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湖北省麻城一中2024年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,某圓錐的軸截面是等邊三角形,點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn),且,點(diǎn)是的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是()A. B.C. D.2.在等比數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,則的值為()A. B.C. D.或3.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問(wèn)題,松長(zhǎng)三尺,竹長(zhǎng)一尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長(zhǎng)等,如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖,若輸入的,分別為3,1,則輸出的等于A.5 B.4C.3 D.24.已知直線(xiàn)l1:y=x+2與l2:2ax+y﹣1=0垂直,則a=()A. B.C.﹣1 D.15.下面三種說(shuō)法中,正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為()①如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合;②兩條直線(xiàn)可以確定一個(gè)平面;③若,,,則A.1 B.2C.3 D.06.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值為()A.28 B.39C.56 D.1177.在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)+的傾斜角是()A. B.C. D.8.函數(shù)的圖象如圖所示,則函數(shù)的圖象可能是A. B.C. D.9.設(shè),直線(xiàn),,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知球O的半徑為2,球心到平面的距離為1,則球O被平面截得的截面面積為()A. B.C. D.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A. B.C. D.12.在四棱錐中,底面為平行四邊形,為邊的中點(diǎn),為邊上的一列點(diǎn),連接,交于,且,其中數(shù)列的首項(xiàng),則()A. B.為等比數(shù)列C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿(mǎn)足,,若,則_______14.用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè).(用數(shù)字作答)15.若不同的平面的一個(gè)法向量分別為,,則與的位置關(guān)系為_(kāi)__________.16.日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的.隨著水的純凈度的提高,所需凈化費(fèi)用不斷増加.已知將噸水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用(單位:元)為.則凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的___________倍,這說(shuō)明,水的純凈度越高,凈化費(fèi)用增加的速度越___________(填“快”或“慢”).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)某一目標(biāo)射擊,已知甲、乙能擊中的概率分別為,求:(1)甲、乙恰好有一人擊中的概率;(2)目標(biāo)被擊中的概率18.(12分)已知函數(shù)(a為常數(shù))(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,,,數(shù)列滿(mǎn)足(且),.(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20.(12分)若函數(shù)與的圖象有一條與直線(xiàn)平行的公共切線(xiàn),求實(shí)數(shù)a的值21.(12分)如圖,四棱錐中,,,,平面,點(diǎn)F在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng).(1)若平面,請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置并說(shuō)明理由;(2)若點(diǎn)F滿(mǎn)足,求平面與平面的夾角的余弦值.22.(10分)如圖,在正方體中,分別是,的中點(diǎn).求證:(1)平面;(2)平面平面.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】建立空間直角坐標(biāo)系,分別得到,然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【題目詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線(xiàn)為軸,直線(xiàn),分別為軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則根據(jù)題意可得,,,,所以,,設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為,則.故選:C.2、B【解題分析】由韋達(dá)定理得a3a15=2,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)得:a92=a3a15=a2a16=2,由此求出答案【題目詳解】解:∵在等比數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2-6x+2=0的根,∴a3a15=2>0,a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2,a92=a3a15=2,∴a9=,∴,故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列中兩項(xiàng)積與另一項(xiàng)的比值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用3、B【解題分析】由已知中的程序框圖可知:該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值,模擬程序的運(yùn)行過(guò)程,分析循環(huán)中各變量值的變化情況,可得答案【題目詳解】解:當(dāng)n=1時(shí),a=3,b=2,滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件,當(dāng)n=2時(shí),a,b=4,滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件,當(dāng)n=3時(shí),a,b=8,滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件,當(dāng)n=4時(shí),a,b=16,不滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件,故輸出的n值為4,故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖,當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時(shí),常采用模擬循環(huán)的方法解答4、A【解題分析】利用兩直線(xiàn)垂直斜率關(guān)系,即可求解.【題目詳解】直線(xiàn)l1:y=x+2與l2:2ax+y﹣1=0垂直,.故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查兩直線(xiàn)垂直間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】對(duì)于①,有兩種情況,對(duì)于②考慮異面直線(xiàn),對(duì)于③根據(jù)線(xiàn)面公理可判斷.【題目詳解】如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合或者是相交,故①不正確;兩條異面直線(xiàn)不能確定一個(gè)平面,故②不正確;若,,,可知必在交線(xiàn)上,則,故③正確;綜上所述只有一個(gè)說(shuō)法是正確的.故選:A6、B【解題分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中,,則.