《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件第五章大數(shù)定律及中心極限定理

第五章大數(shù)定律及中心極限定理§5.1大數(shù)定律§5.2中心極限定理

1本章要解決的問題1.為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計？2.為何能以樣本均值作為總體期望的估計？3.為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？4.大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)是什么？大數(shù)定律中心極限定理2隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率§5.1大數(shù)定律背景：1.頻率穩(wěn)定性2.大量測量結(jié)果算術(shù)平均值的穩(wěn)定性3回顧01隨機現(xiàn)象的主要研究方法02概率分布03數(shù)字特征04研究的問題：隨機事件的概率05切比雪夫不等式06切比雪夫(1821-1894)07????原則08??_x001A_|?????_x001A_??_x001B_|<??_x001B_?09??~??_x001A_??,_x001A_??_x001B_??_x001B__x001B_,10??_x001A__x001A_?????_x001B_<????_x001B_=??.????????4

定理證明

切比雪夫不等式

5切比雪夫不等式可以在分布未知、只知道期望和方差的情況下，得到1方差??(??)越小，2X的取值越集中在期望??(??)的附近.3方差的意義4??_x001A_|?????|≥??_x001B_≤_x001A__x001A_??_x001B_??_x001B__x001B__x001A_??_x001B_??_x001B__x001B_5??_x001A__x001A_?????_x001B_<??_x001B_≥???_x001A__x001A_??_x001B_??_x001B__x001B__x001A_??_x001B_??_x001B__x001B_.6??_x001A__x001A_?????_x001B_<??_x001B_的估計.76

例切比雪夫不等式對事件概率的估計效果不錯.解注

切比雪夫不等式的應(yīng)用

7例1一臺設(shè)備由10個獨立工作的元件組成，每一元件在時間T發(fā)生故障的概率為0.05．設(shè)在時間T發(fā)生故障的元件數(shù)為X.試用切比雪夫不等式估計隨機變量X與其數(shù)學(xué)期望的偏差：(1)小于2；(2)不小于2的概率．

由切比雪夫不等式，得

8例2設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中，良種所占比例與1/6比較上下小于1%的概率.解：設(shè)X表示6000粒種子中的良種數(shù)，則

由切比雪夫不等式，9例3設(shè)每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75，試用切比雪夫不等式估計，n多大時，才能在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率大于0.90？

解：設(shè)X表示n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則

10性質(zhì)：

依概率收斂

11分析切比雪夫大數(shù)定律

則可用切比雪夫不等式12證切比雪夫大數(shù)定律

由切比雪夫不等式

13添加標(biāo)題注：辛欽大數(shù)定理不要求隨機變量的方差存在.它為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.添加標(biāo)題_x001A__x001A_lim_x001B_??→∞_x001B__x001B_??_x001A__x001A__x001A_??_x001B_??_x001B__x001A_??=??_x001B_??_x001B__x001A_??_x001B_??_x001B__x001B_???_x001B_<??_x001B_=??_x001B_.添加標(biāo)題即添加標(biāo)題定理2：(辛欽大數(shù)定律)設(shè)隨機變量序列_x001A_??_x001B_??_x001B_,_x001A_??_x001B_??_x001B_,?,

_x001A_??_x001B_??_x001B_,

?相互獨立同分布，數(shù)學(xué)期望??_x001A__x001A_??_x001B_??_x001B__x001B_=??,

??=??,

??,

?，則對???>??，有添加標(biāo)題_x001A_??_x001B_=_x001A_??_x001B_??_x001B__x001A_??=??_x001B_??_x001B__x001A_??_x001B_??_x001B__x001B__x001A_

??

