第三章第五節(jié)控制系統(tǒng)靈敏度分析

第三章第五節(jié)控制系統(tǒng)靈敏度分析第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四對于閉環(huán)系統(tǒng)的情況，如果在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域內(nèi)，都有：(3.71)成立，則可得到：(3.72)

那么，輸出僅受到H(s)的影響，而且H(s)有可能是一個常數(shù)。如果H(s)=1，得到的結(jié)果正是期望的輸入值，那就是，輸出等于輸入。但是，在對閉環(huán)控制系統(tǒng)應(yīng)用式(3.72)這樣一個近似之前，必須注意式(3.71)這一前提條件，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)為劇烈振蕩，甚至于不穩(wěn)定。盡管如此，增加開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的大小會導(dǎo)致G(s)對輸出影響減少的事實是一個極有用的概念。因此，反饋控制系統(tǒng)的最重要優(yōu)勢就是被控過程參數(shù)G(s)變化的影響被減少了。|G(s)H(s)|>>1

第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四為描述參數(shù)變化的影響，假設(shè)被控過程G(s)發(fā)生變化，新被控過程就是G(s)+ΔG(s)。那么，在開環(huán)情況下，輸出的變化為(3.73)在閉環(huán)系統(tǒng)中，有(3.74)考慮到,則輸出的改變就是：(3.75)通常情況下，有G(s)H(s)>>ΔG(s)H(s)，于是：(3.76)ΔC(s)=ΔG(s)R(s)

第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四觀察式(3.76)可以看出，由于[1+G(s)H(s)]在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)常常遠(yuǎn)大于1，因此閉環(huán)系統(tǒng)輸出的變化減少了。因子[1+G(s)H(s)]在反饋控制系統(tǒng)的特征中起到了非常重要的作用。系統(tǒng)靈敏度定義為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的變化率與被控過程傳遞函數(shù)變化率的比值。如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)為則，靈敏度定義為(3.77)取微小增量的極限形式，則式(3.77)成為(3.78)GB(s)=C(s)/R(s)第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四很明顯，從式(3.73)可以看出，開環(huán)系統(tǒng)的靈敏度等于1。閉環(huán)系統(tǒng)靈敏度可以從式(3.78)容易得到。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為因此反饋系統(tǒng)關(guān)于G(s)的靈敏度為即(3.79)第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四再次可以看到，在所關(guān)心的復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)GH(s)增加時，閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度將會低于開環(huán)系統(tǒng)的靈敏度。同樣道理，可以考察閉環(huán)系統(tǒng)對反饋環(huán)節(jié)H(s)改變時的系統(tǒng)靈敏度，令(3.80)

即(3.81)當(dāng)G(s)H(s)很大時，靈敏度約為1，也就是H(s)的變化將直接影響到系統(tǒng)的輸出。因此，使用不隨環(huán)境改變或基本恒定的反饋器件是很重要的。由此可見，控制系統(tǒng)引入反饋環(huán)節(jié)后能減少因參數(shù)變化而造成的影響，尤其是因被控過程參數(shù)變化所造成的影響，這是反饋控制系統(tǒng)的一個重要優(yōu)點。第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四下面介紹一個利用反饋減少靈敏度的簡單例子。運算放大器是一種被廣泛使用在電子線路上的集成電路器件，它的基本應(yīng)用電路是圖3-36（a）所示的反相放大器電路。通常，運算放大器的增益A遠(yuǎn)大于104。由于輸入阻抗很高，所以運算放大器的輸入電流可以忽略不計，因此在節(jié)點n，可寫出電流關(guān)系式如下(3.82)由于放大器的增益是A，并且是反相接法，所以uc=-Aun，因此(3.83)將(3.83)代入(3.82)，得到(3.84)第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四解出輸出電壓uc

，有(3.85)可重寫式(3.85)如下

(a)電路原理圖(b)結(jié)構(gòu)圖圖3-36反相放大器第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)A>>1時，可忽略R1/Rf項，則(3.86)其中，k=R1/Rf。反相放大器電路結(jié)構(gòu)圖如圖3-36（b），圖中反饋環(huán)節(jié)是H(s)=k，前向通道的傳遞函數(shù)是G(s)=-A。進(jìn)一步，當(dāng)A>>1時，反相放大器電路的傳遞函數(shù)為(3.87)

