初中數(shù)學(xué)滬科版九年級(jí)上冊(cè)第22章相似形2相似三角形的判定 全國(guó)獲獎(jiǎng)

中物理滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第22章相似形22.2.3相似三角形的判定定理2怎樣判定兩個(gè)三角形相似？1、定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等叫做的兩個(gè)三角形相似三角形.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'幾何語(yǔ)言:∴

△ABC∽△A'B'C'反過(guò)來(lái)∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'∵△ABC∽△A'B'C'注意：

又是

它的一個(gè)性質(zhì).相似三角形的定義既是相似三角形的一種判定方法，知識(shí)回顧ABCA'C'B'利用預(yù)備定理判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，

只需”平行”這一個(gè)條件就能判定.怎樣判定兩個(gè)三角形相似？知識(shí)回顧x型相似

截得的三角形平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，與原三角形相似.2、預(yù)備定理ABCDE①直線與其他兩邊相交；ABCDE

②直線與其他兩邊的順向延長(zhǎng)線相交；ABCDE

③直線與其他兩邊的反向延長(zhǎng)線相交；幾何語(yǔ)言:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCA型相似注意：那么這兩個(gè)三角形相似.3、相似三角形的判定定理1如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，ABCA'B'C'，簡(jiǎn)記為：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.知識(shí)回顧幾何語(yǔ)言:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A’,

∠B=∠B’∴

△ABC∽△A'B'C'怎樣判定兩個(gè)三角形相似？特別提醒：一般地，公共角、對(duì)頂角、同角的余角(補(bǔ)角)都是相等的角，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題中的隱含條件.探究1已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，，∠A=∠A'.求證：△ABC∽△A'B'C'ABCA'B'C'證明：過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，在△ABC的邊AB上，截取AD=A'B'，△ADE∽△ABC∴DE則，ABA'B'=ACA'C'ABAD=ACAE∵

AD=A'B'∴ABA'B'=ACAE∵ABA'B'=ACA'C'∴ACA'C'=ACAE∴A'C'=AE在△ADE與△A'B'C'中AD=A'B'∵∠A=∠A'A'C'=AE∴

△ADE≌△A'B'C'∴

△ABC∽△A'B'C'(SAS)

否則不能判定兩個(gè)三角形相似.于是得到判定三角形相似的以下定理：并且?jiàn)A角相等，相似三角形的判定定理2如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，ABCA'B'C'，簡(jiǎn)記為：兩邊成比例的兩個(gè)三角形相似.歸納總結(jié)幾何語(yǔ)言:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A’∴

△ABC∽△A'B'C'那么這兩個(gè)三角形相似.ABA'B'=ACA'C',且?jiàn)A角相等的特別提醒：利用該定理判定三角形相似時(shí)，必須注意是兩邊及夾角，即相等的角必須是成比例的兩邊的夾角對(duì)應(yīng)練習(xí)1、在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5cm，AC=2cm；在△DEF中，∠E=48°，DE=2.8cm，EF=2.1cm.問(wèn)這兩個(gè)三角形相似嗎?為什么利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等判定兩個(gè)三角形相似的步驟：解：相似理由如下：∵∠A=∠E=48°，ABEF=1.52.1=，57ACDE=22.8=57∴

ABEF=ACDE∴

△ABC∽△DEF特別提醒：①找出兩個(gè)三角形中相等的那個(gè)角；②再分別找出兩個(gè)三角形中夾這個(gè)角的兩條邊，并按從小到大的排列找出對(duì)應(yīng)邊.③最后看兩組對(duì)應(yīng)邊是否成比例，若成比例則兩個(gè)三角形相似，否則不相似.對(duì)應(yīng)練習(xí)2、在Rt△ABC中，兩直角邊分別為3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜邊為25cm，一條直角邊為15cm.問(wèn)這兩個(gè)直角三角形相似嗎？為什么.解：相似理由如下：在Rt△A'B'C'中，由勾股定理，得另一邊的直角邊為20cm.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，夾直角的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，即315=420∴

Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'3、如圖，△ACD和△ABC相似需具備的條件是()對(duì)應(yīng)練習(xí)A.ACCD=ABBCB.CDAD=BCACC.AC2=AD·ABD.CD2=AD·BDC4、如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B.射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且.對(duì)應(yīng)練習(xí)ADAC=DFCG(1)求證：△ADF∽△ACG；ADAC=12(2)若，求的值.AFFG(1)證明:∵∠AED=∠B，∠DAE=∠BAC∴

