江蘇省南通市天星湖中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

江蘇省南通市天星湖中學2024屆高二數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確2．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.43．某家庭準備晚上在餐館吃飯，他們查看了兩個網(wǎng)站關于四家餐館的好評率，如下表所示，考慮每家餐館的總好評率，他們應選擇（）網(wǎng)站①評價人數(shù)網(wǎng)站①好評率網(wǎng)站②評價人數(shù)網(wǎng)站②好評率餐館甲100095%100085%餐館乙1000100%200080%餐館丙100090%100090%餐館丁200095%100085%A.餐館甲 B.餐館乙C.餐館丙 D.餐館丁4．已知，設函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知是虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則（）A. B.2C. D.46．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，，當時，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.8．已知橢圓與直線交于A，B兩點，點為線段的中點，則a的值為（）A. B.3C. D.9．圓心在直線上，且過點，并與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.10．橢圓上的一點M到其左焦點的距離為2，N是的中點，則等于（）A.1 B.2C.4 D.811．設平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）A.-5 B.-3C.1 D.712．設函數(shù)，則（）A.1 B.5C. D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題P：對于任意，使不等式為真命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.14．圓的圓心坐標為___________；半徑為___________.15．桌面排列著100個乒乓球，兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個乒乓球人為勝利者．條件是：每次拿走球的個數(shù)至少要拿1個，但最多又不能超過5個，這個游戲中，先手是有必勝策略的，請問：如果你是最先拿球的人，為了保證最后贏得這個游戲，你第一次該拿走___個球16．若橢圓的長軸是短軸的2倍，且經(jīng)過點，則橢圓的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某市對排污水進行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內(nèi)排出污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.18．（12分）為落實國家扶貧攻堅政策，某地區(qū)應上級扶貧辦的要求，對本地區(qū)所有貧困戶每年年底進行收入統(tǒng)計，下表是該地區(qū)貧困戶從2017年至2020年的收入統(tǒng)計數(shù)據(jù)：（其中y為貧困戶的人均年純收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代碼1234人均年純收入y/百元25283235（1）在給定的坐標系中畫出A貧困戶的人均年純收入關于年份代碼的散點圖；（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程，并估計A貧困戶在年能否脫貧.（注：假定脫貧標準為人均年純收入不低于元）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，.19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，，點是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.20．（12分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和21．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當時，求證：；（2）當平面平面時，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，且，，三角形為等腰直角三角形，且，.（1）若點為棱的中點，證明：平面平面；（2）若平面平面，點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由向量數(shù)量積為0可求.【題目詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.2、B【解題分析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【題目詳解】由，得，，，，，，.故選：B3、D【解題分析】根據(jù)給定條件求出各餐館總好評率，再比較大小作答.【題目詳解】餐館甲的總好評率為：，餐館乙的總好評率為：，餐館丙的好評率為：，餐館丁的好評率為：，顯然，所以餐館丁的總好評率最高.故選：D4、D【解題分析】由題設易知上恒成立，而在上，討論、，結合導數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【題目詳解】由時，在上；由時，在上遞減，值域為；令且，則，當時，，即遞增，值域為，滿足題設；當時，在上，即遞減，在上，即遞增，此時值域為；當，即時存在，而在中，此時，不合題設；所以，此時要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【題目點撥】關鍵點點睛：由題設易知上，只需在上恒有即可.5、C【解題分析】先求出，然后根據(jù)復數(shù)的模求解即可【題目詳解】，，則，故選：C6、C【解題分析】由題意畫出幾何體的圖形，把、、、擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積【題目詳解】把、、、擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑，，，是正三角形，，，球的表面積為故選：C7、A【解題分析】構造函數(shù)，分析該函數(shù)的定義域與奇偶性，利用導數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù)，綜合可得出原不等式的解集.【題目詳解】令，則函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，當時，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，由等價于或：當時，由可得；當時，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.8、A【解題分析】先聯(lián)立直線和橢圓的方程，結合中點公式及點可求a的值.【題目詳解】設，聯(lián)立，得，，因為點為線段的中點，所以，即，解得，因為，所以.故選：A.9、A【解題分析】設圓的圓心，表示出半徑，再由圓心到切線距離等于半徑即可列出方程求得參數(shù)及圓的方程.【題目詳解】∵圓的圓心在直線上，∴設圓心為(a，－a)，∵圓過，∴半徑r＝，又∵圓與相切，∴半徑r＝，則，解得a＝2，故圓心為(2，－2)，半徑為，故方程為.故選：A.10、C【解題分析】先利用橢圓定義得到，再利用中位線定理得即可.【題目詳解】由橢圓方程，得，由橢圓定義得，又，，又為的中點，為的中點，線段為中位線，∴.故選：C.11、C【解題分析】根據(jù)，可知向量建立方程求解即可.【題目詳解】由題意根據(jù)，可知向量，則有，解得.故選：C12、B【解題分析】由題意結合導數(shù)的運算可得，再由導數(shù)的概念即可得解.【題目詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)題意，結合指數(shù)函數(shù)不等式，將原問題轉化為關于的不等式，對于任意恒成立，即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，知對于任意，恒成立，即，化簡得，令，，則恒成立，即，解得，故.故答案為：.14、①.②.【解題分析】配方后可得圓心坐標和半徑【題目詳解】將圓的一般方程化為圓標準方程是，圓心坐標為，半徑為故答案為：；15、4【解題分析】根據(jù)題意，由游戲規(guī)則，結合余數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案【題目詳解】解：根據(jù)題意，第一次該拿走4個球，以后的取球過程中，對方取個，自己取個，由于，則自己一定可以取到第100個球.故答案為：416、【解題分析】分類討論焦點在軸與焦點在軸兩種情況.【題目詳解】因為橢圓經(jīng)過點，當焦點在軸時，可知，，所以，所以，當焦點在軸時，同理可得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1400（元）.【解題分析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關系式，令，求得函數(shù)值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得：當時，；當時，；當時，.即.【小問2詳解】因為，故，故該廠應繳納污水處理費1400元.18、（1）散點圖見解析；（2），能夠脫貧.【解題分析】（1）直接畫出點即可；（2）利用公式求出與，即可求出，把代入即可估計出A貧困戶在2021年能否脫貧.【小問1詳解】畫出y關于x的散點圖，如圖所示：【小問2詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算，，又因為，，所以，，關于的線性回歸方程，當時，（百元），估計年A貧困戶人均年純收入達到元，能夠脫貧.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】建立如圖所示空間直角坐標系，得到相關點和相關向量的坐標,（1）求出平面的法向量，利用證明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：三棱錐中，，，∴分別以，，，，軸建立如圖所示空間直角坐標系∵，，點M是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上且∴，，，，，設平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小問2詳解】，，∴平面∴為平面的法向量則與的夾角的補角是平面與平面所成二面角的平面角.∴平面與平面所成角的余弦值為.20、（1）（2）【解題分析】（1）由等比數(shù)列的前項和公式，等比數(shù)列的基本量運算列方程組解得和公比后可得通項公式；（2）用錯位相減法求得和【小問1詳解】設數(shù)列的公比為q，由，，得，解之得所以；【小問2詳解】，又，得，，兩式作差，得，所以21、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）取的中點E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點M，連接，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】解：取的中點E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問2詳解】解：取的中點M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，由，，有，取，可得，設平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為22、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）先證明，，進而證明平面，即可證明平面，從而證明平面平面.（2）以點為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如