第七節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用

第七節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四1.設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四考察割線趨近于極限位置——切線的過程上式分母同除以第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四曲線在M處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四法平面：過M點且與切線垂直的平面.第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四解切線方程法平面方程第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四2.空間曲線方程為法平面方程為例2第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四3.空間曲線方程為第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四也可直接用求導(dǎo)公式：第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四切線方程為法平面方程為第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四方法2第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四所求切線方程為法平面方程為第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四所求切線方程為法平面方程為第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四1.設(shè)曲面方程為二、曲面的切平面與法線引理第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四曲線在M0處的切向量證設(shè)M0(x0,y0,z0)為曲面上一定點，在曲面上任取一條通過點M0的曲線第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四可見第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四法線方程為由前面的討論可知曲面在M處的法向量即所以切平面方程為第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四解令切平面方程法線方程第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四2.空間曲面方程為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四其中第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四解切平面方程為法線方程為第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四解設(shè)為曲面上的切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四因為是曲面上的切點，所求切點為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四曲面的夾角兩個曲面在交線上某點處的兩個法線的夾角稱為這兩個曲面在該點的夾角。如果兩個曲面在該點的夾角等于90度，則稱這兩個曲面在該點正交。若兩曲面在交線的每一點都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。例7證明對任意常數(shù)，球面與錐面是正交的。第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四即證明球面的法線方向數(shù)為錐面的法線方向數(shù)為在兩曲面交線上的任一點處，兩法向量的內(nèi)積因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面與錐面正交。第二十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期四解設(shè)切點依題意知法向量為