當(dāng)運算放大器處于開環(huán)狀態(tài)（即無反饋電阻Rf）時，相對于增益A的開環(huán)靈敏度為1。在閉環(huán)時，相對于增益A的閉環(huán)靈敏度為(3.88)第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四如果A=104而且k=0.1，有(3.89)則靈敏度接近于0.001，是開環(huán)靈敏度的千分之一。再來考慮閉環(huán)時相對于因子k（或者反饋電阻Rf）的靈敏度。處理方法同上，得

(3.90)相對于k的閉環(huán)靈敏度接近于1。第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四第六節(jié) 應(yīng)用MATLAB分析控制系統(tǒng)的性能這一節(jié)將用兩個例子描述反饋控制的優(yōu)點，同時說明如何利用MATLAB來分析控制系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的主要內(nèi)容包括如何抑制干擾、如何減小穩(wěn)態(tài)誤差、如何調(diào)節(jié)瞬態(tài)響應(yīng)以及如何減少系統(tǒng)對參數(shù)變化的影響等。第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四第一個例子是帶有負(fù)載轉(zhuǎn)矩干擾信號的電樞控制直流電動機(jī)。開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-37(a)所示，為了改善系統(tǒng)性能，加入速度反饋如圖3-37(b)所示。系統(tǒng)的各元器件參數(shù)值在表3.6中給出。

從圖中可以看出，系統(tǒng)有Ua(s)（或Vr(s)）和ML(s)兩個輸入。由于這是一個線性系統(tǒng)，按疊加定理可以分別考慮兩個輸入的獨立作用結(jié)果。為了研究干擾對系統(tǒng)的作用，可令Ua(s)=0（或Vr(s)=0），此時只有干擾ML(s)起作用。相反地，為了研究參考輸入對系統(tǒng)的響應(yīng)，可令ML(s)=0。如果系統(tǒng)具有很好的抗干擾能力，則干擾信號ML(s)對輸出w(s)的影響就應(yīng)該很小，下面就來驗證此結(jié)論。參數(shù)名

Ra

Km

J

B

Ke

Ka

Ks

參數(shù)值

1

10

2

0.50.1

54

1

第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四圖3-37速度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四首先，考慮圖3-37(a)所示的開環(huán)系統(tǒng)，從ML(s)到wo(s)(此處的下標(biāo)“o”表示開環(huán))的傳遞函數(shù)為假設(shè)干擾信號為單位階躍信號，即ML(s)=1/s。利用MATLAB可以計算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3-38(a)所示，而用于分析此開環(huán)控制系統(tǒng)的MATLAB程序文本opentach.m示于圖3-38(b)。在輸入信號Ua(s)=0的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差就是干擾響應(yīng)wo(t)的終值。在圖3-38(a)的曲線中，干擾響應(yīng)wo(t)在t=7秒后已近似不變，所以近似穩(wěn)態(tài)誤差值為

wo(∞)≈-0.663(弧度/秒)第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四同樣，通過計算從ML(s)到wc(s)(此處下標(biāo)“c”表示閉環(huán))的閉環(huán)傳遞函數(shù)可分析圖3-37(b)所示閉環(huán)系統(tǒng)的抗干擾性能。對于干擾輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(a)開環(huán)速度系統(tǒng)對階躍干擾的響應(yīng)曲線第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四%開環(huán)速度控制系統(tǒng)對干擾信號的單位階躍應(yīng):opentach.mRa=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;num1=[1];den1=[JB];num2=[Km*Ke/Ra];den2=[1];[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2);%干擾信號為負(fù)num=-num;printsys(num,den)%wo為輸出,“o”表示開環(huán)[wo,x,t]=step(num,den);plot(t,wo)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid%顯示穩(wěn)態(tài)誤差，即wo的最后一個值wo(length(t))第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四閉環(huán)系統(tǒng)對單位階躍干擾輸入的響應(yīng)曲線w(t)和MATLAB程序文本closedtach.m分別示于圖3-39(a)(b)。同前，穩(wěn)態(tài)誤差就是w(t)的終值，穩(wěn)態(tài)誤差的近似值為

在本例中，閉環(huán)系統(tǒng)與開環(huán)系統(tǒng)對單位階躍干擾信號的輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值之比為可見通過引入負(fù)反饋已明顯減小了干擾對輸出的影響，這說明閉環(huán)反饋系統(tǒng)具有抑制噪聲特性。第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四(a)閉環(huán)系統(tǒng)對階躍干擾的響應(yīng)曲線(b)MATLAB程序文本:closetach.m

