第一章 數(shù)學模型與建模概論

第一章數(shù)學模型與建模概論第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四/book-show/flex/book.html?courseNumber=12514477課程網(wǎng)址第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四一、數(shù)學的重大作用計算機的迅速發(fā)展和普及，大大增強了數(shù)學解決現(xiàn)實問題的能力。數(shù)學向社會、經(jīng)濟和自然界各個領域的滲透，擴展了數(shù)學與實際的接觸面。產(chǎn)生了如數(shù)量經(jīng)濟學、數(shù)學生態(tài)學、數(shù)學地質學、數(shù)學心理學和數(shù)學語言學等邊緣學科第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四知識經(jīng)濟時代——信息社會國家的繁榮富強，關鍵在于高新的科學技術和高效率的經(jīng)濟管理。高新技術的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數(shù)學。第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四定量化與數(shù)學當代社會和經(jīng)濟發(fā)展的一個特點就是定量化和定量思維的不斷加強事物之間的聯(lián)系規(guī)律和事物本身的變化規(guī)律,必蘊含著一定的數(shù)量關系和空間結構，而數(shù)學正是反映這些關系的學科，是對其中有關的空間結構、數(shù)量關系的共性不斷地抽象、升華。第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學的顯著特點：思維的抽象性推理的嚴謹性結論的明確性應用的廣泛性第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四現(xiàn)代科技人員所應具備工作素質直觀思維邏輯推理精確計算結論明確等如果沒有一定的數(shù)學訓練和數(shù)學應用基礎是難以具備的。第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四

如何應用數(shù)學來解決實際問題數(shù)學模型是應用數(shù)學知識和計算機解決實際問題的重要手段和橋梁。第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學模型的廣泛應用生理醫(yī)藥學家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時間和空間變化的數(shù)學模型，就可以分析藥物的療效，有效地指導臨床用藥城市規(guī)劃工作者需要建立一個包括人口、經(jīng)濟、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學模型，為領導層對城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學根據(jù)廠長經(jīng)理們要是能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件和成本、貯存費用等信息，掌握了他們的工廠、企業(yè)的生產(chǎn)與銷售的數(shù)學模型，他們就可以用計算機控制生產(chǎn)、銷售以獲取盡可能高的經(jīng)濟收益，增強他們的經(jīng)濟競爭力第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四科學史上成功地應用數(shù)學的典范十七世紀偉大的科學家Newton在研究受迫運動時發(fā)明了微積分，并以此為工具建立了以三大運動定律與萬有引力定律為核心的一個完整的力學理論體系，給出了地球表面和太陽系里一切宏觀物體機械運動的一個數(shù)學模型。第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四二、從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四1．原型與模型我們經(jīng)常使用模型的思想來認識世界和改造世界，而模型是針對原型而言的。原型是指人們在社會活動和生產(chǎn)實踐中所關心和研究的實際對象。在科技領域常常用系統(tǒng)或過程等術語，如機械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、社會經(jīng)濟系統(tǒng)等;如導彈飛行過程、化學反應過程、人口增長過程、污染擴散過程等等。第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四模型模型是人們對原型的近似抽象和描述。它是為了某個特定目的將原型的其一部分信息簡縮、提煉而構造的原型替代物。航空模型城市交通模型—城市交通圖第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四模型與原型的關系模型來源于原型，但它不是對原型簡單的模仿，它是人們?yōu)榱苏J識和理解原型而對它所作的一個抽象、升華。它就可以使我們通過對原型的分析研究加深對原型的理解和認識。第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四2．模型的形式模型有各種形式用模型替代原型的方式來分類，模型可以分為物質模型(形象模型或具體模型）直觀模型（縮尺模型）物理模型（模擬模型）等理想模型(抽象模型)思維模型符號模型數(shù)學模型等。第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四三、數(shù)學模型數(shù)學模型是指通過抽象和簡化，使用數(shù)學語言和方法對實際現(xiàn)象的一個近似刻劃，以便于人仰更深刻地認識所研究的對象。是對現(xiàn)實對象的信息通過提煉、分析、歸納、翻譯的結果。通過數(shù)學上的演繹推理和分析求解，使得我們能夠深化對所研究的實際問題的認識。第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學模型舉例力學中著名的牛頓第二定律F=ma描述受力物體的運動規(guī)律描述人口增長規(guī)律的數(shù)學模型dN(t)/dt=rN(t)揭示人口成等比級數(shù)的增長的規(guī)律第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學建?；A數(shù)學是人們掌握和使用數(shù)學模型這個工具的必要條件和重要的基礎。廣博的數(shù)學知識嚴格數(shù)理邏輯思維數(shù)學模型本身的數(shù)學特征等數(shù)學+計算機應用技術+應用專業(yè)知識+數(shù)模分析第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四“用數(shù)學”與“學數(shù)學”數(shù)學模型是使用數(shù)學來解決實際問題的橋梁。對它的分析和研究的目的是解決實際問題。數(shù)學模型并不就是數(shù)學應用題，更不是套公式的問題。掌握使用數(shù)學去建立模型以解決實際問題所需的技能與理解數(shù)學概念、證明定理、求解方程所需的技巧也是迥然不同的。第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四廣義數(shù)學這里的數(shù)學是廣義數(shù)學，不僅包括經(jīng)典數(shù)學P，還包括統(tǒng)計學S、應用數(shù)學A、計算數(shù)學N等。P

