2024學年北京市東城171中數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2024學年北京市東城171中數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.2．在三棱錐中，點E，F分別是的中點，點G在棱上，且滿足，若，則（）A. B.C. D.3．直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．給出下列四個說法，其中正確的是A.命題“若，則”的否命題是“若，則”B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件C.命題“，”的否定是“，”D.命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題5．已知的三個頂點是，，，則邊上的高所在的直線方程為（）A. B.C. D.6．已知橢圓C：的左右焦點為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C與A，B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為（）A. B.C. D.7．“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．給出如下四個命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④9．函數，則不等式的解集是（）A. B.C. D.10．已知空間四個點，，，，則直線AD與平面ABC所成的角為（）A. B.C. D.11．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，12．已知直線m經過，兩點，則直線m的斜率為（）A.-2 B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線：，斜率為的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點，點P的坐標為，直線AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D．若直線CD的斜率為，則E的離心率為___________14．如圖，已知橢圓＋y2＝1的左焦點為F，O為坐標原點，設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，則點G橫坐標的取值范圍為________15．直線與曲線有且僅有一個公共點．則b的取值范圍是__________16．若雙曲線的漸近線為，則其離心率的值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，命題q：直線與直線平行.（1）若，判斷命題“”的真假；（2）若命題“”為真命題，求實數k的取值范圍.18．（12分）某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數量的平均值和中位數；（2）該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該公司每天的利潤有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費為45元的概率.19．（12分）已知等差數列中，，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和的最大值.20．（12分）某校高二年級共有男生490人和女生510人，現采用分層隨機抽樣的方法從該校高二年級中抽取100名學生，測得他們的身高數據（1）男生和女生應各抽取多少人？（2）若樣本中男生和女生的平均身高分別為173.6、162.2厘米，請估計該校高二年級學生的平均身高21．（12分）已知數列的前項和是，且，等差數列中，（1）求數列的通項公式；（2）定義：記，求數列的前20項和22．（10分）已知函數，其中.（1）當時，求函數的單調性；（2）若對，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據空間向量的線性運算即可求解.【題目詳解】因為，又因為，，所以.故選：C2、B【解題分析】利用空間向量的加、減運算即可求解.【題目詳解】由題意可得故選：B.3、A【解題分析】根據直線與直線的垂直，列方程，求出，再判斷充分性和必要性即可.【題目詳解】解：若，則，解得或，即或，所以”是“充分不必要條件.故選：A.【題目點撥】本題考查直線一般式中直線與直線垂直的系數關系，考查充分性和必要性的判斷，是基礎題.4、D【解題分析】A選項：否命題應該對條件結論同時否定，說法不正確；B選項：雙曲線的離心率大于，解得，所以說法不正確；C選項：否定應該是：，，所以說法不正確；D選項：“在中，若，則是銳角三角形”是假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以說法正確.【題目詳解】命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以A選項不正確；雙曲線的離心率大于，即，解得，則“”是“雙曲線的離心率大于”的充分不必要條件，所以B選項不正確；命題“，”的否定是“，”，所以C選項不正確；命題“在中，若，則是銳角三角形”，在中，若，可能，此時三角形不是銳角三角形，所以這是一個假命題，所以其逆否命題也是假命題，所以該選項說法正確.故選：D【題目點撥】此題考查四個命題關系，充分條件與必要條件，含有一個量詞的命題的否定，關鍵在于弄清邏輯關系，正確求解.5、B【解題分析】求出邊上的高所在的直線的斜率，再利用點斜式方程可得答案.【題目詳解】因為，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.故選：B.6、A【解題分析】根據橢圓的定義可得△AF1B的周長為4a，由題意求出a，結合離心率計算即可求出c，再求出b即可.【題目詳解】由橢圓的定義知，△AF1B的周長為，又△AF1B的周長為4，則，，，，，所以方程為，故選：A.7、C【解題分析】根據兩直線平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【題目詳解】由于，所以，當時，兩直線重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C8、A【解題分析】對選項①，根據圓一般方程求解即可判斷①錯誤，對選項②，求出橢圓離心率即可判斷②錯誤，對③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯誤。