)A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c參考答案：D【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較；不等關(guān)系與不等式．【專題】計(jì)算題．【分析】利用loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），化簡(jiǎn)a，b，c然后比較log32，log52，log72大小即可．【解答】解：因?yàn)閍=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因?yàn)閥=log2x是增函數(shù)，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.若有一個(gè)正四面體形狀的骰子，四個(gè)面上分別寫有數(shù)字，任意在桌面上拋擲兩次，記與桌面接觸的那個(gè)面上的數(shù)字分別為，則點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率是(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：C5.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是(A) (B)(C)(D)主視圖1左視圖1俯視圖1

參考答案：6.已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a等于（）A．﹣1B．1C．D．參考答案：B，因?yàn)榻Y(jié)果是純虛數(shù)，所以,故a=1.7.已知集合，，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.以q為公比的等比數(shù)列{an}中，a1＞0，則“a1＜a3”是“q＞1”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解答：解：在等比數(shù)列中，若a1＜a3，則a1＜a1q2，∵a1＞0，∴q2＞1，即q＞1或q＜﹣1．若q＞1，則a1q2＞a1，即a1＜a3成立，∴“a1＜a3”是“q＞1”成立的必要不充分條件，故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出x的值是（）A．2016 B．1024 C． D．﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x，y的值，當(dāng)y=1024時(shí)，不滿足條件退出循環(huán)，輸出x的值即可得解．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得x=2，y=0滿足條件y＜1024，執(zhí)行循環(huán)體，x=﹣1，y=1滿足條件y＜1024，執(zhí)行循環(huán)體，x=，y=2滿足條件y＜1024，執(zhí)行循環(huán)體，x=2，y=3滿足條件y＜1024，執(zhí)行循環(huán)體，x=﹣1，y=4…觀察規(guī)律可知，x的取值周期為3，由于1024=341×3+1，可得：滿足條件y＜1024，執(zhí)行循環(huán)體，x=﹣1，y=1024不滿足條件y＜1024，退出循環(huán)，輸出x的值為﹣1．故選：D．10.參考答案：D因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓上，所以，又b=8，所以由正弦定理得：。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，且，則______．參考答案：由題得,故填.12.

設(shè)M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且滿足條件：當(dāng)x∈A時(shí)，15x?A，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是

．參考答案：1870解：1995=15×133．故取出所有不是15的倍數(shù)的數(shù)，共1862個(gè)，這此數(shù)均符合要求．在所有15的倍數(shù)的數(shù)中，152的倍數(shù)有8個(gè)，這此數(shù)又可以取出，這樣共取出了1870個(gè)．即|A|≥1870．又{k，15k}(k=9，10，11，…，133)中的兩個(gè)元素不能同時(shí)取出，故|A|≤1995-133+8=1870．13.若變量滿足約束條件

,

則的最大值為__________.參考答案：1614.向量||=1，||=，（+）（2﹣）=﹣1，則向量與的夾角為．參考答案：135°【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由已知||=1，||=，（+）（2﹣）=﹣1，求出，的數(shù)量積，利用數(shù)量積公式，求出它們的夾角．【解答】解：因?yàn)閨|=1，||=，（+）（2﹣）=﹣1，所以，所以=﹣1，所以向量與的夾角的余弦值為=，所以向量與的夾角為135°；故答案為：135°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的運(yùn)算；利用平面向量的數(shù)量積求向量的夾角；屬于基礎(chǔ)題．15.若tanα=3，α∈(0,)，則cos(α－)=__________．參考答案：解析：由，可得．又，結(jié)合，可得，．，故答案為．16.若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則

