高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)思考重慶理工高校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室陳忠金世剛田堅(jiān)

【摘要】在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問(wèn)題情境要依據(jù)詳細(xì)的教學(xué)內(nèi)容和同學(xué)的身心進(jìn)展需要來(lái)設(shè)置，老師在以原有的學(xué)問(wèn)為基礎(chǔ)之上，以新學(xué)問(wèn)為目標(biāo)，充分利用數(shù)學(xué)問(wèn)題情境活躍課堂氣氛，激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好，調(diào)動(dòng)同學(xué)的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和制造性，進(jìn)而促進(jìn)同學(xué)智力和非智力因素的進(jìn)展。本文探討了數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，在教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，培育同學(xué)提出問(wèn)的力量。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；問(wèn)題情境；教學(xué)思索

筆者從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作已20余載，在教學(xué)過(guò)程中，深刻體會(huì)到同學(xué)和教學(xué)目標(biāo)的差距。細(xì)思之下，總覺(jué)得應(yīng)當(dāng)把它們說(shuō)出來(lái)，以達(dá)到能讓同學(xué)更好把握，讓同行能間相互借鑒，對(duì)教學(xué)能有效促進(jìn)的目的。

一、數(shù)學(xué)的美學(xué)意義是教學(xué)中必不行少的優(yōu)質(zhì)內(nèi)容

數(shù)學(xué)之美古已有之。早在古希臘時(shí)代，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)論及數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系，畢達(dá)哥拉斯本人既是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，又是音樂(lè)理論的始祖，他第一次提出“美是和諧與比例”的觀點(diǎn)。我國(guó)當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家徐利治指出：“數(shù)學(xué)美的含義非常豐富，如數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔性、統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性與普適性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等等都是數(shù)學(xué)美的詳細(xì)內(nèi)容”。在教學(xué)中，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，將抽象的概念詳細(xì)化、形象化，這樣易于同學(xué)理解。

讓同學(xué)感受數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)思想是我們熟悉世界的基礎(chǔ)和有效工具。例如，在講數(shù)列極限與函數(shù)極限的分析定義是用“ε-N”、“ε-δ”語(yǔ)言給出的，定義中具有任意性與確定性，ε的任意性通過(guò)無(wú)限多個(gè)相對(duì)確定性來(lái)實(shí)現(xiàn)，ε的確定性打算了N和ε的存在性。這種定義精細(xì)地刻劃了極限過(guò)程中變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，表達(dá)了極限概念的本質(zhì)，并且為極限運(yùn)算奠定了基礎(chǔ)，學(xué)過(guò)微積分的人無(wú)不欣賞它的完善，評(píng)價(jià)它是最嚴(yán)密、最精煉、最美麗的語(yǔ)言。這些，可以在課堂上很激情地講出來(lái)，直接撞擊同學(xué)的內(nèi)心，堅(jiān)決同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的熟悉，摒棄對(duì)數(shù)學(xué)的誤會(huì)。又比如，數(shù)學(xué)中很多理論與人們的直覺(jué)相背離，有時(shí)讓人覺(jué)得不行思議，給人以無(wú)盡的遐想，有時(shí)又帶給人一種“山窮水復(fù)疑無(wú)路，柳岸花明又一春”的絕妙境界，它印證了我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治所說(shuō)的：“奇異是一種美，奇異到了極限更是一種絕佳的美”。例如，有無(wú)限個(gè)連續(xù)點(diǎn)（無(wú)理點(diǎn)）和無(wú)限個(gè)間斷點(diǎn)（有理點(diǎn)）的黎曼函數(shù)f（x）=x（為既約真分?jǐn)?shù)）0x=0，1及（0，1）內(nèi)的無(wú)理數(shù)；在任一點(diǎn)都不連續(xù)狄利克雷函數(shù)f（x）=0，x∈Q，x=1，x∈Q；到處連續(xù)但到處不行微的魏爾斯特拉斯函數(shù)f（x）=bcos（απx）（其中α為奇數(shù)，0＜b＜1，ab＞1+π），這些函數(shù)我們都無(wú)法精確?????地描繪出它的圖像。但是黎曼函數(shù)、狄利克雷函數(shù)和魏爾斯特拉斯函數(shù)的美就恰似一幅幅奇妙的抽象畫，雖奇異奇怪，卻是數(shù)學(xué)家們依靠想象而產(chǎn)生的藝術(shù)精品。這些內(nèi)容對(duì)于大一新生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是很新奇很有吸引力的，能起到激發(fā)劇烈的求知欲的效果的。

二、創(chuàng)設(shè)合適的.數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，培育同學(xué)提出問(wèn)題的力量

