數(shù)列的單調性專題

數(shù)列的單調性以及恒成立的問題一、數(shù)列的單調性數(shù)列的單調性與函數(shù)的單調性的區(qū)別【例題1】已知a=n2+Xn(neN*)是單調遞增數(shù)列，則九的取值范圍是 n【例題2】給定函數(shù)y=f(x)的圖像在下列圖中，并且對任意ae(0,1)，由關系a=f(a)1 n+1 n得到a>a(neN*)，則該函數(shù)的圖像是 n+1na=f(n)的單調性n【例題3】已知｛a｝的通項a=(n2-1)cn+cn-i(neN*)，其中實數(shù)cHO,若對一切keN*有n nak>ak，求c的取值范圍.2k2k-1【例題4】已知a=a，a=S+3n，若a三a(neN*)，求a的取值范圍.1 n+1n n+1 n1【變式訓練】設數(shù)列｛a｝滿足a=2，a二a+—(neN*).n 1 n+1 nan(I)證明：a>、；2n+1對一切正整數(shù)n成立；n

(II)令b=紅n<n(neN*(II)令b=紅n<nn n+1【例題5】已知數(shù)列｛a｝中，a=2，對于任意的p，qeN*，有a=a+a.n 1 p+qpq求數(shù)列｛a｝的通項公式；n若數(shù)列｛b｝滿足a二U-X+…+(—I)-】n，求數(shù)列｛b｝的通項公式;n n21+122+1 2n+1 n若c=3n+九b，是否存在實數(shù)九，使得當neN*時，c〉c恒成立？n n n+1n【變式訓練】設數(shù)列｛a｝的各項都是正數(shù)，且對任意的nwN*，都有a3+a3+…+a3二S2,n 1 2 n n其中，s為數(shù)列｛a｝的前n項和.nn求證：a2二2S+a；n+1 n n+1求數(shù)列｛a｝的通項公式；n設b=3n+(—1》-1?九.2an為非零整數(shù)，neN*，試確定九的值，使得對任意的nneN*，都有b>b成立.n+1na=f(a)的單調性TOC\o"1-5"\h\zn+1 n【知識點】對于迭代數(shù)列a=f(a),如果有y=f(x)是非遞減函數(shù)，那么：①若a<a，則n+1 n 12數(shù)列｛a｝遞增；②若a=a，那么數(shù)列｛a｝是常數(shù)列；③若a>a，則數(shù)列｛a｝遞減.n 1 2 n 1 2 n特別地，對于迭代數(shù)列a=f(a)，若f(x)是二次函數(shù)，則數(shù)列單調遞增的充要條件是n+1 na<a<a，且對于任意的n±2,neN*，在［a,a］上，函數(shù)f(x)為單調遞增函數(shù).1 2 3 2n1【例題6】已知數(shù)列｛a｝滿足a=三且a=a-a2(neN*)n 12 n+1nna證明：1<曠<2(neN*)；an+1設數(shù)列｛a2｝的前n項和為S，證明 <￡< (neN*).n n 2(n+2)n 2(n+1)

