常州市重點中學2024年高二上數(shù)學期末達標檢測模擬試題含解析

常州市重點中學2024年高二上數(shù)學期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在遞增等比數(shù)列中，為其前n項和．已知，，且，則數(shù)列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.62．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.4．數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項和為（）A.25 B.26C.27 D.285．設函數(shù)，則（）A.4 B.5C.6 D.76．的展開式中的系數(shù)是（）A.1792 B.C.448 D.7．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數(shù)學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點與點，點與點均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且，則（）A. B.C. D.9．已知數(shù)列滿足，且，那么（）A. B.C. D.10．設拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，是上一點，若，則（）A. B.C. D.11．若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”，下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）A. B.C. D.12．當圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為___________.14．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中A點，將，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點重合于點P，則四面體的外接球表面積為____________.15．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，以為圓心的圓經(jīng)過原點，且與拋物線的準線相切，切點為，線段交拋物線于點，則___________.16．設函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關系為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點.（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.18．（12分）已知數(shù)列的前n項積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值20．（12分）設函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論單調性；(2)證明：當時，.21．（12分）已知，C是圓B：（B是圓心）上一動點，線段AC的垂直平分線交BC于點P（1）求動點P的軌跡的方程；（2）設E，F(xiàn)為與x軸的兩交點，Q是直線上動點，直線QE，QF分別交于M，N兩點，求證：直線MN過定點22．（10分）在公差為的等差數(shù)列中,已知，且成等比數(shù)列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由已知結合等比數(shù)列的性質可求出、，然后結合等比數(shù)列的求和公式求解即可.【題目詳解】解：由題意得：是遞增等比數(shù)列又，，故故選：B2、B【解題分析】利用直線的方向向量求出其斜率，進而求出傾斜角作答.【題目詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B3、B【解題分析】根據(jù)正弦定理直接計算可得答案.【題目詳解】由正弦定理，,得,故選：B.4、C【解題分析】根據(jù)通項公式及求出，從而求出前8項和.【題目詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，則數(shù)列的前8項和為.故選：C5、D【解題分析】求出函數(shù)的導數(shù)，將x=1代入即可求得答案.【題目詳解】,故，故選：D.6、D【解題分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式計算出正確答案.【題目詳解】的展開式中，含的項為.所以的系數(shù)是.故選：D7、C【解題分析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率【題目詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C8、D【解題分析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標原點建系，設雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點縱坐標代入計算即可求得橫坐標得出結果.【題目詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系，因為雙曲線的離心率為2，所以可設雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因為，所以的縱坐標為18.由，得，故.故選：D.9、D【解題分析】由遞推公式得到，，，再結合已知即可求解.【題目詳解】解：由，得，，又，那么故選：D10、D【解題分析】求出拋物線的準線方程，可得出點的坐標，利用拋物線的定義可求得點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結果.【題目詳解】易知拋物線焦點為，準線方程為，可得準線與軸的交點，設點，由拋物線的性質，，可得，所以，，解得，即點，所以.故選：D.11、A【解題分析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進而判斷所給命題的真假【題目詳解】解：因為橢圓短的軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：12、C【解題分析】求出圓心坐標和直線過定點，當圓心和定點的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【題目詳解】解：因為圓的圓心為,半徑，又因為直線過定點A(-1,1),故當與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】先求導數(shù)，得出切線斜率，寫出切線方程，然后可求三角形的面積.【題目詳解】，當時，，所以切線方程為，即；令可得，令可得；所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.14、【解題分析】由題意在四面體中兩兩垂直，將該四面體補成長方體,則長方體與四面體的外接球相同，從而可求解.【題目詳解】將直角，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點重合于點P，所以在四面體中兩兩垂直，將該四面體補成長方體,如圖.則長方體與四面體的外接球相同.長方體的外接球在其對角線的中點處.由題意可得，則長方體的外接球的半徑為所以四面體的外接球表面積為故答案為：15、【解題分析】分析可知為等腰三角形，可得出，將點的坐標代入拋物線的方程，可求得的值，可得出拋物線的方程以及點的坐標，求出點的坐標，設點，其中，分析可知，利用平面向量共線的坐標表示求出的值，進而可求得結果.【題目詳解】由拋物線的定義結合已知條件可知，則為等腰三角形，易知拋物線的焦點為，故，即點，因為點在拋物線上，則，解得，所以，拋物線的方程為，故點、，因為以點為圓心，為半徑的圓與直線相切于點，則，設點，其中，，，由題意可知，則，整理可得，解得，因此，.故答案為：.16、a＞b【解題分析】構造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調性求解即可.【題目詳解】設函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質即證；（2）利用坐標法，結合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問1詳解】，是的中點，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問2詳解】，，，取的中點，連接，則，平面，以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，由，取，得；設平面的一個法向量為，由，取，得，∵二面角的大小為，，解得，，則三棱錐的體積.18、（1），.（2）.【解題分析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式可求得；（2）運用錯位相減法可求得.【小問1詳解】解：因為數(shù)列的前n項積，所以，所以，兩式相除得，因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）由菱形及線面垂直的性質可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質即可證結論.（2）構建空間直角坐標系，設，結合已知確定相關點坐標，進而求面、面的法向量，結合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標表示求與平面所成角的正弦值【小問1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問2詳解】分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，設，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因為二面角的余弦值為，則，可得，則，設與平面所成的角為，又，，所以.20、（1）答案見解析（2）答案見解析【解題分析】（1）求導數(shù)，分和，兩種情況討論，即可求得的單調性；（2）令，利用導數(shù)求得單調遞增，結合，得到，進而證得.【題目詳解】（1）由函數(shù)，可得，當時，，在內單調遞減；當時，由有，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.(2)證明：令，則，當時，，單調遞增，因為，所以，即，當時，可得，即【題目點撥】利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉化為一元函數(shù).21、（1）（2）證明見解析【解題分析】（1）根據(jù)，利用橢圓的定義求解；（2）（解法1）設，得到，的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得M，N的坐標，寫出直線的方程求解；（解法2）上同解法1，由對稱性分析知動直線MN所過定點一定在x軸上，設所求定點為，由C，D，T三點共線，然后由求解；（解法3）設，由，，設：，：，其中，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，由F，M，N三點的橫坐標為該方程的三個根，得到：求解.【小問1詳解】解：由題知，則，由橢圓的定義知動點P的軌跡為以A，B為焦點，6為長軸長的橢圓，所以軌跡的方程為【小問2詳解】（解法1）易知E，F(xiàn)為橢圓的長軸兩端點，不妨設，，設，則，，于是：，：，聯(lián)立得，解得或，易得，同理當，即時，：；當時，有，于是：，即綜上直線MN過定點（解法2）上同解法1，得，，由對稱性分析知動直線MN所過定點一定在x軸上，設所求定點為，由C，D，T三點共線，得，即，于是，整理