學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁（共1頁）高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（每小題只有一個選項正確，每題4分，共10分，40分）1．（4分）已知x∈（?π2，0），cosx=4A．34 B．?34 C．42．（4分）“點M在直線a上，a在平面α內(nèi)”可表示為（）A．M∈a，a∈α B．M∈a，a?α C．M?a，a∈α D．M?a，a?α3．（4分）運用斜二測兩法作圖時，下列情況中可能出現(xiàn)的是（）A．z軸方向上的線段MN的長度在直觀圖中是原來的一半 B．平行四邊形在所在平面內(nèi)的直觀圖不是平行四邊形 C．以相交于一個頂點的三條棱所在直線為軸作圖，正方體的直觀圖中所有棱長相等 D．直角三角形的直觀圖還是直角三角形4．（4分）圓錐的母線長為5，高為3，則圓錐的側(cè)面積為（）A．25π B．20π C．15π D．10π5．（4分）已知平面向量a→，b→滿足|a→|=A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（4分）函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)A．?3 B．3 C．﹣1 7．（4分）已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，給出下列四個命題：①如果m?α，n?α，m∥β，n∥β，那么m∥n；②如果m∥n，n⊥α，那么m⊥α；③如果α⊥β，m?α，n?β，那么n⊥m；④如果α∩β＝m，n⊥m，n?α，那么n⊥β．其中正確命題的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個8．（4分）已知f(x)=Asinx?3cosx(A＞0)的最大值是2，則g(x)=3A．32 B．3 C．32+9．（4分）已知在△ABC中，AB＝2，AC＝4，則∠C的大小隨三角形形狀而變化時（）A．有最大值，無最小值 B．無最大值，有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既無最大值，也無最小值10．（4分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足MP⊥CN，則下列說法正確的是（）A．點P可以是棱BB1的中點 B．線段MP的最大值為32C．點P的軌跡是正方形 D．點P軌跡的長度為2+二、填空題（每題4分，共8題，32分）11．（4分）一個球的半徑為r，若它的體積值是表面積值的2倍，則r的值是．12．（4分）在△ABC中，角B=π3，AC=313．（4分）已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：（1）m⊥n；（2）α⊥β（3）n⊥β（4）m⊥α．以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：（答案不唯一，寫出一個即可）．14．（4分）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD，2AB=3BD，BC＝2BD，則sinC的值為15．（4分）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是弧AB的三等分點，M，N是線段AB的三等分點，若OA＝6，則MD→?NC→的值是16．（4分）如圖，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則圖中所標(biāo)的各線段中，一定與AC垂直的線段有條；若PB＝2AB，則cos∠APC的值是．17．（4分）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除”．劉徽注：“羨除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”現(xiàn)有一個羨除如圖所示，四邊形ABCD，ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積是．18．（4分）正多面體與正多邊形一樣，具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，也是立體幾何學(xué)習(xí)中的常見模型．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，分別將6個正方形ABCD、ABB1A1、BCC1B1、CDD1C1、ADD1A1、A1B1C1D1的中心點依次記為M、N、P、Q、R、S，給出下列結(jié)論：①正方體ABCD﹣A1B1C1D1的所有截面中，正多邊形只有正三角形和正方形；②以M、N、P、Q、R、S為頂點連成一個幾何體，這個幾何體是正八面體；③三棱錐B﹣MNP是正四面體，它的外接球半徑是32④將（2）中多面體MNPQRS的各個面的中心標(biāo)出，用線段將這些中心點連成幾何體，可以得到一個新的正方體，它的棱長是13則其中正確的有．三、解答題（共78分）19．（13分）已知向量a→=(2sinx，2sinx)，b（1）當(dāng)x∈(0，π2)時，求f（2）當(dāng)a→和b→的夾角為銳角時，求20．（12分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點E為棱CC1的中點．