2024學(xué)年云南省永平縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2024學(xué)年云南省永平縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.2．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為A. B.C. D.3．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.4．命題“，”的否定是A， B.，C.， D.，5．已知，為雙曲線(xiàn)的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A. B.C.2 D.6．命題“存在，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.對(duì)任意， D.對(duì)任意，7．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A.26 B.39C.104 D.528．曲線(xiàn)：在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為A. B.C. D.9．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.10010．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)l上有兩點(diǎn)A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C.或 D.12．命題的否定是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》中“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線(xiàn)的三點(diǎn)，，處測(cè)得閣頂端點(diǎn)的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度___________米.14．圓心在x軸上且過(guò)點(diǎn)的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是______15．九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游對(duì)，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開(kāi)為勝，趣味無(wú)窮.中國(guó)的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個(gè)精美的由九個(gè)翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個(gè)圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動(dòng)次數(shù)，且數(shù)列滿(mǎn)足，，則___________.16．關(guān)于曲線(xiàn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但不關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，①求；②若不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）在水平桌面上放一只內(nèi)壁光滑的玻璃水杯，已知水杯內(nèi)壁為拋物面型（拋物面指拋物線(xiàn)繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)所得到的面），拋物面的軸截面是如圖所示的拋物線(xiàn).現(xiàn)有一些長(zhǎng)短不一、質(zhì)地均勻的細(xì)直金屬棒，其長(zhǎng)度均不小于拋物線(xiàn)通徑的長(zhǎng)度（通徑是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線(xiàn)被拋物線(xiàn)截得的弦），若將這些細(xì)直金屬棒，隨意丟入該水杯中，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)細(xì)棒重心最低時(shí)，達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)細(xì)棒交匯于一點(diǎn).（1）請(qǐng)結(jié)合你學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，猜想細(xì)棒交匯點(diǎn)的位置；（2）以玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系.設(shè)玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線(xiàn)方程為，將細(xì)直金屬棒視為拋物線(xiàn)的弦，且弦長(zhǎng)度為，以細(xì)直金屬棒的中點(diǎn)為其重心，請(qǐng)從數(shù)學(xué)角度解釋上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.19．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求的值；（2）求的極大值20．（12分）新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是歲以上人群.該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間.潛伏期越長(zhǎng)，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對(duì)個(gè)病例的潛伏期(單位：天)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為，方差為.如果認(rèn)為超過(guò)天的潛伏期屬于“長(zhǎng)潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數(shù)長(zhǎng)期潛伏非長(zhǎng)期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）假設(shè)潛伏期服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）現(xiàn)在很多省市對(duì)入境旅客一律要求隔離天，請(qǐng)用概率知識(shí)解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計(jì)概率，設(shè)個(gè)病例中恰有個(gè)屬于“長(zhǎng)期潛伏”的概率是，當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，，.21．（12分）已知函數(shù)（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求在上的最大值與最小值22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】利用空間向量加法法則直接求解【題目詳解】連接BD，如圖，則故選：A2、A【解題分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程知，，故選A.3、D【解題分析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【題目詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D4、C【解題分析】特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點(diǎn)：全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題5、A【解題分析】根據(jù)給定條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入雙曲線(xiàn)方程計(jì)算作答.【題目詳解】由雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性不妨令點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作軸于B，如圖，因?yàn)榈妊切危翼斀菫?，則有，，有，于是得，即點(diǎn)，因此，，解得，所以雙曲線(xiàn)C的離心率為.故選：A6、D【解題分析】特稱(chēng)命題的否定：將存在改任意并否定原結(jié)論，即可知正確答案.【題目詳解】由特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，知：原命題的否定為：對(duì)任意，.故選：D7、A【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項(xiàng)之和為，故選：A8、A【解題分析】因?yàn)椋郧€(xiàn)在點(diǎn)（1,0）處的切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)方程為，即，選A9、D【解題分析】由題設(shè)條件求出，從而可求.