∠ADF=∠C又∵

ADAC=DFCG∴

△ADF∽△ACG(2)解：△ADF∽△ACG∴

ADAC=AFAG又∵

ADAC=12∴

AFAG=12∴

AFFG=15、如圖，在△ABC中，AB=16，AC=8，在AC上取一點(diǎn)D，使AD=5，如果在AB上取一點(diǎn)E，使△ADE和△ABC相似，求AE的長(zhǎng).對(duì)應(yīng)練習(xí)ABCD解：①如圖，當(dāng)AD和AC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，EABCDEAEAB=ADAC∵AB=16，AC=8，AD=5∴AE16=58解得AE=10②如圖，當(dāng)AD和AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，

AEAC=ADAB∵AB=16，AC=8，AD=5∴AE8=516解得AE=52∴∴△ADE∽△ACB△ADE∽△ABC6、如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點(diǎn)P從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C移動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)，以1cm/s的速度向A移動(dòng)，若P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)為何值時(shí)，△CPQ與△CBA相似？對(duì)應(yīng)練習(xí)解：①當(dāng)CP和CB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，CPCB=CQCA∴16-2t16=t12解得t=4.8②當(dāng)CP和CA是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，

CPCA=CQCB∴∴△CPQ∽△CBA△CPQ∽△CAB∴16-2t12=t16解得t=641116122tt16-2t

綜上所述，當(dāng)t=4.8秒或秒時(shí)，△CPQ與△CBA相似．6411(1)∵△ABC、△DCE、△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，AB=，BC=1.7、如圖，已知：△ABC，△DCE，△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且AB=，BC=1.連接BF，分別交AC，DC，DE于點(diǎn)P，Q，R.(1)求證：△BFG∽△FEG；(2)求BF的長(zhǎng).對(duì)應(yīng)練習(xí)解：∴BG=3BC=3，F(xiàn)G=AB=，GE=BC=1∵BGFG=3=，F(xiàn)GEG=1=∴BGFG=FGEG(2)由(1)知：△BFG∽△FEG∴BGFG=BFEF∵FE=FG∴BF=BG=3又∵∠G=∠G∴△BFG∽△FEG

8、如圖，BC與DE相交于點(diǎn)O.問(wèn)：

(1)當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí)，△ABC∽△ADE？

(2)當(dāng)AC：AE滿足什么條件時(shí)，△ABC∽△ADE？對(duì)應(yīng)練習(xí)解：(1)∵∠A=∠A∴當(dāng)∠B=∠D時(shí)，△ABC∽△ADE.(2)∵∠A=∠A∴當(dāng)AC：AE=AB：AD

時(shí)，△ABC∽△ADE.

9、如圖，D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，E是△ABC外一點(diǎn)，且∠1=∠2，∠3=∠4．對(duì)應(yīng)練習(xí)求證：(1)△ABD∽△CBE；

(2)△ABC∽△DBE．解：(1)∵∠1=∠2，∠3=∠4∴△ABD∽△CBE(2)∵∠1=∠2∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC∴∠ABC=∠DBE∵△ABD∽△CBEABCB=BDBE∴ABDB=BCBE∴∴△ABC∽△DBE10、如圖，四邊形ABCD，CDEF，EFGH均是正方形，且B，C，F(xiàn)，G在一直線上，連接AC，AF，AG.(1)求證：△ACF∽△GCA；(2)求∠AFB+∠AGB的度數(shù).

對(duì)應(yīng)練習(xí)證明:(1)∵設(shè)正方形ABCD，DCFE，EFGH的邊長(zhǎng)為a∴CF=a，AC=a，CG=2a∴

ACGC=2，CFCA=1=2∴

ACGC=CFCA又∵∠ACF=∠GCA∴△ACF∽△GCA(2)由(1)得：△ACF∽△GCA∴∠FAC=∠AGB∴∠AFB+∠AGB=∠AFB+∠FAC=∠ACB=45°11、如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn).對(duì)應(yīng)練習(xí)求證：△ADQ∽△QCP證明：∵BP=3PC∴

CP=

BC=CD1414∵Q是CD的中點(diǎn)∴

CQ

=

DQ=CD12=

AD12∴

ADCQ=DQCPADAD12=2，=CD14=2CD12∴

ADCQ=DQCP又∵∠C=∠D=90°∴△ADQ∽△QCP本節(jié)課你有什么收獲？

否則不能判定兩個(gè)三角形相似.并且?jiàn)A角相等，相似三角形的判定定理2如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，ABCA'B'C'，簡(jiǎn)記為：兩邊成比例的兩個(gè)三角形相似.歸納總結(jié)幾何語(yǔ)言:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A’∴

△ABC∽△A'B'C'那么這兩個(gè)三角形相似.ABA'B'=ACA'C',且?jiàn)A角相等的特別提醒：利用該定理判定三角形相似時(shí)，必須注意是兩邊及夾角，即相等的角必須是成比例的兩邊的夾角怎樣判定兩個(gè)三角形相似？1、定義法：歸納總