【題目詳解】對于①選項，，，故①錯誤；對于②選項，由題知，所以，所以離心率，故②錯誤；對于③選項，拋物線化為標準形式得拋物線，故準線方程是，故③正確；對于④選項，雙曲線化為標準形式得，所以，焦點在軸上，故漸近線方程是，故④錯誤.故選：A9、A【解題分析】利用導數判斷函數單調遞增，然后進行求解.【題目詳解】對函數進行求導：，因為，，所以，因為，所以f(x)是奇函數,所以在R上單調遞增，又因為，所以的解集為.故選：A10、A【解題分析】根據向量法求出線面角即可.【題目詳解】設平面的法向量為，直線AD與平面ABC所成的角為令，則則故選：A【題目點撥】本題主要考查了利用向量法求線面角，屬于中檔題.11、A【解題分析】設平面的法向量是，，，由可求得法向量.【題目詳解】在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.12、A【解題分析】根據斜率公式求得正確答案.【題目詳解】直線的斜率為：.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分別設線段的中點，線段的中點，再利用點差法可表示出，由平行關系易知三點共線，從而利用斜率相等的關系構造方程，代入整理可得到關系，利用雙曲線得到關于的齊次方程，進而求得離心率.【題目詳解】設，，線段的中點，兩式相減得：…①設，，線段的中點同理可得：…②，易知三點共線，將①②代入得：，所以，即，由題意可得，故.∴，即故答案為：14、【解題分析】設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點的橫坐標，利用不等式的基本性質可求得點的橫坐標的取值范圍.【題目詳解】設直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，因為直線過橢圓的左焦點，所以方程有兩個不相等的實根設點、，設的中點為，則，，直線的垂直平分線的方程為，令，則.因為，所以故點的橫坐標的取值范圍.故答案為：15、或.【解題分析】根據曲線方程得曲線的軌跡是個半圓，數形結合分析得兩種情況：（1）直線與半圓相切有一個交點；（2）直線與半圓相交于一個點，綜合兩種情況可得答案.【題目詳解】由曲線，可得，表示以原點為圓心，半徑為的右半圓，是傾斜角為的直線與曲線有且只有一個公共點有兩種情況：（1）直線與半圓相切，根據，所以，結合圖像可得；（2）直線與半圓的上半部分相交于一個交點，由圖可知.故答案為：或.【題目點撥】方法點睛：處理直線與圓位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法；如果或有限制，需要數形結合進行分析.16、【解題分析】利用漸近線斜率為和雙曲線的關系可構造關于的齊次方程，進而求得結果.【題目詳解】由漸近線方程可知：，即，，，（負值舍掉）.故答案為：.【題目點撥】本題考查根據雙曲線漸近線方程求解離心率的問題，關鍵是利用漸進線的斜率構造關于的齊次方程.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）命題“”為真命題（2）【解題分析】（1）先判斷命題p，命題q的真假，再利用復合命題的真假判斷；（2）根據命題“”真命題，由p為真命題，q為假命題求解.【小問1詳解】解：對于命題p，易知直線與雙曲線的左、右支各有一個交點，∴命題p為假命題；對于命題q，時，有與，顯然兩條直線垂直，∴命題q為假命題.∴命題“”為真命題.【小問2詳解】∵命題“”為真命題，∴p為真命題，q為假命題.對于命題p，由得，直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，即此方程有兩個不同的正根，∴得.對于命題q，要使命題q為真，則，解得，∴命題q為假命題，即.∴實數k的取值范圍為.18、(1)公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.(2)該公司平均每天的利潤有1000元．(3).【解題分析】（1）對于平均數，運用平均數的公式即可；由于中位數將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數位于哪一組，然后建立關于中位數的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤.（3）該為古典概型，根據題意分別確定總的基本事件個數，以及事件“快遞費為45元”包括的基本事件個數，即可求出概率.【題目詳解】（1）每天包裹數量的平均數為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數量的平均數為設中位數為x，易知，則，解得x=260.所以公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.（2）由（1）可知平均每天的攬件數為260，利潤為(元)，所以該公司平均每天的利潤有1000元（3）設四件禮物分為二個包裹E、F，因為禮物A、C、D共重（千克），禮物B、C、D共重（千克），都超過5千克，故E和F的重量數分別有，，，，共5種，對應的快遞費分別為45、45、50，45，50（單位：元）故所求概率為.【題目點撥】主要考查了頻率分布直方圖的平均數，中位數求解，以及古典概型，屬于中檔題.19、（1）；（2）30.【解題分析】（1）設出等差數列的公差，由已知列式求得公差，進一步求出首項，代入等差數列的通項公式求數列的通項公式；（2）利用等差數列求和公式求和,再利用二次函數求得最值即可.【題目詳解】解：（1）由題意得，數列公差為，則解得：,∴（2）由（1）可得，∴∵，∴當或時，取得最大值【題目點撥】本題考查利用基本量求解等差數列的通項公式，以及前n項和及最值，屬基礎題20、（1）應抽取男生49人，女生51人；（2）.【解題分析】（1）利用分層抽樣計算男生和女生應抽取的人數；（2）利用平均數的計算公式計算求解.【小問1詳解】解：應抽取男生人，女生應抽取100-49=51人.【小問2詳解】解：估計該校高二年級學生的平均身高為.21、（1）；（2）【解題分析】（1）利用求得遞推關系得等比數列，從而得通項公式，再由等差數列的基本時法求得通項公式；（2）根據定義求得，然后分組求和法求得和【小問1詳解】由題意，當時，兩式相減，得