2024學(xué)年江蘇省鹽城市時楊中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2024學(xué)年江蘇省鹽城市時楊中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列中，是和的等差中項(xiàng)，則公比的值為（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或12．如圖，將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側(cè)面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°3．從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)；從雙曲線的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點(diǎn).如圖①，一個光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時秒；若，則的長軸長與的實(shí)軸長之比為（）A. B.C. D.4．已知直線m經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（）A.-2 B.C. D.25．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線圍成的圖形的面積是；②曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過；③若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值是其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A. B.C. D.6．已知空間向量，，且，則的值為（）A. B.C. D.7．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.98．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.19．函數(shù)的最小值為（）A. B.1C.2 D.e10．過雙曲線的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P，為右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用一個平面去截半徑為5cm的球，截面面積是則球心到截面的距離為_______14．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為公差為d，且滿足則的取值范圍是_____________，的取值范圍是_____________15．過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為___________.16．已知函數(shù)，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：，:.(1)當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學(xué)問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即為回到軍營.軍營所在區(qū)域可表示為.（1）求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）因軍情緊急，將軍來不及飲馬，直接從A點(diǎn)沿傾斜角為45°的直線路徑火速回營，已知回營路徑與軍營邊界的交點(diǎn)為M，N，軍營中心與M，N連線的斜率分別為，，試求的值.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值20．（12分）如圖，正四棱錐底面的四個頂點(diǎn)在球的同一個大圓上，點(diǎn)在球面上，且正四棱錐的體積為.（1）該正四棱錐的表面積的大??；（2）二面角的大小.(結(jié)果用反三角表示)21．（12分）已知函數(shù)（m≥0）.（1）當(dāng)m=0時，求曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值.22．（10分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時的燃料費(fèi)與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)v＝12km/h，每小時的燃料費(fèi)為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當(dāng)時，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？（3）當(dāng)（x為大于8的常數(shù)）時，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】由題可得，即求.【題目詳解】由題意，得，所以，因?yàn)?，所以，解得?故選：D.2、D【解題分析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關(guān)系，從而把異面直線的夾角通過平移放到一個平面內(nèi)求得.【題目詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為的四等分點(diǎn)，L為的中點(diǎn)，M為的四等分點(diǎn)，，取的中點(diǎn)N，易證，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角，在中，，，故故選：D3、D【解題分析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長，再根據(jù)光速相同，且求解.【題目詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因?yàn)楣馑傧嗤?，且，所以，即，所以，即的長軸長與的實(shí)軸長之比為，故選：D4、A【解題分析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【題目詳解】直線的斜率為：.故選：A5、C【解題分析】結(jié)合已知條件寫出曲線的解析式，進(jìn)而作出圖像，對于①，通過圖像可知，所求面積為四個半圓和一個正方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對于②，根據(jù)圖像求出曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即可判斷；對于③，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【題目詳解】當(dāng)且時，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時，曲線的方程可化為：，曲線的圖像如下圖所示：由上圖可知，曲線所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，從而曲線所圍成的面積，故①正確；由曲線的圖像可知，曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即，故②錯誤；因?yàn)榈街本€的距離為，所以，當(dāng)最小時，易知在曲線的第一象限內(nèi)的圖像上，因?yàn)榍€的第一象限內(nèi)的圖像是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故③正確，故選：C.6、B【解題分析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.【題目詳解】.故選：B.7、C【解題分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查垂直直線的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.8、D【解題分析】由雙曲線的性質(zhì)，直接表示離心率，求.【題目詳解】由雙曲線方程可知，因?yàn)?，所以，解得：，又，所?