（1）證明：AC1∥平面BDE．（2）證明AC1⊥BD．（3）在圖中作出平面BED1截正方體所得的截面圖形（如需用到其它點，需用字母標(biāo)記并說明位置），并說明理由．21．（13分）已知△ABC的面積為42，再從條件①、條件②（Ⅰ）b和c的值；（Ⅱ）sin（A﹣B）的值．條件①：a＝6，cosC=?13；條件②：A＝C，22．（14分）如圖，在三棱錐D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，F(xiàn)在棱AC上，且AF＝3FC．（Ⅰ）求三棱錐D﹣ABC的體積；（Ⅱ）求證：AC⊥平面DEF；（Ⅲ）若M為DB中點，是否存在N在棱AC上，CN＝λCA，且MN∥平面DEF？若存在，求λ的值并說明理由；若不存在，給出證明．23．（13分）定義：在△ABC中，若其某一內(nèi)角等于另一內(nèi)角的二倍，則稱△ABC為“二倍三角形”（Ⅰ）若△ABC為二倍三角形，∠A＝90°，BC＝2，求△ABC的面積；（Ⅱ）對于二倍三角形△ABC，∠B＝2∠A，記sinA＝t，用含t的代數(shù)式表示AB：BC：CA的比；（Ⅲ）根據(jù)（II）的計算結(jié)果，是否存在三邊長皆為整數(shù)的二倍三角形？若存在，舉出一例并驗證；若不存在，則說明理由．24．（13分）我們知道，二元實數(shù)對（x，y）可以表示平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)；那么對于n元實數(shù)對（x1，x2，?，xn）（n≥1，n是整數(shù)），也可以把它看作一個由n條兩兩垂直的“軸”構(gòu)成的高維空間（一般記為Rn）中的一個“點”的坐標(biāo)表示．點的距離d(A，B)=i=1（1）當(dāng)n＝2時，若A（1，2），B（4，6），C（3，10），求d（A，B），d（B，C）和d（C，A）的值；（2）對于給定的正整數(shù)N，證明RN中任意三點A，B，C滿足關(guān)系d（A，B）≤d（A，C）+d（C，B）；（3）當(dāng)n＝3時，設(shè)A（0，0，0），B（4，4，4），P（x，y，z），其中x，y，z∈Z，d（A，P）+d（P，B）＝d（A，B）．求滿足P點的個數(shù)n，并證明從這n個點中任取11個點，在取出的點中必存在4個點，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c的三棱錐體積不大于83

實驗中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（每小題只有一個選項正確，每題4分，共10分，40分）1．（4分）已知x∈（?π2，0），cosx=4A．34 B．?34 C．4【解答】解：∵已知x∈（?π2，o），cosx=45，∴sinx=?故選：B．2．（4分）“點M在直線a上，a在平面α內(nèi)”可表示為（）A．M∈a，a∈α B．M∈a，a?α C．M?a，a∈α D．M?a，a?α【解答】解：∵點M在直線a上，a在平面α內(nèi)，∴M∈a，a?α，故選：B．3．（4分）運用斜二測兩法作圖時，下列情況中可能出現(xiàn)的是（）A．z軸方向上的線段MN的長度在直觀圖中是原來的一半 B．平行四邊形在所在平面內(nèi)的直觀圖不是平行四邊形 C．以相交于一個頂點的三條棱所在直線為軸作圖，正方體的直觀圖中所有棱長相等 D．直角三角形的直觀圖還是直角三角形【解答】解：對于A，根據(jù)斜二測畫法可知，與z軸平行的線長段不變，故A錯誤；對于B，斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖，原來平行的線依然平行，故平行四邊形的直觀圖依然是平行四邊形，故B錯誤；對于C，正方體的直觀圖中，與x，z軸平行線長度不變，與y軸平和的線長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，故C錯誤；對于D，如圖，直角三角形AOB中，AO＝2，OB＝42，則其直觀圖如下所示：則A′O′＝2，O′B′＝22，∵∠A′O′B′＝45°，∴A′B′=O′∴∠O′A′B′＝90°，故D正確．故選：D．4．（4分）圓錐的母線長為5，高為3，則圓錐的側(cè)面積為（）A．25π B．20π C．15π D．10π【解答】解：∵圓錐的母線長為5，高為3，∴圓錐底面半徑是r=5則底面周長是8π，∴圓錐的側(cè)面積是S=1故選：B．5．（4分）已知平面向量a→，b→滿足|a→|=A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：若a→?b→與a→∴a→把|a→|=∴a→a→⊥b則（a→?b→）?（∴a→?b綜上，“a→?b→與故選：C．6．（4分）函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)A．?3 B．3 C．﹣1 【解答】解：函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π則T＝2×(5π12+πf（x）＝2sin（2x+φ），把（5π12，2）代入得2sin（5π6∴5π6+φ=π2+2kπ∵|φ|＜π2，∴φ=?π3，∴f（x∴f(π2)=2sin（2×故選：B．7．（4分）已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，給出下列四個命題：①如果m?