高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步7.2棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積講義北師大版

7.2棱柱、棱錐、棱臺(tái)和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積第一章

§7簡(jiǎn)單幾何體的面積和體積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式，會(huì)利用它們求有關(guān)幾何體的體積.2.掌握求幾何體體積的基本技巧.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一柱、錐、臺(tái)體的體積公式幾何體體積公式柱體圓柱、棱柱V柱體＝____S—柱體底面積，h—柱體的高錐體圓錐、棱錐V錐體＝_____S—錐體底面積，h—錐體的高臺(tái)體圓臺(tái)、棱臺(tái)V臺(tái)體＝_____________________S上、S下

—臺(tái)體的上、下底面面積，h—高Sh(S上＋S下＋)hSh知識(shí)點(diǎn)二柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系[思考辨析判斷正誤]1.錐體的體積等于底面面積與高之積.(

)2.臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.(

)×√題型探究例1

如圖①是一個(gè)水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中點(diǎn).正三棱柱的主視圖如圖②，求正三棱柱ABC－A1B1C1的體積.類(lèi)型一多面體的體積解答解

由主視圖可知，在正三棱柱中，反思與感悟求幾何體體積的四種常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體直接代入公式求解.(2)等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可.(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱、三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為解析答案√解析如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱錐A1－AB1D1.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，類(lèi)型二旋轉(zhuǎn)體的體積例2

(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)___m3.解析答案解析

由所給三視圖可知，該幾何體是由相同底面的兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組成，底面半徑為1m，圓錐的高為1m，圓柱的高為2m，(2)體積為52cm3的圓臺(tái)，一個(gè)底面面積是另一個(gè)底面面積的9倍，那么截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的體積為A.54cm3 B.54πcm3

C.58cm3 D.58πcm3√解析由底面面積之比為1∶9知，體積之比為1∶27.截得的小圓錐與圓臺(tái)體積比為1∶26，∴小圓錐的體積為2cm3，故原來(lái)圓錐的體積為54cm3，故選A.答案解析反思與感悟要充分利用旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解，分析題中給出的數(shù)據(jù)，列出關(guān)系式后求出有關(guān)的量，再根據(jù)幾何體的體積公式進(jìn)行運(yùn)算、解答.(1)求臺(tái)體的體積，其關(guān)鍵在于求高，在圓臺(tái)中，一般把高放在等腰梯形中求解.(2)“還臺(tái)為錐”是求解臺(tái)體的體積問(wèn)題的重要思想，作出截面圖，將空間問(wèn)題平面化，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)圓臺(tái)的高為3，如圖，在軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對(duì)角線垂直于腰，則圓臺(tái)的體積為_(kāi)___.21π答案解析解析設(shè)上，下底面半徑，母線長(zhǎng)分別為r，R，l.作A1D⊥AB于點(diǎn)D，則A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，＝21π.∴圓臺(tái)的體積為21π.類(lèi)型三幾何體體積的求法命題角度1等體積法例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn)，求三棱錐A1－D1EF的體積.解答解

又三棱錐F－A1D1E的高為CD＝a，反思與感悟

(1)三棱錐的每一個(gè)面都可當(dāng)作底面來(lái)處理.(2)利用等體積法可求點(diǎn)到面的距離.跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在三棱錐A1－ABD中，求A到平面A1BD的距離d.解答解

在三棱錐A1－ABD中，AA1是三棱錐A1－ABD的高，命題角度2割補(bǔ)法例4

如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF與平面AC的距離為3，求該多面體的體積.解答解如圖，連接EB，EC，AC.四棱錐E－ABCD的體積VE－ABCD＝

×42×3＝16.因?yàn)锳B＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.所以該多面體的體積V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.反思與感悟通過(guò)“割補(bǔ)法”解決空間幾何體的體積問(wèn)題，需要思路靈活，有充分的空間想象力，什么時(shí)候“割”，什么時(shí)候“補(bǔ)”，“割”時(shí)割成幾個(gè)圖形，割成什么圖形，“補(bǔ)”時(shí)補(bǔ)上什么圖形，都需要靈活的選擇.跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3，求該幾何體的體積.解答解

用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖所示，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1—ABC的體積為12345答案解析√12345答案解析√解析

設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，解得r＝4.12345233.棱臺(tái)的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則該棱臺(tái)的體積是A.18＋6 B.6＋2C.24 D.18451答案√解析4.某幾何體的三視圖如圖所示，其體積為_(kāi)__.解析由三視圖可知該幾何體是半個(gè)圓錐，答案解析234515.如圖是一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降____cm.234510.6答案解析23451解析將鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是圓錐的體積.設(shè)水面下降的高度為xcm，則得x＝0.6cm.1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系為2.在三棱錐A－BCD中，若求點(diǎn)A到平面BCD的距離h，可以先求VA－BCD，h＝.這種方法就