2024屆四川省眉山市彭山一中數(shù)學高二上期末考試試題含解析

2024屆四川省眉山市彭山一中數(shù)學高二上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了解青少年視力情況，統(tǒng)計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B.C. D.2．若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．設(shè)是定義在R上的可導函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.4．下列語句中是命題的是A.周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？ B.C. D.梯形是不是平面圖形呢？5．“”是“函數(shù)在上有極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．某中學高一年級有200名學生，高二年級有260名學生，高三年級有340名學生，為了了解該校高中學生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本，則高二年級抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13C.17 D.267．已知數(shù)列滿足：，數(shù)列的前n項和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知等差數(shù)列中的、是函數(shù)的兩個不同的極值點，則的值為（）A. B.1C.2 D.39．已知橢圓的兩個焦點分別為，且平行于軸的直線與橢圓交于兩點，那么的值為（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.1811．已知函數(shù)，則（）A.3 B.C. D.12．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線，，若，則實數(shù)______14．在2021件產(chǎn)品中有10件次品，任意抽取3件，則抽到次品個數(shù)的數(shù)學期望的值是______.15．已知等差數(shù)列的公差為1，且是和的等比中項，則前10項的和為___________.16．已知集合，集合，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求的導數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程.18．（12分）已知兩動圓：和：，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點為，取曲線上的相異兩點、滿足：且點與點均不重合.（1）求曲線的方程；（2）證明直線恒經(jīng)過一定點，并求此定點的坐標；19．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲獲勝的概率20．（12分）已知展開式中，第三項的系數(shù)與第四項的系數(shù)相等（1）求n的值；（2）求展開式中有理項的系數(shù)之和（用數(shù)字作答）21．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，是的等差中項.數(shù)列的前n項和為，滿足，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，求的前2n項和.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，，為側(cè)棱包含端點上的動點.（1）當時，求證平面；（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，利用中位數(shù)的定義可得結(jié)果.【題目詳解】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：B.2、D【解題分析】計算，然后等價于在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，然后計算即可.【題目詳解】的定義域是（0，+∞），，若函數(shù)有兩個不同的極值點，則在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，故，解得：，故選：D.【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)求參，考查計算能力以及思維轉(zhuǎn)變能力，屬基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.【題目詳解】.故選：C.4、B【解題分析】命題是能判斷真假的語句，疑問句不是命題，易知為命題，故選B5、B【解題分析】對求導，取得函數(shù)在上有極值的等價條件，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【題目詳解】解：，則，令，可得，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得極小值，若函數(shù)在上有極值，則，，因為，但是由推不出，因此是函數(shù)在上有極值的必要不充分條件故選：B6、B【解題分析】計算出抽樣比可得答案.【題目詳解】該校高中學生共有名，所以高二年級抽取的人數(shù)名.故選：B.7、D【解題分析】由于，所以利用裂項相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【題目詳解】，故，故恒成立等價于，即恒成立，化簡得到，因為，當且僅當，即時取等號，所以故選：D8、C【解題分析】對求導，由題設(shè)及根與系數(shù)關(guān)系可得，再根據(jù)等差中項的性質(zhì)求，最后應(yīng)用對數(shù)運算求值即可.【題目詳解】由題設(shè)，，由、是的兩個不同的極值點，所以，又是等差數(shù)列，所以，即，故.故選：C9、A【解題分析】根據(jù)橢圓的方程求出，再由橢圓的對稱性及定義求解即可.【題目詳解】由橢圓的對稱性可知，,所以，又橢圓方程為，所以，解得，所以，故選：A10、A【解題分析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結(jié)果.【題目詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列前n項和的有關(guān)判斷，解題的關(guān)鍵是得出.11、B【解題分析】由導數(shù)運算法則求出導發(fā)函數(shù)，然后可得導數(shù)值【題目詳解】由題意，所以故選：B12、C【解題分析】結(jié)合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【題目詳解】對于A選項，時，為負數(shù)，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當且僅當時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由直線垂直可得到關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程即可.【題目詳解】由直線垂直可得：，解得：.故答案為：14、【解題分析】設(shè)抽到的次品的個數(shù)為，則，求出對應(yīng)的概率即得解.【題目詳解】解：設(shè)抽到的次品的個數(shù)為，則，所以所以抽到次品個數(shù)的數(shù)學期望的值是故答案為：15、【解題分析】利用等比中項及等差數(shù)列通項公式求出首項，再利用等差數(shù)列的前項和公式求出前10項的和.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，由已知條件得，即，，解得，則.故答案為：.16、##（-1,2]【解題分析】根據(jù)兩集合的并集的含義，即可得答案.【題目詳解】因為集合，集合，所以,故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】(1)利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及求導法則直接計算作答.(2)求出，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，所以函數(shù).【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程是.18、（1）；（2）證明見解析，.【解題分析】（1）設(shè)兩動圓的公共點為，則有，運用橢圓的定義，即可得到，，，進而得到的軌跡方程；（2），設(shè)，，，，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，利用韋達定理法及向量的數(shù)量積的坐標表示，即可得到定點.【小問1詳解】設(shè)兩動圓的公共點為，則有由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，設(shè)方程為，則，，所以曲線的方程是：【小問2詳解】由題意可知：，且直線斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，可得，，，因為，所以有，把代入整理化簡得，或舍，因為點與點均不重合，所以直線恒過定點19、（1）（2）【解題分析】（1）設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，則，利用獨立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）記“甲獲勝”為事件，由題意，根據(jù)概率的加法公式和獨立事件的概率公式，即得解【小問1詳解】設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，其中設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，其中則，，其中記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，，事件與事件相互獨立根據(jù)事件獨立性定義得：甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率為【小問2詳解】記“甲獲勝”為事件，事件、事件、事件彼此互斥根據(jù)概率加法公式和事件獨立性定義得：甲獲勝的概率為20、（1）8；（2）.【解題分析】（1）由題設(shè)可得，進而寫出第三、四項的系數(shù)，結(jié)合已知列方程求n值即可.（2）由（1）有，確定有理項的對應(yīng)k值，進而求得對應(yīng)項的系數(shù)，即可得結(jié)果.小問1詳解】由題意，二項式展開式的通項公式所以第三項系數(shù)為，第四項系數(shù)為，由，解得，即n的值為8【小問2詳解】由（1）知：當，3，6時，對應(yīng)的是有理項當時，展開式中對應(yīng)的有理項為；當時，展開式中對應(yīng)的有理項為；當時，展開式中對應(yīng)的有理項為；故展開式中有理項的系數(shù)之和為21、（1），（）（2）【解題分析】（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的計算，根據(jù)條件列出方程，并解方程即可；（2）數(shù)列根據(jù)的奇偶分段表示，奇數(shù)項通過乘公比錯位相減法克求得前項和，偶數(shù)項則是通過裂項求和.【小問1詳解】由得，.又，，所以，即，解得或（舍去）.所以（），當時，，當時，，經(jīng)檢驗，時，適合上式，故（）.綜上可得：，【小問2詳解】由（1）可知，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，由題意，有①②①-②得：，則有：..故.22、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）連接交于，連接，證得，從而證得平面；（2）過作于，以為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，求面的法向量，由直線與平面所成角的正弦值為，求得的值，再用向量法求出二面角的余弦值.【題目