_x001B_

??.14

即

15注：伯努利大數(shù)定律的意義2.伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法.在實際應(yīng)用中，當(dāng)試驗次數(shù)很大時，往往用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率．在實際應(yīng)用中，當(dāng)試驗次數(shù)很大時，往往用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率．單擊此處添加正文，文字是您思想的提煉，為了演示發(fā)布的良好效果，請言簡意賅地闡述您的觀點。伯努利大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了頻率的穩(wěn)定性.16推論2：若{_x001A_??_x001B_??_x001B_,??=??,

??,

?}為獨立同分布隨機變量序列，??_x001A__x001A_??_x001B_??_x001B_??_x001B__x001B_<∞，則01證：_x001A_??_x001B_??_x001B_,_x001A_??_x001B_??_x001B_,?,

_x001A_??_x001B_??_x001B_,

?相互獨立同分布，則_x001A_??_x001B_??_x001B_??_x001B_,_x001A_??_x001B_??_x001B_??_x001B_,

?,_x001A_??_x001B_??_x001B_??_x001B_,

?也相互獨立同分布,由辛欽大數(shù)定律得證.02_x001A_??_x001B_??_x001B__x001A_??=??_x001B_??_x001B__x001A_??_x001B_??_x001B_??_x001B__x001B__x001A_

??

_x001B_??_x001A__x001A_??_x001B_??_x001B_??_x001B__x001B_.0317許多隨機因素所產(chǎn)生的總影響某城市一小時內(nèi)的耗電量是大量用戶耗電量之和.物理實驗的測量誤差是許多可加的微小誤差之和.關(guān)注實際背景

§5.2中心極限定理18

注中心極限定理——獨立同分布

近似

n充分大近似

n充分大

19

恒等變形

應(yīng)用林德伯格-萊維定理

20例1一盒同型號螺絲釘共100個，已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量，期望值是100g，標(biāo)準(zhǔn)差是10g，求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2kg的概率.

由中心極限定理

21棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理

近似

n充分大

近似

n充分大二項分布的正態(tài)近似根據(jù)中心極限定理：

近似

n充分大22

恒等變形

應(yīng)用棣莫弗-拉普拉斯定理

23

例2某車間有200臺車床獨立工作，設(shè)每臺車床的開工率為0.6，開工時耗電1千瓦，問供電所至少要供多少電才能以不小于99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？至少供電142千瓦，才能保證車間以不小于99.9%的概率正常工作.

由中心極限定理，

24例3在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費.在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問：保險公司虧本的概率有多大？其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元的概率大于等于0.9，賠償金至多可設(shè)為多少？25解：(1)設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則??~??(??,

??)，其中??=??????????，??=??.??%.設(shè)Y表示保險公司一年的利潤，??=??????????×???????????????.需要求的是??_x001A_??<??_x001B_.由中心極限定理??_x001A_??<??_x001B_=??_x001A_??????????×???????????????<??_x001B_=??_x001A_??>??????_x001B_=?????_x001A_??≤??????_x001B_≈?????_x001A__x001A_?????????????????×??.??????_x001B__x001A__x001B_??????????×??.??????×??.??????_x001B__x001B__x001B_=?????_x001A_??.????_x001B_=??.123426設(shè)賠償金為a元，則令??{??≥??????????}=??{??????????×?????????≥??????????}=??_x001A_??<_x001A_??????????_x001B_??_x001B__x001B_≥??.??;由中心極限定理，上式等價于???≤??????.????.??_x001A_??≥??????????_x001B_≥??.??.??_x001A__x001A__x001A_??????????_x001B_??_x001B_???????????×??.??????_x001B__x001A__x001B_??????????×??.??????×??.??????_x001B__x001B__x001B_≥??.??,?_x001A__x001A_??????????_x001B_??_x001B_?????_x001B__x001A__x001B_????.????_x001B__x001B_≥??.????12345627例4對于一個學(xué)生而言，參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量.設(shè)一個學(xué)生無家長、有1名家長、2名家長的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，各學(xué)生參加會議的家長人數(shù)相互獨立，且服從同一分布.求參加會議的家長人數(shù)超過450人的概率；有一名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于340人的概率.28

29通過計算得，??_x001A__x001A_??_x001B_??_x001B__x001B_=??.??，??_x001A__x001A_??_x001B_??_x001B__x001B_=??.????.根據(jù)中心極限定理，有??_x001A_??>??????_x001B_=?????{??≤??????}≈?????_x001A__x001A_?????????????×??.??_x001B__x001A__x001B_??????×??.????_x001B_