【變式訓練】在數(shù)列a中，％n13，aaan1n n1a2o，nnN(1)若0, 2,求數(shù)列an的通項公式；2)若丄kN,k2,ko o011，證明：23koa1 ko121-2k1o【變式訓練】數(shù)列｛x｝滿足：xi=0,x1=-X2+x+c(nN*)n 1 n+1 nn證明：數(shù)列｛x｝單調遞減的充分必要條件是c〈0；n求C的取值范圍，使數(shù)列｛xn｝是單調遞增數(shù)列.、數(shù)列的單調性應用一)數(shù)列的最值問題【例題7】數(shù)列｛a｝和數(shù)列｛b｝滿足：①a=a〈O,b=b〉O；②當k±2時，若％+bk三0,n n 11 k-1k-1a+ba+ba=a,b=-k-i ikk-1 k 2若包「bkJO,=気,b=b2 k k-1若a=-1,b=1,求a,b,a,b的值；2233設S=(b-a)+(b-a)+???+(b-a)，求S(用a,b表示)；n1 1 2 2 nn n若存在nwN*，對任意的正整數(shù)k,當2WkWn時，恒有bk>bk成立，求n的最大值k-1k(用a,b表示).【變式訓練】在數(shù)列｛a｝中，a=3,a=Ja+2,b=a+2,n=2,3,4,…n 1 n-n_1 nn求a,a,判斷數(shù)列｛a｝的單調性并證明；2 3 n求證|a-2|<1a—2|(n=2,3,4,…)；n4n_1是否存在常數(shù)M,對任意n±2,有bb???bWM?若存在，求出M的值；若不存在，說23n明理由.（二）數(shù)列中的恒成立問題【例題8】如圖，在平面直角坐標系xOy中，設a=2，有一組圓心在x軸的正半軸上的圓A1n（neN*）與乂軸的交點分別為A（1,0）和A（a,0）,過圓心A作x軸的垂線l在第一0 n+1n+1 n n象限與圓A交于點B（a，b）.n nnn（1）求數(shù)列｛a｝的通項公式；n（2）設曲邊形A+1BB+1（陰影部分所示）的面積為S，若對于任意eN*，+1 +1111一+ +…+ <m恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍.SS S12n【變式訓練】已知數(shù)列｛a｝與｛b｝滿足a-a=2（b-b），neN*.nn n+1 n n+1n（1） 若b=3n+5，且a=1，求數(shù)列｛a｝的通項公式；TOC\o"1-5"\h\zn 1 n（2） 設｛a｝的第n項是最大項，即a>a（neN*），求證：數(shù)列｛b｝的第n項是最大n 0 n0n n 0項；（3） 設a=九<0，b二九n（neN*），求九的取值范圍，使得｛a｝有最大值M與最小1 n n值m，且Me（-2,2）.m【課時作業(yè)】1、設數(shù)列｛a｝的前n項和S=2a-a，且a,a+1,a成等差數(shù)列.n nn1 1 2 3求數(shù)列｛a｝的通項公式；n11記數(shù)列｛一｝的前n項和T，求得IT-II< 成立的n的最小值.a n n1000n2、設數(shù)列｛a｝的前n項和為S,已知a=a(aM3),a=S+3n,neN*.n n 1 n+1n設b=S-3n,求證：數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列，并寫出｛b｝的通項公式;nn n n若數(shù)列｛a｝是單調遞增數(shù)列，求a的取值范圍.n3、設數(shù)列｛a｝的前n項和為S,S=2a+Xn-4(neN*,九eR)，且數(shù)列|a-1|為等比n nnn n數(shù)列.求實數(shù)九的值，并寫出數(shù)列｛a｝的通項公式；n(i)判斷數(shù)列]丄^-丄|(neN*)的單調性；[a-1aJnn(-1)n-1 2(ii)設b= ，數(shù)列｛b｝的前n項和為T,求證：T<懇.na n n 2n9n

\ a2 14、已知數(shù)列｛a｝,｛b｝中，a=1,b=1一-^ ,neN*，數(shù)列｛b｝的前n項和為S.nn1n（ a2丿a n nn+1'n+1（I） 若a=2n-1，求S；nn（II） 是否存在等比數(shù)列｛a｝，使得b=S對于任意的neN*恒成立？若存在，求出所有n n+2n滿足條件的數(shù)列｛a｝的通項公式；若不存在，請說明理由.n（III） 若｛a｝是單調遞增數(shù)列，求證：S<2.S且S且f=九a (neN*).a n+1n5、已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S,其中，a=1，n n 1（I）求常數(shù)九的值，并寫出｛a｝的通項公式;na（II）記b=才，數(shù)列｛b｝的前n項和為T,求最小的正整數(shù)k，使得對任意的n三k,都n n1<4n成立.

6、數(shù)列{a},a三6、數(shù)列{a},a三0,a=0,nn1a2+a-1=a2(neN*),n+1 n+1 n求證：當neN*時，a<a.nn+17、【變式訓練】設a=1，a=Ja2-2a+2-1(neN*)，問：是