福建省南安市國光中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

福建省南安市國光中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長為2.5尺，則冬至當(dāng)日日影長為（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺2．拋物線上有兩個點(diǎn)，焦點(diǎn)，已知，則線段的中點(diǎn)到軸的距離是（）A.1 B.C.2 D.3．在正方體中，下列幾種說法不正確的是A. B.B1C與BD所成的角為60°C.二面角的平面角為 D.與平面ABCD所成的角為4．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)5．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，則（）A.55 B.65C.15 D.607．已知a，b為不相等實(shí)數(shù)，記，則M與N的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定8．函數(shù)在區(qū)間上平均變化率等于（）A. B.C. D.9．已知曲線，則“”是“C為雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．①命題設(shè)“，若，則或”；②若“”為真命題，則p，q均為真命題；③“”是函數(shù)為偶函數(shù)的必要不充分條件；④若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一基底；其中正確判斷的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.411．已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)，則圓C方程為（）A. B.C. D.12．過雙曲線右焦點(diǎn)F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若，則雙曲線C的離心率為（）A.或 B.2或C.或 D.2或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，直線是曲線在點(diǎn)處的切線，則__________.14．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線，在第一象限與雙曲線及其漸近線分別交于，兩點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為___________.15．已知雙曲線，則圓的圓心C到雙曲線漸近線的距離為______16．已知球的表面積是，則該球的體積為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③，三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.已知，，，_____________.（1）請寫出你選擇條件的序號____________；并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求和.18．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值19．（12分）某廠有4臺大型機(jī)器，在一個月中，一臺機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行維修，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，每臺機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為（1）若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時維修，都產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障能及時進(jìn)行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？20．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值21．（12分）p：函數(shù)在區(qū)間是遞增的；q：方程有實(shí)數(shù)解.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若“”為真，“”為假，求m的取值范圍.22．（10分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且滿足下列條件，求相應(yīng)的方程.（1）過點(diǎn)；（2）與直線垂直.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長為，立夏當(dāng)日日影長為，故所以冬至當(dāng)日日影長為.故選：B2、B【解題分析】利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即可求出線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即得到答案.【題目詳解】由已知可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，由拋物線的定義得，即，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故線段的中點(diǎn)到軸的距離是.故選：.3、D【解題分析】在正方體中，利用線面關(guān)系逐一判斷即可.【題目詳解】解：對于A，連接AC，則AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正確；對于B，∵B1C∥D，即B1C與BD所成的角為∠DB，連接△DB為等邊三角形，∴B1C與BD所成的角為60°，故B正確；對于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B?平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B?平面A1BC，AB?平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正確；對于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D錯誤故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面的空間位置關(guān)系及空間角，做出圖形分析是關(guān)鍵,考查推理能力與空間想象能力4、C【解題分析】根據(jù)莖葉圖依次計算甲和乙的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差即可得到結(jié)果.【題目詳解】甲的平均數(shù)為：；乙的平均數(shù)為：；甲和乙的平均數(shù)相同；甲的方差為：；乙的方差為：；甲和乙的方差不相同；甲的極差為：；乙的極差為：；甲和乙的極差不相同；甲的中位數(shù)為：；乙的中位數(shù)為：；甲和乙的中位數(shù)不相同.故選：C.5、D【解題分析】設(shè)出雙曲線方程，通過做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點(diǎn)在雙曲線上，然后求出離心率即可.【題目詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以，所以，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D6、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【題目詳解】解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，.故選:B7、A【解題分析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，即故選：A8、C【解題分析】根據(jù)平均變化率的定義算出答案即可.【題目詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于故選：C9、A【解題分析】根據(jù)充分必要條件的定義，以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷可得選項(xiàng)【題目詳解】解：當(dāng)時，表示雙曲線，當(dāng)表示雙曲線時，則，所以“”是“C為雙曲線”的充分不必要條件.故選A10、B【解題分析】利用逆否命題、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性、充分和必要條件、空間基底等知識對四個判斷進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【題目詳解】①，原命題的逆否命題為“，若且，則”，逆否命題是真命題，所以原命題是真命題，①正確.②，若“”為真命題，則p，q至少有一個真命題，②錯誤.③，函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是“”.所以“”是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件，③錯誤.④，若為空間的一個基底，即不共面，若共面，則存在不全為零的，使得，故，因?yàn)闉榭臻g的一個基底，，故，矛盾，故不共面，所以構(gòu)成空間的另一基底，④正確.所以正確的判斷是個.故選：B11、C【解題分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系求得圓心坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得半徑，即可得圓方程【題目詳解】設(shè)圓心為，則圓心與點(diǎn)的連線與直線l垂直，即，則點(diǎn)，所以圓心為，半徑，所以方程為，故選：C12、D【解題分析】求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比求解.【題目詳解】不妨設(shè)直線，由題意得，解得，即；由得，即，因?yàn)椋?，所以?dāng)時，，；當(dāng)時，，則，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解題分析】利用直線所過點(diǎn)求得直線的斜率，從而求得.【題目詳解】由圖象可知直線過，所以直線的斜率為，所以.故答案為：14、【解題分析】按題意求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，以代數(shù)式表達(dá)出條件，即可得到關(guān)于的關(guān)系式，進(jìn)而解得雙曲線的離心率.【題目詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為,其漸近線為，垂線方程為，則，，，由，得，即即，則，離心率故答案為：15、2【解題分析】求出圓心和雙曲線的漸近線方程，即得解.【題目詳解】解：由題得圓的圓心為，雙曲線的漸近線方程為，即.所以圓心到雙曲線漸近線的距離為.故答案為：216、【解題分析】設(shè)球的半徑為r，代入表面積公式，可解得，代入體積公式，即可得答案.【題目詳解】設(shè)球的半徑為r，則表面積，解得，所以體積，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查已知球的表面積求體積，關(guān)鍵是求出半徑，再進(jìn)行求解，考查基礎(chǔ)知識掌握程度，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）選①，，；選②，，；選③，，；（2），【解題分析】（1）選條件①根據(jù)等比數(shù)列列出方程求出公比得通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列列出方程求出首項(xiàng)與公差可得通項(xiàng)公式，選②③與①相同的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式解計算即可.【小問1詳解】選條件①：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，，選條件③：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，【小問2詳解】由（1）知，，18、（1）（2）（3）【解題分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解；（2）求出，再根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)表示即可得解；（3）由，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?19、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解題分析】（1）設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，由題意知，即可由二項(xiàng)分布求解；（2）設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障能及時進(jìn)行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為，4臺機(jī)器相當(dāng)于4次獨(dú)立試驗(yàn)設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設(shè)“在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障能及時進(jìn)行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率不小于90%當(dāng)該廠雇傭3名工人時，設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬元當(dāng)該廠雇傭4名工人時，4臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時刻多臺機(jī)器同時出現(xiàn)故障能及時進(jìn)行維修的概率不小于90%時，雇傭3名工人使該廠每月獲利最大20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)由于軸，可設(shè)，可得出與的坐標(biāo)設(shè)為平面的法向量，求出法向量.是關(guān)于的一個式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因?yàn)?，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面又平面，所以又因?yàn)?，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因?yàn)?，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小?詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，因?yàn)檩S，可設(shè)，可求得，設(shè)為平面的法向量則令，解得，所以又因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄克?，因?yàn)椋运援?dāng)時，取到最小值21、（1）（2）或【解題分析】（1）依題意在區(qū)間上恒成立，參變分離可得在區(qū)間上恒成立，再利用基本不等式計算可得；（2）首先求出命題為真時參數(shù)的取值范