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，只有使同學(xué)意識(shí)到問(wèn)題的存在，才能激發(fā)他們學(xué)習(xí)中思維的火花。同學(xué)的問(wèn)題意識(shí)越劇烈，他們的思維就越活躍、越深刻、越富有制造性。而能讓同學(xué)提出問(wèn)題，則需要肯定的情景創(chuàng)設(shè)。比如，在講授過(guò)程中，舉例時(shí)可以賣點(diǎn)關(guān)子，甚至有意做錯(cuò)，將問(wèn)題擺在同學(xué)面前，促使同學(xué)思索。這樣，往往有事半功倍的效果。比如，講中值定理中證明柯西中值定理時(shí)，有意用拉格朗日中值定理的結(jié)論作比來(lái)證明。然后，指出其錯(cuò)誤，再進(jìn)行證明，使同學(xué)既加深了對(duì)幫助函數(shù)引入的重要，又對(duì)定理本身有著深刻的理解和記憶。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們知道許多同學(xué)反映數(shù)學(xué)單調(diào)、枯燥、不好學(xué)。實(shí)際上，情境創(chuàng)設(shè)能吸引同學(xué)樂(lè)觀參加和主動(dòng)學(xué)習(xí)，讓他們從數(shù)學(xué)中找到無(wú)窮的樂(lè)趣。所以，老師只要能為同學(xué)創(chuàng)設(shè)一個(gè)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)起同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題探究的熱忱，調(diào)動(dòng)起參加學(xué)習(xí)的愛好，我們的教學(xué)也能更顯輕松，同學(xué)也會(huì)變被動(dòng)為主動(dòng)。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，老師要擅長(zhǎng)創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)誘導(dǎo)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好和奇怪???心，使同學(xué)在老師所創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中自主的學(xué)習(xí)，樂(lè)觀主動(dòng)的探究數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的形成過(guò)程，進(jìn)而把書本學(xué)問(wèn)轉(zhuǎn)化為自己的學(xué)問(wèn)，真正做到寓學(xué)于樂(lè)。設(shè)懸念不失為一種有效方法。懸念作為一種學(xué)習(xí)心理機(jī)制，是由同學(xué)對(duì)所接觸的對(duì)象感到懷疑不解，而又想急于解決它從而產(chǎn)生的一種樂(lè)觀心理狀態(tài)。它對(duì)大腦皮質(zhì)有劇烈而持續(xù)的刺激作用，使你一時(shí)對(duì)問(wèn)題既猜不透、想不通，又甩不開、放不下。因此，懸念的設(shè)置，能激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和愛好，使思維活躍，豐富想象，追溯記憶，有利于培育同學(xué)克服困難的毅力。老師在課堂教學(xué)中，擅長(zhǎng)捕獲時(shí)機(jī)，恰當(dāng)利用問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)懸念，可以觸動(dòng)同學(xué)探究新學(xué)問(wèn)的心理，提高課堂教學(xué)效率。例如，在學(xué)習(xí)變上限函數(shù)的定積分時(shí)，可以提出這樣的問(wèn)題讓同學(xué)思索：①中自變量是什么？②對(duì)其導(dǎo)數(shù)如何求？對(duì)于前一個(gè)問(wèn)題比較好回答，后一個(gè)題在講授中，我們可以先回憶一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。同學(xué)們自然得出了結(jié)論。從而，我們可以看出在課堂教學(xué)中設(shè)置同學(xué)已經(jīng)了解的原理作為提問(wèn)的情境，可以啟發(fā)大多數(shù)同學(xué)進(jìn)行樂(lè)觀思維，調(diào)動(dòng)同學(xué)們學(xué)習(xí)的樂(lè)觀性。創(chuàng)設(shè)類比情境，數(shù)學(xué)概念在很大程度上可以說(shuō)都是通過(guò)類比來(lái)引出的。所以，類比推理是特別重要的。即依據(jù)兩個(gè)討論對(duì)象具有某些相同或相像的屬性，推出當(dāng)一個(gè)對(duì)象尚有另外一種屬性時(shí)，另一個(gè)對(duì)象也可能具有這一屬性或類似的思想方法，也就是從對(duì)某事物的熟悉推到對(duì)相類似事物的熟悉。高等數(shù)學(xué)中有很多概念具有相像的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，老師可以先讓同學(xué)討論已學(xué)過(guò)的概念的屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)覺(jué)的情境，引導(dǎo)同學(xué)去發(fā)覺(jué)，嘗試給新概念下定義。這時(shí)，老師可以舉身邊常見的例子加以講解。比如，我們知道冬天氣溫經(jīng)常零攝氏度以下，到了春天氣溫慢慢升到零攝氏度以上，那么氣溫由零攝氏度下升到零攝氏度上，中間確定要經(jīng)過(guò)一點(diǎn)零攝氏度，這個(gè)零攝氏度就是我們所說(shuō)的零點(diǎn)。再輔以教材習(xí)題中第4題，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，更顯零點(diǎn)定理的功能強(qiáng)大。這樣，同學(xué)的感受確定是很深的。實(shí)際上，還可以在授課過(guò)程中通過(guò)變式達(dá)到目的。所謂變式情境就是利用變換命題，變換圖形等方式激起同學(xué)學(xué)習(xí)的愛好和欲望，以觸動(dòng)同學(xué)探究新學(xué)問(wèn)的心理，提高課堂教學(xué)效率。如在講授中值定理時(shí)，在學(xué)習(xí)完羅爾定理后，老師可以進(jìn)一步指出羅爾定理的三個(gè)條件是比較苛刻的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到了限制，假如取消“區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值相等”這個(gè)條件，那么在曲線上是否依舊存在一點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)這點(diǎn)曲線的切線仍舊平行與兩個(gè)端點(diǎn)的連線。變化一下圖形，可以很簡(jiǎn)單得到結(jié)論，那么這個(gè)結(jié)論就是拉格朗日中值定理。這樣經(jīng)過(guò)問(wèn)題的變換一步步地引出要講授的內(nèi)容，同學(xué)就可以很簡(jiǎn)單地接受新學(xué)問(wèn)。當(dāng)然，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的方法不是孤立的，而是相互交融的。老師應(yīng)依據(jù)詳細(xì)狀況和條件，緊緊圍繞住教學(xué)中心創(chuàng)設(shè)適合于同學(xué)思想實(shí)際內(nèi)容健康有益的問(wèn)題，而又富有感染力的教學(xué)情境。同時(shí)，要使同學(xué)在心靈與情境交融之中開心地探究，深刻地理解，堅(jiān)固地把握所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)。當(dāng)然，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境的方法還有許多，但無(wú)論設(shè)計(jì)什么樣的情境，都應(yīng)從同學(xué)的生活閱歷和