【題目詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，故，解得，故，故選：D.10、B【解題分析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對(duì)和進(jìn)行分類(lèi)討論即可判斷.【題目詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時(shí)成立，所以必要性成立.故選：B.11、C【解題分析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【題目詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)或時(shí)，，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程是或.故選：C.12、C【解題分析】根據(jù)含全稱(chēng)量詞命題的否定可寫(xiě)出結(jié)果.【題目詳解】全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，所以命題的否定是.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設(shè)，由邊角關(guān)系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結(jié)合可解得的值，進(jìn)而可得長(zhǎng).【題目詳解】設(shè)，因?yàn)?，，，所以，，?在中，，即①.，在中，，即②，因?yàn)?，所以①②兩式相加可得：，解得：，則，故答案為：.14、【解題分析】確定x軸上一個(gè)點(diǎn)做圓心，求出半徑，再寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【題目詳解】以x軸上的點(diǎn)為圓心，則半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：15、684【解題分析】利用累加法可求得的值.【題目詳解】當(dāng)且時(shí)，，所以，.故答案為：.16、①③【解題分析】設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，判斷、、是否滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程即可判斷①；求出曲線(xiàn)過(guò)的整點(diǎn)即可判斷②；由條件利用即可得，即可判斷③；即可得解.【題目詳解】設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)、軸、軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為、、，因?yàn)?；；；所以點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)、點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，所以曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但不關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，故①正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.此外，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故曲線(xiàn)過(guò)整點(diǎn)，，，，，，故②錯(cuò)誤；又，所以恒成立，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故③正確.故答案為：①③.【題目點(diǎn)撥】本題考查了與曲線(xiàn)方程有關(guān)的命題真假判斷，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析，（2）①；②【解題分析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）①由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；②利用作差法證明的單調(diào)性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小問(wèn)1詳解】證明：由，，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，所以【小問(wèn)2詳解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即18、（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)或拋物面的焦點(diǎn)（2）答案見(jiàn)解析【解題分析】（1）結(jié)合通徑的特點(diǎn)可猜想得到結(jié)果；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，只要過(guò)點(diǎn)，則中點(diǎn)到的距離最小，根據(jù)，結(jié)合拋物線(xiàn)定義可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)通徑的特征，知通徑會(huì)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)，則可猜想細(xì)棒交匯點(diǎn)位置為：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)或拋物面的焦點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】解釋上述現(xiàn)象，即證：當(dāng)（為拋物線(xiàn)通徑）時(shí)，只要過(guò)點(diǎn)，則中點(diǎn)到的距離最?。蝗鐖D所示，記點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別是，，由拋物線(xiàn)定義知：，當(dāng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離取得最小值，最小值為的一半，此時(shí)點(diǎn)到軸距離最小.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)到軸距離最小問(wèn)題的證明，通過(guò)拋物線(xiàn)的定義可證得結(jié)論.19、（1）-3（2）2【解題分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)公式和法則求解；（2）令，利用極大值的定義求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】令，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值.20、（1）有；（2）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）250.【解題分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用求得，與臨界表值對(duì)比下結(jié)論；（2）(ⅰ)根據(jù)，利用小概率事件判斷；(ⅱ)易得一個(gè)患者屬于“長(zhǎng)潛伏期”的概率是，進(jìn)而得到，然后判斷其單調(diào)性求解.【題目詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）(ⅰ)若潛伏期，由，得知潛伏期超過(guò)天的概率很低，因此隔離天是合理的；(ⅱ)由于個(gè)病例中有個(gè)屬于長(zhǎng)潛伏期，若以樣本頻率估計(jì)概率，一個(gè)患者屬于“長(zhǎng)潛伏期”的概率是，于是，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴，.故當(dāng)時(shí)，取得最大值.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是否滿(mǎn)足公式的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率21、（1）；（2）最大值與最小值分別為與【解題分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.【題目詳解】（1）因?yàn)椋运运缘膱D象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即（2）由（1）知令，則；令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以又，所以所以在上的最大值與最小值分別為與22、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值（2）【解題分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，