α，n?α，m∥β，n∥β，那么m∥n；②如果m∥n，n⊥α，那么m⊥α；③如果α⊥β，m?α，n?β，那么n⊥m；④如果α∩β＝m，n⊥m，n?α，那么n⊥β．其中正確命題的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：對于①如果m?α，n?α，m∥β，n∥β，那么m∥n或m與n相交，故①錯誤；對于②如果m∥n，n⊥α，由線面垂直的性質(zhì)可知m⊥α，故②正確；對于③如果α⊥β，m?α，n?β，那么m⊥n或m∥n或m與n相交（不垂直）或m與n異面（不垂直），故③錯誤；對于④如果α∩β＝m，m⊥n，n?α，那么n⊥β或n與β相交（不垂直），當(dāng)且僅當(dāng)α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，n?α，那么n⊥β，故④錯誤．故選：D．8．（4分）已知f(x)=Asinx?3cosx(A＞0)的最大值是2，則g(x)=3A．32 B．3 C．32+【解答】解：由于f(x)=Asinx?3所以A＝1；所以g(x)=3由于x∈[π所以x+π由于函數(shù)在x∈[π所以在x=π4時，函數(shù)取得最大值，即故選：C．9．（4分）已知在△ABC中，AB＝2，AC＝4，則∠C的大小隨三角形形狀而變化時（）A．有最大值，無最小值 B．無最大值，有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既無最大值，也無最小值【解答】解：在△ABC中，AB＝2，AC＝4，由正弦定理得ABsinC∴sinC=ABsinB∵AB＜AC，C＜B，B∈（0，π），sinB∈（0，1]，∴sinC∈（0，12]，∵C∈（0，π2），∴C∈（0，∴C有最大值，無最小值．故選：A．10．（4分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足MP⊥CN，則下列說法正確的是（）A．點P可以是棱BB1的中點 B．線段MP的最大值為32C．點P的軌跡是正方形 D．點P軌跡的長度為2+【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為該正方體的棱長為1，M，N分別為BD1，B1C1的中點，則D（0，0，0），M(1所以CN→設(shè)P（x，y，z），則MP→因為MP⊥CN，所以12當(dāng)x＝1時，z=1當(dāng)x＝0時，z=3取E(1，0，1連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，則EF→=HG所以四邊形EFGH為矩形，則EF→即EF⊥CN，EH⊥CN，又EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線，所以CN⊥平面EFGH，又EM→所以M為EG的中點，則M∈平面EFGH，所以為使MP⊥CN，必有點P∈平面EFGH，又點P在正方體表面上運動，所以點P的軌跡為四邊形EFGH，因此點P不可能是棱BB1的中點，故選項A錯誤；又EF＝GH＝1，EH＝FG=5所以EF≠EH，則點P的軌跡不是正方形，且矩形EFGH的周長為2+2×5故選項C錯誤，選項D正確；因為CN→=(1又MP⊥CN，則12所以x=32?2z，點P在正方體表面運動，則0≤32所以MP=(x?故當(dāng)z=14或z=34，y＝0或1時，故選項B錯誤；故選：D．二、填空題（每題4分，共8題，32分）11．（4分）一個球的半徑為r，若它的體積值是表面積值的2倍，則r的值是6．【解答】解：由球的體積值是表面積值的2倍，可得43πr故答案為：6．12．（4分）在△ABC中，角B=π3，AC=32AB【解答】解：∵AC=32AB，由正弦定理可得sinB=3∴sinC=13=33，∵AC＞AB，∴B∴cosC=6∴sin(C+π2)=cos故答案為：6313．（4分）已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：（1）m⊥n；（2）α⊥β（3）n⊥β（4）m⊥α．以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：m⊥α，n⊥β，α⊥β?m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥β（答案不唯一，寫出一個即可）．【解答】解：m⊥α，n⊥β，α⊥β?m⊥n，由面面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n正確；m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β正確；α⊥β，n⊥β，m⊥n?m⊥α，這里m與α相交、平行或m?α，故m⊥α不正確；m⊥n，α⊥β，m⊥α?n⊥β，這里n與β相交、平行或n?β，故n⊥β不正確．故答案為：m⊥α，n⊥β，α⊥β?m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥β．14．（4分）如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB＝AD，2AB=3BD，BC＝2BD，則sinC的值為66【解答】解：在△ABD中，由余弦定理可得，cos∠ADB=A∵cos∠BDC＝cos（π﹣∠ADB）＝﹣cos∠ADB=?3∴sin∠BDC=1?co在△BCD中，由正弦定理可得，BCsin∠BDC∵BC＝2BD，sin∠BDC=6∴sinC=6故答案為：6615．