高中數(shù)學(xué)第四章用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例講義新人教A版選修

二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例與正整數(shù)n有關(guān)的幾個(gè)不等式(1)當(dāng)n∈N+,n≥5時(shí),n2<2n.(2)當(dāng)n∈N+時(shí),|sinnθ|≤n|sin

θ|.(3)貝努利不等式:如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n>1+nx.當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足α>1或者α<0時(shí),有(1+x)α≥1+αx(x>-1);當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足0<α<1時(shí),有(1+x)α≤1+αx(x>-1).(4)如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an的乘積a1a2…an=1,那么它們的和a1+a2+…+an≥n.思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)若n∈N+,且n2<2n,則n≥5.(

)(2)|sin3θ|≤3|sinθ|.(

)(3)若實(shí)數(shù)a1,a2,…,an的乘積a1a2…an=1,則a1+a2+…+an≥n.(

)(4)若x>-1,x≠0,則(1+x)4>1+4x.(

)×√×√探究一探究二規(guī)范解答利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

分析：找準(zhǔn)n0,看左邊是多少項(xiàng),從n=k到n=k+1時(shí)添了什么項(xiàng),少了什么項(xiàng),根據(jù)n=k時(shí)的假設(shè),從而證明當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.探究一探究二規(guī)范解答∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)(2)可知,對(duì)一切的n≥2,且n∈N+,不等式都成立.探究一探究二規(guī)范解答反思感悟數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧1.證明不等式時(shí),由n=k到n=k+1時(shí)的推證過(guò)程與證明等式有所不同,由于不等式中的不等關(guān)系,需要我們?cè)谧C明時(shí),對(duì)原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到n=k時(shí)的假設(shè),因此需要認(rèn)真分析,適當(dāng)放縮,才能使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一.2.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起,如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等,才能完成證明過(guò)程.探究一探究二規(guī)范解答探究一探究二規(guī)范解答利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的不等式問(wèn)題

分析：證明當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵是利用好n=k成立時(shí)的假設(shè),以及當(dāng)n=k+1時(shí)不等式的恰當(dāng)變形.探究一探究二規(guī)范解答探究一探究二規(guī)范解答反思感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的不等式問(wèn)題的基本策略1.首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的基本步驟以及數(shù)列的有關(guān)知識(shí),這是解決這類問(wèn)題的基礎(chǔ).2.這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式有關(guān),有時(shí)要證明的式子是直接給出,有時(shí)是根據(jù)條件從前幾項(xiàng)入手,通過(guò)觀察、猜想,歸納出一個(gè)式子,然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明過(guò)程中,注意遞推關(guān)系式的利用以及正整數(shù)n的性質(zhì).探究一探究二規(guī)范解答探究一探究二規(guī)范解答不等式中的歸納、猜想、證明問(wèn)題典例設(shè)f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N+.(1)當(dāng)n=1,2,3,4時(shí),比較f(n)與g(n)的大小.(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論,并加以證明.【審題策略】對(duì)于(1),可逐一計(jì)算進(jìn)行比較;對(duì)于(2),可在(1)的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納猜想,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.【規(guī)范展示】解(1)當(dāng)n=1時(shí),nn+1=1,(n+1)n=2,所以f(1)<g(1).當(dāng)n=2時(shí),nn+1=8,(n+1)n=9,所以f(2)<g(2).當(dāng)n=3時(shí),nn+1=81,(n+1)n=64,所以f(3)>g(3).當(dāng)n=4時(shí),nn+1=1

024,(n+1)n=625,所以f(4)>g(4).探究一探究二規(guī)范解答(2)由(1)可猜測(cè),當(dāng)n≥3時(shí)f(n)>g(n).以下用數(shù)學(xué)歸納法證明該猜測(cè).①當(dāng)n=3時(shí),nn+1=81,(n+1)n=64,所以f(3)>g(3).所以猜測(cè)成立;②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí)猜測(cè)成立,即f(n)>g(n),即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,亦即f(n+1)>g(n+1)成立.因此當(dāng)n=k+1時(shí)猜測(cè)成立.由①②知,當(dāng)n≥3時(shí)f(n)>g(n)成立.探究一探究二規(guī)范解答【答題模板】第1步:代入計(jì)算,逐一進(jìn)行比較,得出具體結(jié)論.

?第2步:進(jìn)行歸納猜想,得到一般性結(jié)論.

?第3步:證明初始值成立.

?第4步:假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí),結(jié)論成立得到歸納假設(shè),并變形.

?第5步:證明n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

?第6步:證得結(jié)論.探究一探究二規(guī)范解答失誤警示通過(guò)閱卷統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)造成失分的原因主要如下:(1)第一問(wèn)數(shù)據(jù)計(jì)算失誤,得不出正確結(jié)果;(2)第二問(wèn)中不能正確地利用歸納并猜想得出一般性結(jié)論;(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),步驟不完整;(4)證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立時(shí),不能正確地進(jìn)行放縮,從而無(wú)法利用歸納假設(shè)致誤.探究一探究二規(guī)范解答12345答案：C12345答案：C12345答案：812345因此當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.故原不等式對(duì)一切n≥2,n∈N+均成立.123455.對(duì)于一切正整數(shù)n,先猜出使tn>n2成立的最小自然數(shù)t,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明,并證明不等式n(n+1)>lg(1×2×3×…×n).解：猜想當(dāng)t=3時(shí),對(duì)一切正整數(shù)n,使3n>n2成立.證明:當(dāng)n=1時(shí),31=3>1=12,不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),3k>k2成立,即3k≥k2+1.當(dāng)n=k+1時(shí),3k+1=3×3k=3k+2×3k>k2+2(k2+1)>3k2+1(k≥1).∵