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文檔簡介
中物理滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第22章相似形22.2.3相似三角形的判定定理2怎樣判定兩個(gè)三角形相似?1、定義法:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊長度的比相等叫做的兩個(gè)三角形相似三角形.∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'幾何語言:∴
△ABC∽△A'B'C'反過來∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'∵△ABC∽△A'B'C'注意:
又是
它的一個(gè)性質(zhì).相似三角形的定義既是相似三角形的一種判定方法,知識(shí)回顧ABCA'C'B'利用預(yù)備定理判定兩個(gè)三角形相似時(shí),
只需”平行”這一個(gè)條件就能判定.怎樣判定兩個(gè)三角形相似?知識(shí)回顧x型相似
截得的三角形平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,與原三角形相似.2、預(yù)備定理ABCDE①直線與其他兩邊相交;ABCDE
②直線與其他兩邊的順向延長線相交;ABCDE
③直線與其他兩邊的反向延長線相交;幾何語言:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCA型相似注意:那么這兩個(gè)三角形相似.3、相似三角形的判定定理1如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,ABCA'B'C',簡記為:兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.知識(shí)回顧幾何語言:∵在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A’,
∠B=∠B’∴
△ABC∽△A'B'C'怎樣判定兩個(gè)三角形相似?特別提醒:一般地,公共角、對(duì)頂角、同角的余角(補(bǔ)角)都是相等的角,解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題中的隱含條件.探究1已知:如圖,在△ABC和△A'B'C'中,,∠A=∠A'.求證:△ABC∽△A'B'C'ABCA'B'C'證明:過點(diǎn)D作DE∥BC,交AC于點(diǎn)E,在△ABC的邊AB上,截取AD=A'B',△ADE∽△ABC∴DE則,ABA'B'=ACA'C'ABAD=ACAE∵
AD=A'B'∴ABA'B'=ACAE∵ABA'B'=ACA'C'∴ACA'C'=ACAE∴A'C'=AE在△ADE與△A'B'C'中AD=A'B'∵∠A=∠A'A'C'=AE∴
△ADE≌△A'B'C'∴
△ABC∽△A'B'C'(SAS)
否則不能判定兩個(gè)三角形相似.于是得到判定三角形相似的以下定理:并且夾角相等,相似三角形的判定定理2如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,ABCA'B'C',簡記為:兩邊成比例的兩個(gè)三角形相似.歸納總結(jié)幾何語言:∵在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A’∴
△ABC∽△A'B'C'那么這兩個(gè)三角形相似.ABA'B'=ACA'C',且夾角相等的特別提醒:利用該定理判定三角形相似時(shí),必須注意是兩邊及夾角,即相等的角必須是成比例的兩邊的夾角對(duì)應(yīng)練習(xí)1、在△ABC中,∠A=48°,AB=1.5cm,AC=2cm;在△DEF中,∠E=48°,DE=2.8cm,EF=2.1cm.問這兩個(gè)三角形相似嗎?為什么利用兩邊成比例且夾角相等判定兩個(gè)三角形相似的步驟:解:相似理由如下:∵∠A=∠E=48°,ABEF=1.52.1=,57ACDE=22.8=57∴
ABEF=ACDE∴
△ABC∽△DEF特別提醒:①找出兩個(gè)三角形中相等的那個(gè)角;②再分別找出兩個(gè)三角形中夾這個(gè)角的兩條邊,并按從小到大的排列找出對(duì)應(yīng)邊.③最后看兩組對(duì)應(yīng)邊是否成比例,若成比例則兩個(gè)三角形相似,否則不相似.對(duì)應(yīng)練習(xí)2、在Rt△ABC中,兩直角邊分別為3cm,4cm;在Rt△A'B'C'中,斜邊為25cm,一條直角邊為15cm.問這兩個(gè)直角三角形相似嗎?為什么.解:相似理由如下:在Rt△A'B'C'中,由勾股定理,得另一邊的直角邊為20cm.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,夾直角的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,即315=420∴
Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'3、如圖,△ACD和△ABC相似需具備的條件是()對(duì)應(yīng)練習(xí)A.ACCD=ABBCB.CDAD=BCACC.AC2=AD·ABD.CD2=AD·BDC4、如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,∠AED=∠B.射線AG分別交線段DE,BC于點(diǎn)F,G,且.對(duì)應(yīng)練習(xí)ADAC=DFCG(1)求證:△ADF∽△ACG;ADAC=12(2)若,求的值.AFFG(1)證明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC∴
∠ADF=∠C又∵