（4分）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是弧AB的三等分點，M，N是線段AB的三等分點，若OA＝6，則MD→?NC→的值是【解答】解：如圖，連接DO，CO，則根據(jù)題意知：∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°；MD→=MO∴MD→故答案為：20．16．（4分）如圖，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則圖中所標(biāo)的各線段中，一定與AC垂直的線段有3條；若PB＝2AB，則cos∠APC的值是23【解答】解：∵BD與AC為正方形ABCD的兩對角線，∴AC⊥BD，又PD垂直于正方形ABCD所在的平面，∴PD⊥AC，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB，∴AC⊥BD，AC⊥PD，AC⊥PB，∴一定與AC垂直的線段有3條；∵AB⊥AD，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，∴PD⊥AB，AD∩PD＝D，∴AB⊥平面PAD，同理BC⊥平面PCD，∴AB⊥AP，BC⊥PC，若PB＝2AB，不妨設(shè)AB＝1，則PB＝2，∴AP=3同理可得PC=3，又AC=2，在△cos∠APC=3+3?2故答案為：3；2317．（4分）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除”．劉徽注：“羨除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”現(xiàn)有一個羨除如圖所示，四邊形ABCD，ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積是120．【解答】解：連接CE，BE，DB，則VE﹣ABCD=1VD﹣ABE＝VE﹣ABD=37VE﹣VC﹣BEF＝VD﹣ABE＝50．∴這個羨除的體積V＝VE﹣ABCD+VC﹣BEF＝70+50＝120．故答案為：120．18．（4分）正多面體與正多邊形一樣，具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，也是立體幾何學(xué)習(xí)中的常見模型．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，分別將6個正方形ABCD、ABB1A1、BCC1B1、CDD1C1、ADD1A1、A1B1C1D1的中心點依次記為M、N、P、Q、R、S，給出下列結(jié)論：①正方體ABCD﹣A1B1C1D1的所有截面中，正多邊形只有正三角形和正方形；②以M、N、P、Q、R、S為頂點連成一個幾何體，這個幾何體是正八面體；③三棱錐B﹣MNP是正四面體，它的外接球半徑是32④將（2）中多面體MNPQRS的各個面的中心標(biāo)出，用線段將這些中心點連成幾何體，可以得到一個新的正方體，它的棱長是13則其中正確的有②④．【解答】解：對①，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的所有截面中，正多邊形還可以有正六邊形，故①錯誤；對②，根據(jù)正方體的對稱性可得，以M，N，P，Q，R，S為頂點連成一個八面體，且各邊相等，且RNPQ，RMPS，NMQS均為正方形，故為正八面體，故②正確；對③，取正方體中心O，AB，BC，BB1的中點分別為X，Y，Z，連接如圖，易得XBYM﹣NZPO為正方體，且棱長為12故三棱錐B﹣MNP是正四面體，其外接球半徑與正方體XBYM﹣NZPO的外接球相同，半徑為12×3對④，設(shè)I為△MNP的中心，由③可得三棱錐B﹣MNP是正四面體，故BI⊥平面MNP連接如圖，由正方體可得A1C1⊥D1B，同理DC1⊥D1B，又由中位線性質(zhì)可得A1C1∥NP，DC1∥MP，故NP⊥D1B，MP⊥D1B，又NP∩MP＝P，NP，MP?平面NPM，故D1B⊥平面NPM．又BI⊥平面MNP，故B，I，D1三點共線．因為BP=2故BI=(22)2?(66理可得多面體MNPQRS的各個面的中心即正方體ABCD﹣A1B1C1D1體對角線的所有三分點．故多面體MNPQRS的各個面的中心連成的幾何體的為正方體，且根據(jù)體對角線的長度比例可得，該幾何體與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的比例為1：3，即棱長為13，故④故選：②④．三、解答題（共78分）19．（13分）已知向量a→=(2sinx，2sinx)，b（1）當(dāng)x∈(0，π2)時，求f（2）當(dāng)a→和b→的夾角為銳角時，求【解答】解：（1）∵向量a→∴f(x)=a→?b→+1=2sinxcosx﹣2sin2x+1＝sin2x+co2∵x∈(0，π2)，∴2x+π4∈∴?22＜sin（2∴﹣1＜2sin（2x+π4∴f（x）的取值范圍是（﹣1，2）；（2）∵a→和b∴a→?b→＞0，且a→，b→夾角不為0°，即sin（2x+π4）∴π4+2kπ＜2x+π4＜3π4+∴π4+kπ＜x＜π2+kπ故x的取值范圍是（π4+kπ，π2+kπ），20．（12分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點E為棱CC1的中點．