湖南省株洲市轉(zhuǎn)步中學高三數(shù)學理期末試題含解析

湖南省株洲市轉(zhuǎn)步中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，“l(fā)1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1,l2與l3間的距離是3,正三角形ABC的三頂點分別在l1、l2、l3上，則的邊長是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B略2.已知等差數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，若a1=9，a3+a5=0，則S6的值為（）A．6 B．9 C．15 D．0參考答案：B【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1=9，a3+a5=0，∴2×9+6d=0，解得d=﹣3．則S6=9×6+×（﹣3）=9．故選：B．3.已知在函數(shù)（）的圖象上有一點，該函數(shù)的圖象與x軸、直線x＝－1及x＝t圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為S，則S與t的函數(shù)關(guān)系圖可表示為（

）參考答案：B由題意知，當時，面積原來越大，但增長的速度越來越慢.當時，S的增長會越來越快，故函數(shù)S圖象在軸的右側(cè)的切線斜率會逐漸增大，選B．4.已知橢圓的左、右焦點分別為，P為橢圓C上一點，若為等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為

(A)

(B)

(C)或

(D)參考答案：C略5.某出租車公司計劃用450萬元購買A型和B型兩款汽車投入營運，購買總量不超過50輛，其中購買A型汽車需13萬元／輛，購買B型汽車需8萬元／輛．假設(shè)公司第一年A型汽車的純利潤為2萬元／輛，B型汽車的純利潤為1.5萬元／輛，為使該公司第一年純利潤最大，則需安排購買（

）A．10輛A型出租車，40輛B型出租車

B．9輛A型出租車，41輛B型出租車C．11輛A型出租車，39輛B型出租車

D．8輛A型出租車，42輛B型出租車參考答案：A略6.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，設(shè)在上的最大值為，且的前n項和為，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B7.定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的向量，，令a⊙b=，下面說法錯誤的是（

）A．若a與b共線，則a⊙b＝0B．a(chǎn)⊙b=b⊙aC．對任意的R，有（a）⊙b=（a⊙b）D．（a⊙b）+（a·b）=參考答案：B8.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)（其中）是純虛數(shù)，則m=（A）－2

（B）2

（C）

（D）參考答案：B略9.已知雙曲線C的一條漸近線的方程是：，且該雙曲線C經(jīng)過點，則雙曲線C的方程是A．B．

C．D．參考答案：D由題可設(shè)雙曲線的方程為：，將點代入，可得，整理即可得雙曲線的方程為10.若函數(shù)有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分15.=

．參考答案：12.已知曲線的切線過點A，則切線的斜率為________。參考答案：4或113.若曲線在點（1，）處的切線平行于軸，則=

。參考答案：-1略14.已知R,，，則M的最大值是

．參考答案：．試題分析：由柯西不等式式易知，所以即是，故應(yīng)填入．考點：1．復數(shù)的概念；2．虛數(shù)的定義；3．純虛數(shù)的定義．15.某班級有50名學生，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生。將這50名學生隨機編號1~50號，并分組。第一組1~5號，第二組6~10號……第十組46~50號，若在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得的是號碼為

的學生。參考答案：3716.若函數(shù)f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零點，但不能用二分法求其零點，則a的值．

參考答案：2或﹣1

考點:二次函數(shù)的性質(zhì)．專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析:利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的零點判定定理推出結(jié)果即可．解：函數(shù)f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零點，說明函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，即△=4a2﹣4（a+2）=0解得a=2或﹣1故答案為：2或﹣1．點評:本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點判定定理的應(yīng)用，考查計算能力．

17.若復數(shù)z=4+3i，其中i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z的模為，的值為．參考答案：5，．【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義、模的計算公式即可得出．【解答】解：|z|==5，===，故答案為：5，．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分）如圖，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE//PA,，F(xiàn)為PA的中點.(I)求證:DF//平面PEC(II)若PE=，求平面PEC與平面PAD所成銳二面角的余弦值.參考答案：19.（本小題滿分12分）已知：且，，，（1）求的值；（2）求：的最小值及對應(yīng)的值；參考答案：【知識點】復合函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；B7，B3【答案解析】（1）；（2）解析：解(2)【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的復合關(guān)系求出a、m的值，再由復合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值.20.已知函數(shù)的最大值a（）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若（，），試比較與2的大?。畢⒖即鸢福海á瘢┯捎诘淖畲笾禐?，故.（Ⅱ）∵，且，，∴，當且僅當，即，等號成立．所以.21.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，(Ⅰ)求證：平面⊥平面(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值；(Ⅲ)若動點在底面三角形上，二面角的大小為，求的最小值.參考答案：（1）取AC中點O,因為AP=BP，所以O(shè)P⊥OC

由已知易得三角形ABC為直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC,∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面.……4分（2）以O(shè)為坐標原點,OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,),

……5分∴設(shè)平面PBC的法向量，由得方程組：，取

……6分∴

.∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.

……8分（3）由題意平面PAC的法向量，設(shè)平面PAM的法向量為∵又因為.∴

取.，，此時……12分22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△ABC為正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．（1）若E為棱PC的中點，求證PD⊥平面ABE；（2）若AB=3，求點B到平面PCD的距離．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性質(zhì)與線面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理可得AB⊥PD，進而證明結(jié)論．（2）解法一：設(shè)點B的平面PCD的距離為d，利用VB﹣PCD=VP﹣BCD即可得出．解法二：由（1）可知：建立如圖所示的空間直角坐標系，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸．過點C作CM⊥AD，垂足為M，設(shè)平面PCD的法向量為=（x，y，z），則，利用點B到平面PCD的距離d=即可得出．【解答】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE．∵AC=PA，E是PC的中點，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解法一：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，由（1）的證明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC為正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴．設(shè)點B的平面PCD的距離為d，則．在△BCD中，∠BCD=150°，∴．∴，∵VB﹣PCD=VP﹣BCD，∴，解