圖3-39閉環(huán)速度控制系統(tǒng)分析第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四%閉環(huán)速度控制系統(tǒng)對干擾信號的單位階躍響應(yīng):closetach.mRa=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Ks=1num1=[1];den1=[JB];num2=[Ka*Ks];den2=[1];num3=[Ke];den3=[1];num4=[Km/Ra];den4=[1];[numa,dena]=parallel(num2,den2,num3,den3);[numb,denb]=series(numa,dena,num4,den4);[num,den]=feedback(num1,den1,numb,denb);%干擾信號為負(fù)num=-num;printsys(num,den)%wc為輸出,“c”表示閉環(huán)[wc,x,t]=step(num,den);plot(t,wc)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid%顯示穩(wěn)態(tài)誤差，即wc的最后一個值wc(length(t))第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四第二個例子是分析閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制器增益K對瞬態(tài)響應(yīng)的影響。圖3-40是閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。在參考輸入R(s)和干擾輸入N(s)同時作用下系統(tǒng)的輸出為圖3-40反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四如果單純考慮增益K對參考輸入產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)的影響，可以預(yù)計增加K將導(dǎo)致超調(diào)量增加、調(diào)整時間減少和響應(yīng)速度提高。在增益K=20和K=100時，系統(tǒng)對參考輸入的單位階躍響應(yīng)曲線以及相應(yīng)的MATLAB程序文本gain_kr.m示于圖3-41。對比兩條響應(yīng)曲線，可以看出上述預(yù)計的正確性。盡管在圖中不能明顯看出增大K能減少調(diào)整時間，但是這一點可以通過觀察MATLAB程序的運行數(shù)據(jù)得以驗證。這個例子說明了控制器增益K是如何改變系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的。根據(jù)以上分析，選擇K=20可能是一個比較好的方案。盡管如此，在做出最后決定之前還應(yīng)該考慮其他因素。

第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四(a)階躍響應(yīng)曲線(b)MATLAB程文本:gain_kr.m

圖3-41單位階躍輸入的響應(yīng)分析第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四%K=20和K=100時，參考輸入的單位階躍響應(yīng)：gain_kr.mnumg=[1];deng=[110];K1=100;K2=20;num1=[11K1];num2=[11K2];den=[01];%簡化結(jié)構(gòu)圖[na,da]=series(num1,den,numg,deng);[nb,db]=series(num2,den,numg,deng);[numa,dena]=cloop(na,da);[numb,denb]=cloop(nb,db);%選擇時間間隔t=[0:0.01:2.0];[c1,x,t]=step(numa,dena,t);[c2,x,t]=step(numb,denb,t);plot(t,c1,'--',t,c2)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Cr(t)'),grid第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四在對K做出最后選擇之前，非常重要的是要研究系統(tǒng)對單位階躍干擾的響應(yīng)，有關(guān)結(jié)果和相應(yīng)的MATLAB程序文本如圖3-42所示。從中可以看到，增加K減少了單位干擾響應(yīng)的幅值。對于K=20和K=100，響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值分別為0.05和0.01。對干擾輸入的穩(wěn)態(tài)值可按終值定理求得

如果僅從抗干擾的角度考慮，選擇K=100更合適。在本例中所求出的穩(wěn)態(tài)誤差、超調(diào)量和調(diào)整時間（2%誤差）歸納于表3.7。

第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四(a)階躍響應(yīng)曲線(b)MATLAB程序文本:gain_kn.m圖3-42單位階躍干擾的響應(yīng)分析第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四%K=20和K=100時，干擾輸入的單位階躍響應(yīng)：gain_kn.mnumg=[1];deng=[110];K1=100;K2=20;num1=[11K1];num2=[11K2];den=[01];%簡化結(jié)構(gòu)圖[numa,dena]=feedback(numg,deng,num1,den);[numb,denb]=feedback(numg,deng,num2,den);%選擇時間間隔t=[0:0.01:2.5];[c1,x,t]=step(numa,dena,t);[c2,x,t]=step(numb,denb,t);plot(t,c1,'--',t,c2)xlabel('Time[sec]'),ylabel('Cn(t)'),grid第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四

表3.7K=20和K=100時，控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性K值

K=20

K=100

超調(diào)量sp%

4%

22%調(diào)整時間

ts

1.0秒

0.7秒

穩(wěn)態(tài)誤差ess

5%1%第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四(a)被控對象變化時系統(tǒng)的靈敏度第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四%系統(tǒng)靈敏度分析K=20;num=[110];den=[112K];%取s=jw,w的范圍為10-1～103，共取200點w=logspace(-1,3