故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線基本性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進(jìn)而得到關(guān)于的方程.9、B【解題分析】先化簡為，然后通過換元，再研究外層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值【題目詳解】化簡可得：令，故的最小值即為的最小值，是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，易知對求導(dǎo)可得：當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增則有：故選：B10、D【解題分析】由題知是等腰直角三角形，，又根據(jù)通徑的結(jié)論知，結(jié)合可列出關(guān)于的二次齊次式，即可求解離心率.【題目詳解】由題知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故選：D.11、C【解題分析】設(shè)直線的傾斜角為，則，解方程即可.【題目詳解】由已知，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：C12、A【解題分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計(jì)算即可【題目詳解】因?yàn)?，所?故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4cm【解題分析】根據(jù)圓面積公式算出截面圓的半徑，利用球的截面圓性質(zhì)與勾股定理算出球心到截面的距離【題目詳解】解：設(shè)截面圓的半徑為r，截面的面積是，，可得又球的半徑為5cm，根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，可得截面到球心的距離為故答案為：4cm【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了球的截面圓性質(zhì)、勾股定理等知識，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題14、①.②.【解題分析】通過判斷出，進(jìn)而將化為基本量求得答案；然后用基本量將化簡，進(jìn)而通過的范圍求得答案.【題目詳解】由，，，故答案為：15、【解題分析】設(shè)，，，，分別代入雙曲線方程，兩式相減，化簡可得：，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求直線方程【題目詳解】過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，，，，兩式相減可得：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，，則，所以直線的方程為，即為故答案為：【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：對于有關(guān)弦中點(diǎn)問題常用“點(diǎn)差法”，其解題步驟為：①設(shè)點(diǎn)（即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)）；②代入（即代入圓錐曲線方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式），然后求解.16、.【解題分析】將代入計(jì)算，利用和互為相反數(shù)，作差可得，計(jì)算可得結(jié)果.【題目詳解】解：函數(shù)則.，，作差可得：，即，解得：代入此時成立.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】(1)將代入即可求解；(2)首先結(jié)合已知條件分別求出命題和的解，寫出，然后利用充分不必要的特征即可求解.【題目詳解】(1)由題意可知，，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；(2)由，解得或，由，解得，故命題：或；命題：，從而：或，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以或或，從而，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，然后求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的性質(zhì)求出到圓上的點(diǎn)的最短距離即可；（2）將直線方程代入圓的方程并化簡，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求得答案.【小問1詳解】若軍營所在區(qū)域?yàn)?，圓：的圓心為原點(diǎn)，半徑為，作圖如下：設(shè)將軍飲馬點(diǎn)為，到達(dá)營區(qū)點(diǎn)為，設(shè)為A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)為，則，又，聯(lián)立解得：，即，所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離，即為.【小問2詳解】過點(diǎn)A傾斜角為45°的直線方程為：，設(shè)兩個交點(diǎn)，聯(lián)立，消去y得.由韋達(dá)定理，，.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，連接，即可得到為與底面所成角，令，，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小問1詳解】解：證明：在正中，為的中點(diǎn)，∴∵平面平面，平面平面，且．∴平面，又∵平面∴．又∵，且，平面．∴平面【小問2詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，在正中，，平面平面，平面平面，∴平面，連接，則為與底面所成角，即．不妨取，，，，∴以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，∴，設(shè)面的一個法向量為，則由令，則，又因?yàn)槊?，取作為面的一個法向量，設(shè)二面角為，∴，∴，因此二面角的正弦值為20、（1）（2）【解題分析】（1）首先求出球的半徑，即可得到四棱錐的棱長，再根據(jù)錐體的表面積公式計(jì)算可得；（2）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，即可得到，從而得到為二面角的平面角，再利用余弦定理計(jì)算可得.【小問1詳解】解：設(shè)球的半徑為，則解得，所以所有棱長均為，因此【小問2詳解】解：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，因?yàn)榫鶠檎切?，因此，即為二面角的平面?，因此二面角的大小為.21、（1）（2）【解題分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求解切線方程的斜率，進(jìn)而求出切線方程；（2）對導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)求出其最小值，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【小問1詳解】當(dāng)時，因?yàn)?，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】因?yàn)?，令，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)實(shí)數(shù)時，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時，，所以總存在一個，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，令，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，又，所以時，所以，即.22、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解題分析】（1）列出關(guān)系式，根據(jù)當(dāng)v＝12km/h，每小時的燃料費(fèi)為720元即可求解;（2）列出燃料費(fèi)的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論可得答案.【小問1詳解】設(shè)每小時的燃料費(fèi)為，則當(dāng)v＝12km/h，每小時