．參考答案：4略17.已知α為第二象限角，，則_________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，小凳凳面為圓形，凳腳為三根細(xì)鋼管.考慮到鋼管的受力等因素，設(shè)計(jì)的小凳應(yīng)滿足：三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)與凳面圓形的圓心的連線垂直于凳面和地面，且分細(xì)鋼管上下兩段的比值為，三只凳腳與地面所成的角均為.若、、是凳面圓周的三等分點(diǎn)，厘米，求凳子的高度及三根細(xì)鋼管的總長(zhǎng)度(精確到).參考答案：【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)圖形與幾何的基本知識(shí).【知識(shí)內(nèi)容】圖形與幾何/空間圖形/空間直線與平面的位置關(guān)系.【參考答案】聯(lián)結(jié)，，由題意，平面，因?yàn)榈拭媾c地面平行，所以就是與平面所成的角，即．………..………..………..………..2分在等邊三角形中，，得，………..………..………..………..……….….4分在直角三角形中，，………..………..………..………..………..………..6分由，解得厘米．………..………..……..9分三根細(xì)鋼管的總長(zhǎng)度厘米．……….………..12分19.高三（3）班班主任根據(jù)本班50名學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100]．（1）求頻率分布圖中a的值；（2）求該班50名學(xué)生中，成績(jī)不低于80分的概率；（3）從成績(jī)?cè)赱40，60）的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求此2人分?jǐn)?shù)都在[40，50）的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出a．（2）由所給頻率分布直方圖知，50名學(xué)生成績(jī)不低于80的頻率為0.4，由此能求出該班成績(jī)不低于80的概率的估計(jì)值．（3）學(xué)生成績(jī)?cè)赱50，60）的有3人，記為A1，A2，A3，學(xué)生成績(jī)?cè)赱40，50）的有2人，記為B1，B2．由此能求出此2人分?jǐn)?shù)都在[40，50）的概率．【解答】解：（1）因?yàn)椋?.004+a+0.018+0.022+0.028）×10=1，所以a=0.006．…（3分）（2）由所給頻率分布直方圖知，50名學(xué)生成績(jī)不低于80的頻率為（0.022+0.018）×10=0.4，所以該班成績(jī)不低于80的概率的估計(jì)值為0.4．…（7分）（3）學(xué)生成績(jī)?cè)赱50，60）的有：50×0.006×10=3（人），記為A1，A2，A3，學(xué)生成績(jī)?cè)赱40，50）的有：50×0.004×10=2（人），記為B1，B2．從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因?yàn)樗槿?人的成績(jī)都在[40，50）的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為p=．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真是題，注意列舉法的合理運(yùn)用．20.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：萬元）對(duì)年銷售量y（單位：噸）的影響，對(duì)近六年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i=1，2，3，4，5，6）的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：年份201120122013201420152016年宣傳費(fèi)x（萬元）384858687888年銷售量y（噸）16.818.820.722.42425.5經(jīng)電腦模擬發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x（單位：萬元）與年銷售量y（單位：噸）之間近似滿足關(guān)系式：y=a?xb（a，b＞G），即lny=b?lnx+lna，對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如下表：（lnxi?lnyi）（lnxi）（lnyi）（lnxi）275.324.618.3101.4（Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅱ）規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品的年銷售量y（單位：噸）與年宣傳費(fèi)x（單位：萬元）的比值在區(qū)間（，）內(nèi)時(shí)認(rèn)為該年效益良好．現(xiàn)從這6年中任選3年，記其中選到效益良好的數(shù)量為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.7183）附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線v=β?u+a中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：=，=﹣?．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；BK：線性回歸方程．【分析】（Ⅰ）對(duì)y=a?bx，（a＞0，b＞0）兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=b?lnx+lna，令μi=lnxi，vi=lnyi，得v=b?μ+lna，利用最小二乘法求出得a=e，由此能求出y關(guān)于x的回歸方程．（Ⅱ）由題意得到ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）對(duì)y=a?bx，（a＞0，b＞0）兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=b?lnx+lna，令μi=lnxi，vi=lnyi，得v=b?μ+lna，由題所給的數(shù)據(jù)得：，==3.05，=75.3，，∴=，，=3.05﹣=1，得a=e，∴y關(guān)于x的回歸方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）中所求回歸方程，得，則x∈（49，81），∴x=58，68，78，∴ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列為：ξ0123PE（ξ）=0×=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸方程的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．21.(本小題滿分12分)以下莖葉圖記錄了甲組3名同學(xué)寒假假期中去圖書館學(xué)習(xí)的次數(shù)和乙組4名同學(xué)寒假假期中去圖書館學(xué)習(xí)的次數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以x表示.（1）如果x=7，求乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）如果x=9，從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中選兩名同學(xué)，求選出的兩名同學(xué)恰好分別在兩個(gè)圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20的概率.參考答案：解（1）當(dāng)x=7時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)去圖書館學(xué)習(xí)次數(shù)是：7，8，9，12，所以平均數(shù)為

…3分方差為

……………6分（2）記甲組3名同學(xué)為A1，A2，A3，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，12，11；乙組4名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們?nèi)D書館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，8，9，12；從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中人選兩名學(xué)生，所有可能的結(jié)果有15個(gè)，它們是：

A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B3，A2B4，A3B1，A3B3，A3B4，B1B3，B1B4，B3B4.

…9分用C表示：“選出的兩名同學(xué)恰好在兩個(gè)圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20”這一事件，則C中的結(jié)果有5個(gè)，它們是：A1B4，A2B4，A2B3，A2B1，A3B4，故選出的兩名同學(xué)恰好分別在兩個(gè)圖書館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20概率為

略22.（本小題滿分13分）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，離心率，橢圓E的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間的距離為。（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過定點(diǎn)且斜率為k的直線交橢圓E與不同的兩點(diǎn)M,N,在線段MN上取異于M,N的點(diǎn)H,滿足，證明：點(diǎn)H恒在一條直線上，并求出點(diǎn)H所在的直線方程。

參考答案：（1）；（2）見解析【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．解析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c，0)，由題知：結(jié)合a2=b2+c2，解得：a2=3，b2=2，∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

………4分（2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)，由已知直線MN的方程為y=kx+3k+4，聯(lián)立方程消去，得，于是x1+x2=，x1x2=．①