故選:B.7、B【解題分析】由直線(xiàn)方程得斜率,從而得傾斜角【題目詳解】由直線(xiàn)方程知直角斜率為,在上正切值為1的角為,即為傾斜角故選:B8、D【解題分析】原函數(shù)先減再增,再減再增,且位于增區(qū)間內(nèi),因此選D【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系:若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為,且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方,則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí),由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間9、A【解題分析】由可求得實(shí)數(shù)的值,再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【題目詳解】若,則,解得或,因此,“”是“”的充分不必要條件.故選:A.10、B【解題分析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【題目詳解】由球的性質(zhì)可知,截面圓的半徑為,所以截面的面積.故選:B11、B【解題分析】根據(jù)和可求得,結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為,由得:;又,,.故選:B.12、A【解題分析】由得,為邊的中點(diǎn)得,設(shè),所以,根據(jù)向量相等可判斷A選項(xiàng);由得是公比為的等比數(shù)列,可判斷B選項(xiàng);代入可判斷C選項(xiàng);當(dāng)時(shí)可判斷D選項(xiàng).【題目詳解】由得,因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn),所以,所以設(shè),所以,所以,當(dāng)時(shí),A選項(xiàng)正確;,由得,是公比為的等比數(shù)列,所以,所以,所以,不是常數(shù),故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;所以,由得,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以,此時(shí)為的中點(diǎn),與重合,即,,故D錯(cuò)誤.故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】由遞推式,結(jié)合依次求出、即可.【題目詳解】由,可得:,又,可得:.故答案為:.14、504【解題分析】分兩種情況求解,一是四個(gè)數(shù)字中沒(méi)有奇數(shù),二是四個(gè)數(shù)字中有一個(gè)奇數(shù),然后根據(jù)分類(lèi)加法原理可求得結(jié)果【題目詳解】當(dāng)四個(gè)數(shù)字中沒(méi)有奇數(shù)時(shí),則這樣的四位數(shù)有種,當(dāng)四個(gè)數(shù)字中有一個(gè)奇數(shù)時(shí),則從5個(gè)奇數(shù)中選一個(gè)奇數(shù),再?gòu)?個(gè)偶數(shù)中選3個(gè)數(shù),然后對(duì)這4個(gè)數(shù)排列即可,所以有種,所以由分類(lèi)加法原理可得共有種,故答案為:50415、平行【解題分析】根據(jù)題意得到,得出,即可得到平面與的位置關(guān)系.【題目詳解】由題意,平面的一個(gè)法向量分別為,,可得,所以,所以,即平面與的位置關(guān)系為平行.故答案為:平行16、①.②.快【解題分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率即為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),即先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后將和代入進(jìn)行計(jì)算,再求,即可得到結(jié)果,進(jìn)而能夠判斷水的純凈度越高,凈化費(fèi)用增加的速度的快慢【題目詳解】由題意,可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為,所以,,所以,所以?xún)艋郊儍舳葹闀r(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的倍;因?yàn)椋芍募儍舳仍礁?,凈化費(fèi)用增加的速度越快.故答案為:,快.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】(1)分為甲擊中且乙沒(méi)有擊中,和乙擊中且甲沒(méi)有擊中兩種情況,進(jìn)而根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求得答案;(2)先考慮甲乙都沒(méi)有擊中,進(jìn)而根據(jù)對(duì)立事件概率公式和獨(dú)立事件概率公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲、乙分別擊中目標(biāo)為事件,,易知,相互獨(dú)立且,,甲、乙恰好有一人擊中的概率為.【小問(wèn)2詳解】目標(biāo)被擊中的概率為.18、(1)當(dāng)時(shí),在定義域上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解題分析】(1)求出的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解;(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,,,令,求出的最大值,從而求出的范圍即得解【題目詳解】解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,①?dāng)時(shí),,,,在定義域上單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí),若,則,在上單調(diào)遞增;若,則,在上單調(diào)遞減綜上所述,當(dāng)時(shí),在定義域上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)當(dāng)時(shí),,不等式在,上恒成立,,,,令,,,,在,上單調(diào)遞增,(1),,的范圍為,19、(1),;(2).【解題分析】(1)根據(jù),列方程組即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,根據(jù)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)化簡(jiǎn),利用裂項(xiàng)相消法求該數(shù)列前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,∵,∴,∵公差,∴.由得,即,∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,∴;【小問(wèn)2詳解】∵,∴,.20、或3【解題分析】設(shè)出切點(diǎn),先求和平行且和函數(shù)相切的切線(xiàn),再將切線(xiàn)和聯(lián)立,求出的值.【題目詳解】設(shè)公共切線(xiàn)曲線(xiàn)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)題意,得公共切線(xiàn)的斜率,所以,所以與函數(shù)的圖像相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為,故可求出公共切線(xiàn)方程為由直線(xiàn)和函數(shù)的圖像也相切,得方程,即關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以,解得或321、(1)F為BD的中點(diǎn),證明見(jiàn)解析;(2).【解題分析】(1)由為的中點(diǎn),取的中點(diǎn),連接易證四邊形為平行四邊形,得到,再利用線(xiàn)面平行的判定定理證明;(2)根據(jù)題意可得平面ABC與平面AFC的夾角為二面角,取的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量,設(shè)二面角為,由求解.【小問(wèn)1詳解】為的中點(diǎn).如圖:取的中點(diǎn),連接∵,分別為,的中點(diǎn),∴且∵且∴平行且等于∴四邊形為平行四邊形,則∵平面ABC,平面ABC∴平面ABC【小問(wèn)2詳解】由題意知,平面ABC與平面AFC的夾角為二面角,取的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槿切螢榈妊切危浊?,則,,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,解得設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,解得設(shè)二面角為,則,因?yàn)槎娼菫殇J角,所以余弦值為.22、證明見(jiàn)解析【解題分析】(1)連接
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