（1）證明：AC1∥平面BDE．（2）證明AC1⊥BD．（3）在圖中作出平面BED1截正方體所得的截面圖形（如需用到其它點，需用字母標(biāo)記并說明位置），并說明理由．【解答】證明：（1）連接AC，交BD于點F，連接EF，則F為AC的中點，又E為棱CC1的中點，∴AC1∥EF，又∵AC1?平面BDE，EF?平面BDE，∴AC1∥平面BDE．（2）∵DE＝BE，F(xiàn)為BD的中點，∴EF⊥BD，由（1）可知AC1∥EF，∴AC1⊥BD．（3）取A1A的中點M，連接D1M，MB，EB，則平面BED1截正方體所得的截面為平面D1MBE，理由如下：由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，D1E∥MB，D1M∥EB，由平面基本定理可得，點D1，M，B，E四點共面，所以平面BED1截正方體所得的截面為平面D1MBE．21．（13分）已知△ABC的面積為42，再從條件①、條件②（Ⅰ）b和c的值；（Ⅱ）sin（A﹣B）的值．條件①：a＝6，cosC=?13；條件②：A＝C，【解答】解：若選擇條件①：（Ⅰ）在△ABC中，因為cosC=?1所以C∈(π2，π)，sin因為S=12absinC=42，由余弦定理，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝48，所以c=43（Ⅱ）由正弦定理asinA=b所以sinA=63，因為A，B∈(0，π2)，所以cosA=所以sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB=6若選擇條件②：（Ⅰ）在△ABC中，因為A＝C，所以a＝c．因為cosB=?79，所以B∈(π因為S=1所以a=c=32由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accosB＝64，所以b＝8，（Ⅱ）由正弦定理得asinA所以sinA=a因為A∈(0，π2)所以sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB=122．（14分）如圖，在三棱錐D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，F(xiàn)在棱AC上，且AF＝3FC．（Ⅰ）求三棱錐D﹣ABC的體積；（Ⅱ）求證：AC⊥平面DEF；（Ⅲ）若M為DB中點，是否存在N在棱AC上，CN＝λCA，且MN∥平面DEF？若存在，求λ的值并說明理由；若不存在，給出證明．【解答】（I）解：∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，∴三棱錐D﹣ABC的體積V=13×34a2×（II）證明：取AC的中點H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．∵AF＝3FC，∴F為CH的中點．∵E為BC的中點，∴EF∥BH．則EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．（III）解：存在這樣的點N，λ=3當(dāng)CN=38AC時，MN∥平面連CM，設(shè)CM∩DE＝O，連OF．由條件知，O為△BCD的重心，CO=23∴當(dāng)CF=23CN時，MN∥OF．∴CN=3223．（13分）定義：在△ABC中，若其某一內(nèi)角等于另一內(nèi)角的二倍，則稱△ABC為“二倍三角形”（Ⅰ）若△ABC為二倍三角形，∠A＝90°，BC＝2，求△ABC的面積；（Ⅱ）對于二倍三角形△ABC，∠B＝2∠A，記sinA＝t，用含t的代數(shù)式表示AB：BC：CA的比；（Ⅲ）根據(jù)（II）的計算結(jié)果，是否存在三邊長皆為整數(shù)的二倍三角形？若存在，舉出一例并驗證；若不存在，則說明理由．【解答】解：（Ⅰ）因為△ABC為二倍三角形，∠A＝90°，若∠A＝2∠B，則∠B＝∠C＝45°，又BC＝2，所以AB=AC=2，所以△ABC的面積為1若∠C＝2∠B，則∠B＝30°，∠C＝60°，又BC＝2，所以AB=3所以△ABC的面積為12（Ⅱ）因為二倍三角形△ABC，∠B＝2∠A，sinA＝t，所以sinB=2sinAcosA=2t1?t2，sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sinAcos2A+cosAsin2A＝t（1﹣2t2）+2t（1﹣t2）＝3t﹣4所以AB：BC：CA=sinC：sinA：sinB=(3?4t所以AB：BC：CA=(3?4t（Ⅲ）存在三邊長皆為整數(shù)的二倍三角形，理由如下：由（Ⅱ）得AB：BC：CA=(3?4t則設(shè)c=(3?4t則k為大于0的整數(shù)，如t2c=(3?4×716)×4=5，a=4，b=2×41?716=6所以存在三邊長皆為整數(shù)的二倍三角形．24．（13分）我們知道，二元實數(shù)對（x，y）可以表示平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)；那么對于n元實數(shù)對（x1，x2，?，xn）（n≥1，n是整數(shù)），也可以把它看作一個由n條兩兩垂直的“軸”構(gòu)成的高維空間（一般記為Rn）中的一個“點”的坐標(biāo)表示．點的距離d(A，B)=i=1（1）當(dāng)n＝2時，若A（1，2），B（4，6），C（3，10），求d（A，B），d（B，C）和d（C，A）的