福建省莆田八中2024學年高二上數(shù)學期末聯(lián)考試題含解析

福建省莆田八中2024學年高二上數(shù)學期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或2．設等差數(shù)列的前項和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.53．一道數(shù)學試題，甲、乙兩位同學獨立完成，設命題是“甲同學解出試題”，命題是“乙同學解出試題”，則命題“至少一位同學解出試題”可表示為（）A. B.C. D.4．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.35．已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)n都有，若，則（）A.2019 B.2020C.2021 D.20226．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.7．函數(shù)在上是單調遞增函數(shù)，則的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.68．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件9．已知圓的方程為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.10．設實系數(shù)一元二次方程在復數(shù)集C內的根為、，則由，可得.類比上述方法：設實系數(shù)一元三次方程在復數(shù)集C內的根為，則的值為A.﹣2 B.0C.2 D.411．在等差數(shù)列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.1812．若拋物線焦點坐標為，則的值為A. B.C.8 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程是______.14．已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為____________________.15．數(shù)學中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設是方程的根，選取作為的初始近似值，在點處作曲線的切線，則與軸交點的橫坐標稱為的一次近似值，在點處作曲線的切線.則與軸交點的橫坐標稱為的二次近似值.重復上述過程，用逐步逼近.若給定方程，取，則__________.16．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點（點在軸上方），_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知點F為拋物線的焦點，點在拋物線上，且.（1）求該拋物線的方程；（2）若點A在第一象限，且拋物線在點A處的切線交y軸于點M，求的面積.19．（12分）有時候一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害.下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分數(shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評價分數(shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：，（1）已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分數(shù)具有相關關系.試求出回歸方程（最后結果精確到）；（2）某人只能接受食品所含熱量百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機選取兩種購買，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分數(shù)為分以上的概率.20．（12分）已知橢圓的長軸長與短軸長之比為2,、分別為其左、右焦點．請從下列兩個條件中選擇一個作為已知條件,完成下面的問題:①過點且斜率為1的直線與橢圓E相切;②過且垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限交于點P,且的面積為．(只能從①②中選擇一個作為已知)（1）求橢圓E的方程;（2）過點的直線l與橢圓E交于A,B兩點,與直線交于H點,若,．證明:為定值21．（12分）已知點，點B為直線上的動點，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點P（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，求面積的最小值．（O為坐標原點）22．（10分）如圖，矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點，，，以EF為軸，將正方形AEFD翻折至與平面EBCF垂直的位置處.請按圖中所給的方法建立空間直角坐標系，然后用空間向量坐標法完成下列問題（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.2、B【解題分析】由以及等差數(shù)列的性質，可得的值，再結合即可求出公差.【題目詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.3、D【解題分析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【題目詳解】“至少一位同學解出試題”的意思是“甲同學解出試題，或乙同學解出試題”.故選：D.4、D【解題分析】先求解出導函數(shù)，然后代入到導函數(shù)中，所求導數(shù)值即為切線斜率.【題目詳解】因為，所以，所以切線的斜率為.故選：D.5、C【解題分析】先令代入中，求得，再根據(jù)遞推式得到，將與已知相減，可判斷數(shù)列是等比數(shù)列，進而確定，求得答案.【題目詳解】因為，令，則，又，故，即，故數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.6、A【解題分析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【題目詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A7、B【解題分析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3【題目詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B8、A【解題分析】根據(jù)直線垂直求出值即可得答案.【題目詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.9、C【解題分析】根據(jù)可求得結果.【題目詳解】因為表示圓，所以，解得.故選：C【題目點撥】關鍵點點睛：掌握方程表示圓的條件是解題關鍵.10、A【解題分析】用類比推理得到，再用待定系數(shù)法得到，，再根據(jù)求解.【題目詳解】，由對應系數(shù)相等得：，.故選：A.【題目點撥】本題主要考查合情推理以及待定系數(shù)法，還考查了轉化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.11、A【解題分析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結果.【題目詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列前n項和的有關判斷，解題的關鍵是得出.12、A【解題分析】先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據(jù)拋物線的焦點坐標，可得的值.【題目詳解】拋物線的標準方程為，因為拋物線的焦點坐標為，所以，所以，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關利用拋物線的焦點坐標求拋物線的方程的問題，涉及到的知識點有拋物線的簡單幾何性質，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、x-y-2=0【解題分析】解：因為曲線在點（1,－1）處的切線方程是由點斜式可知為x-y-2=014、【解題分析】依題意，設所求的雙曲線的方程為.點為該雙曲線上的點，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是.15、【解題分析】根據(jù)牛頓迭代法的知識求得.【題目詳解】構造函數(shù)，，切線的方程為，與軸交點的橫坐標為.，所以切線的方程為，與軸交點的橫坐標為.故答案為：16、3【解題分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用，結合已知條件，即可容易求得通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，對數(shù)列進行裂項求和，即可求得.【小問1詳解】當時，.當時，，因為當時，，所以.【小問2詳解】因為，所以，故數(shù)列的前項和.18、（1）;（2）10.【解題分析】（1）由根據(jù)拋物線的定義求出可得拋物線方程；（2）求出拋物線過點A的切線，得出點M的坐標即可求三角形面積.【小問1詳解】由拋物線的定義可知，即，拋物線的方程為.【小問2詳解】，且A在第一象限，，即A(4,4)，顯然切線的斜率存在，故可設其方程為，由，消去得，即，令，解得，切線方程為.令x=0，得，即,又，，.19、（1）（2）【解題分析】（1）首先求出、、，即可求出，從而求出回歸直線方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有種，評價為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，，用列舉法列出所有的可能結果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【小問1詳解】解：設所求的回歸方程為，由，，，，所求的回歸方程為：.【小問2詳解】解：由表可知某人只能接受的食品共有種，其中美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，.任選兩種分別為：，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件.記“所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對此食品口味的評價分數(shù)為分以上”為事件，則事件包含，，，，，，，，共個基本事件，故事件發(fā)生的概率為.20、（1）（2）證明見解析【解題分析】(1)選①:直線與橢圓聯(lián)立,利用判別式為0求解;選②:利用通徑公式即可(2)用直線參數(shù)方程的幾何意義求解【小問1詳解】選①:由題知,過點且斜率為1的直線方程為聯(lián)立,得由,得所以橢圓的方程為選②:由題知,所以由,得所以橢圓的方程為【小問2詳解】證明:設直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))設A,B,H對應的參數(shù)分別為,顯然將代入橢圓,得即.所以將代入直線,得由,得,所以由,得,所以所以所以為定值【題目點撥】關鍵點點睛：直線的參數(shù)方程作為一種工具，要充分發(fā)揮它的作用，參數(shù)的幾何意義并不局限于加絕對值表示距離，還要注意方向性.請考生在22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分21、（1）（2）【解題分析】（1）由已知可得，根據(jù)拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，則，代入韋達定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解：當直線的傾斜角為時，與曲線只有一個交點，不符合題意；當直線的傾斜角不為時，設直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當且僅當時取等號，即面積的最小值為；22、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出對應向量的坐標，根據(jù)向量垂直，