ADAC=DFCG∴
△ADF∽△ACG(2)解:△ADF∽△ACG∴
ADAC=AFAG又∵
ADAC=12∴
AFAG=12∴
AFFG=15、如圖,在△ABC中,AB=16,AC=8,在AC上取一點(diǎn)D,使AD=5,如果在AB上取一點(diǎn)E,使△ADE和△ABC相似,求AE的長.對(duì)應(yīng)練習(xí)ABCD解:①如圖,當(dāng)AD和AC是對(duì)應(yīng)邊時(shí),EABCDEAEAB=ADAC∵AB=16,AC=8,AD=5∴AE16=58解得AE=10②如圖,當(dāng)AD和AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí),
AEAC=ADAB∵AB=16,AC=8,AD=5∴AE8=516解得AE=52∴∴△ADE∽△ACB△ADE∽△ABC6、如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,點(diǎn)P從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C移動(dòng),點(diǎn)Q從C出發(fā),以1cm/s的速度向A移動(dòng),若P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,當(dāng)為何值時(shí),△CPQ與△CBA相似?對(duì)應(yīng)練習(xí)解:①當(dāng)CP和CB是對(duì)應(yīng)邊時(shí),CPCB=CQCA∴16-2t16=t12解得t=4.8②當(dāng)CP和CA是對(duì)應(yīng)邊時(shí),
CPCA=CQCB∴∴△CPQ∽△CBA△CPQ∽△CAB∴16-2t12=t16解得t=641116122tt16-2t
綜上所述,當(dāng)t=4.8秒或秒時(shí),△CPQ與△CBA相似.6411(1)∵△ABC、△DCE、△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形,AB=,BC=1.7、如圖,已知:△ABC,△DCE,△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形,底邊BC,CE,EG在同一直線上,且AB=,BC=1.連接BF,分別交AC,DC,DE于點(diǎn)P,Q,R.(1)求證:△BFG∽△FEG;(2)求BF的長.對(duì)應(yīng)練習(xí)解:∴BG=3BC=3,F(xiàn)G=AB=,GE=BC=1∵BGFG=3=,F(xiàn)GEG=1=∴BGFG=FGEG(2)由(1)知:△BFG∽△FEG∴BGFG=BFEF∵FE=FG∴BF=BG=3又∵∠G=∠G∴△BFG∽△FEG
8、如圖,BC與DE相交于點(diǎn)O.問:
(1)當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí),△ABC∽△ADE?
(2)當(dāng)AC:AE滿足什么條件時(shí),△ABC∽△ADE?對(duì)應(yīng)練習(xí)解:(1)∵∠A=∠A∴當(dāng)∠B=∠D時(shí),△ABC∽△ADE.(2)∵∠A=∠A∴當(dāng)AC:AE=AB:AD
時(shí),△ABC∽△ADE.
9、如圖,D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),E是△ABC外一點(diǎn),且∠1=∠2,∠3=∠4.對(duì)應(yīng)練習(xí)求證:(1)△ABD∽△CBE;
(2)△ABC∽△DBE.解:(1)∵∠1=∠2,∠3=∠4∴△ABD∽△CBE(2)∵∠1=∠2∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC∴∠ABC=∠DBE∵△ABD∽△CBEABCB=BDBE∴ABDB=BCBE∴∴△ABC∽△DBE10、如圖,四邊形ABCD,CDEF,EFGH均是正方形,且B,C,F(xiàn),G在一直線上,連接AC,AF,AG.(1)求證:△ACF∽△GCA;(2)求∠AFB+∠AGB的度數(shù).
對(duì)應(yīng)練習(xí)證明:(1)∵設(shè)正方形ABCD,DCFE,EFGH的邊長為a∴CF=a,AC=a,CG=2a∴
ACGC=2,CFCA=1=2∴
ACGC=CFCA又∵∠ACF=∠GCA∴△ACF∽△GCA(2)由(1)得:△ACF∽△GCA∴∠FAC=∠AGB∴∠AFB+∠AGB=∠AFB+∠FAC=∠ACB=45°11、如圖,在正方形ABCD中,P是BC上的點(diǎn),且BP=3PC,Q是CD的中點(diǎn).對(duì)應(yīng)練習(xí)求證:△ADQ∽△QCP證明:∵BP=3PC∴
CP=
BC=CD1414∵Q是CD的中點(diǎn)∴
CQ
=
DQ=CD12=
AD12∴
ADCQ=DQCPADAD12=2,=CD14=2CD12∴
ADCQ=DQCP又∵∠C=∠D=90°∴△ADQ∽△QCP本節(jié)課你有什么收獲?
否則不能判定兩個(gè)三角形相似.并且夾角相等,相似三角形的判定定理2如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,ABCA'B'C',簡記為:兩邊成比例的兩個(gè)三角形相似.歸納總結(jié)幾何語言:∵在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A’∴
△ABC∽△A'B'C'那么這兩個(gè)三角形相似.ABA'B'=ACA'C',且夾角相等的特別提醒:利用該定理判定三角形相似時(shí),必須注意是兩邊及夾角,即相等的角必須是成比例的兩邊的夾角怎樣判定兩個(gè)三角形相似?1、定義法:歸納總
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