ASN第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四建立數(shù)學模型的全過程可分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，完成從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型，再從數(shù)學模型回到現(xiàn)實對象的循環(huán)

第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四四、數(shù)學建模的方法和步驟第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四1.建立數(shù)學模型的方法機理分析方法（演繹推理）是根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義測試分析方法（歸納總結）內(nèi)部機理無法直接尋求，可以測量系統(tǒng)的有關數(shù)據(jù)，并運用統(tǒng)計分析等方法，按照事先確定的準則求出數(shù)據(jù)擬合得最好的模型常將這兩種方法結合起來進行建模用機理分析建立模型的結構，用測試分析確定模型的參數(shù)·第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四2.數(shù)學建模的一般步驟

模型準備↓模型假設↓模型構成↓模型求解↓模型分析↓no模型檢驗↓yes模型應用第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四模型準備首先要了解問題的實際背景明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等盡量弄清對象的特征，由此初步確定用哪一類模型

第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四模型假設根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化用精確的語言作出假設，是建模的關鍵作假設的依據(jù)出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認識來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析

第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四模型構成根據(jù)所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具，構造各個量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關系或其他數(shù)學結構相似類比法，即根據(jù)不同對象的某些相似性，借用已知領域的數(shù)學模型，來構造模型方法盡量采用簡單的數(shù)學工具

第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四模型求解采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值計算、統(tǒng)計分析等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法特別是應用計算機技術

第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四模型分析對模型解答進行數(shù)學上的分析，常常需要進行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等·

第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四模型檢驗把數(shù)學上分析的結果翻譯回到實際問題，并用實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗模型的合理性和適用性。這一步對于建模的成敗是非常重要的模型檢驗的結果如果不符合實際，問題通常出在模型假設上

第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四模型應用

應用的方式取決于問題的性質建模的目的

第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四用建模方法解決實際問題首先是用數(shù)學語言表述問題即構造模型其次才是用數(shù)學工具求解構成的模型第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學建模的基礎用數(shù)學語言表述問題，包括模型假設、模型構造等，需要廣博的知識(包括數(shù)學知識和各種實際知識)足夠的經(jīng)驗豐富的想象力敏銳的洞察力直覺和靈感第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四五、數(shù)學模型的分類數(shù)學模型可以按照不同的方式分類第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四按照模型的應用領域分類如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、再生資源利用模型、污染模型等范疇更大一些則形成許多邊緣學科，如生物數(shù)學、醫(yī)藥數(shù)學、地質數(shù)學、數(shù)量經(jīng)濟學、數(shù)學社會學等·第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四按照建立模型的數(shù)學方法分類初等數(shù)學模型幾何模型微分方程模型統(tǒng)計模型圖論模型馬氏鏈模型規(guī)劃論模型等第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四按照模型的表現(xiàn)特性分類確定性模型和隨機性模型取決于是否考慮隨機因素的影響靜態(tài)模型和動態(tài)模型取決于是否考慮時間因素引起的變化·線性模型和非線性模型取決于模型的基本關系離散模型和連續(xù)模型取決于模型中變量(主要是時間變量)的取值第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四按照建模目的分類描述模型分析模型預報模型優(yōu)化模型決策模型控制模型等第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四按照對模型結構了解程度分類白箱模型:通常是指一些機理已較為清楚的問題，如力學、電學、機械等學科所研究的問題。這類模型模型大多已基本確定，主要研究的是如何優(yōu)化設計和控制的問題。灰箱模型:于白箱模型和黑箱模型之間的是灰箱模型，主要是指經(jīng)濟、氣象、生態(tài)、地質等領域的問題。黑箱模型:主要是指生命、醫(yī)學、心理、社會等領域機理不清楚的問題。第四十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四六、數(shù)學模型課與能力培養(yǎng)第四十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四數(shù)學建模課的開設目的是為了把學生學習過的和將在本課程中學習的數(shù)學方法和知識與周圍的現(xiàn)實世界聯(lián)系起來，甚至和少數(shù)真正的實際應用問題聯(lián)系起來，不僅使學生知道數(shù)學有用、怎樣用，更知道在真正的應用中還要繼續(xù)學習。第四十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期四努力培養(yǎng)學生的有關能力1.培養(yǎng)“翻譯”的能力，即把經(jīng)過一定抽象簡化的實際問題用數(shù)學的語言表達出來形