初中數(shù)學滬科版九年級上冊第22章相似形2相似三角形的判定 全國獲獎

中物理滬科版數(shù)學九年級上冊第22章相似形22.2.3相似三角形的判定定理2怎樣判定兩個三角形相似？1、定義法：對應角相等，對應邊長度的比相等叫做的兩個三角形相似三角形.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'幾何語言:∴

△ABC∽△A'B'C'反過來∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'∵△ABC∽△A'B'C'注意：

又是

它的一個性質.相似三角形的定義既是相似三角形的一種判定方法，知識回顧ABCA'C'B'利用預備定理判定兩個三角形相似時，

只需”平行”這一個條件就能判定.怎樣判定兩個三角形相似？知識回顧x型相似

截得的三角形平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，與原三角形相似.2、預備定理ABCDE①直線與其他兩邊相交；ABCDE

②直線與其他兩邊的順向延長線相交；ABCDE

③直線與其他兩邊的反向延長線相交；幾何語言:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCA型相似注意：那么這兩個三角形相似.3、相似三角形的判定定理1如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，ABCA'B'C'，簡記為：兩角分別相等的兩個三角形相似.知識回顧幾何語言:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A’,

∠B=∠B’∴

△ABC∽△A'B'C'怎樣判定兩個三角形相似？特別提醒：一般地，公共角、對頂角、同角的余角(補角)都是相等的角，解題時應注意挖掘題中的隱含條件.探究1已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，，∠A=∠A'.求證：△ABC∽△A'B'C'ABCA'B'C'證明：過點D作DE∥BC，交AC于點E，在△ABC的邊AB上，截取AD=A'B'，△ADE∽△ABC∴DE則，ABA'B'=ACA'C'ABAD=ACAE∵

AD=A'B'∴ABA'B'=ACAE∵ABA'B'=ACA'C'∴ACA'C'=ACAE∴A'C'=AE在△ADE與△A'B'C'中AD=A'B'∵∠A=∠A'A'C'=AE∴

△ADE≌△A'B'C'∴

△ABC∽△A'B'C'(SAS)

否則不能判定兩個三角形相似.于是得到判定三角形相似的以下定理：并且夾角相等，相似三角形的判定定理2如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，ABCA'B'C'，簡記為：兩邊成比例的兩個三角形相似.歸納總結幾何語言:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A’∴

△ABC∽△A'B'C'那么這兩個三角形相似.ABA'B'=ACA'C',且夾角相等的特別提醒：利用該定理判定三角形相似時，必須注意是兩邊及夾角，即相等的角必須是成比例的兩邊的夾角對應練習1、在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5cm，AC=2cm；在△DEF中，∠E=48°，DE=2.8cm，EF=2.1cm.問這兩個三角形相似嗎?為什么利用兩邊成比例且夾角相等判定兩個三角形相似的步驟：解：相似理由如下：∵∠A=∠E=48°，ABEF=1.52.1=，57ACDE=22.8=57∴

ABEF=ACDE∴

△ABC∽△DEF特別提醒：①找出兩個三角形中相等的那個角；②再分別找出兩個三角形中夾這個角的兩條邊，并按從小到大的排列找出對應邊.③最后看兩組對應邊是否成比例，若成比例則兩個三角形相似，否則不相似.對應練習2、在Rt△ABC中，兩直角邊分別為3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜邊為25cm，一條直角邊為15cm.問這兩個直角三角形相似嗎？為什么.解：相似理由如下：在Rt△A'B'C'中，由勾股定理，得另一邊的直角邊為20cm.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，夾直角的兩條邊對應成比例，即315=420∴

Rt△ABC∽Rt△A'B'C'3、如圖，△ACD和△ABC相似需具備的條件是()對應練習A.ACCD=ABBCB.CDAD=BCACC.AC2=AD·ABD.CD2=AD·BDC4、如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B.射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且.對應練習ADAC=DFCG(1)求證：△ADF∽△ACG；ADAC=12(2)若，求的值.AFFG(1)證明:∵∠AED=∠B，∠DAE=∠BAC∴

∠ADF=∠C又∵

ADAC=DFCG∴

△ADF∽△ACG(2)解：△ADF∽△ACG∴

ADAC=AFAG又∵

ADAC=12∴

AFAG=12∴

AFFG=15、如圖，在△ABC中，AB=16，AC=8，在AC上取一點D，使AD=5，如果在AB上取一點E，使△ADE和△ABC相似，求AE的長.對應練習ABCD解：①如圖，當AD和AC是對應邊時，EABCDEAEAB=ADAC∵AB=16，AC=8，AD=5∴AE16=58解得AE=10②如圖，當AD和AB是對應邊時，

AEAC=ADAB∵AB=16，AC=8，AD=5∴AE8=516解得AE=52∴∴△ADE∽△ACB△ADE∽△ABC6、如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點P從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C移動，點Q從C出發(fā)，以1cm/s的速度向A移動，若P、Q分別從B、C同時出發(fā)，設運動時間為ts，當為何值時，△CPQ與△CBA相似？對應練習解：①當CP和CB是對應邊時，CPCB=CQCA∴16-2t16=t12解得t=4.8②當CP和CA是對應邊時，

CPCA=CQCB∴∴△CPQ∽△CBA△CPQ∽△CAB∴16-2t12=t16解得t=641116122tt16-2t

綜上所述，當t=4.8秒或秒時，△CPQ與△CBA相似．6411(1)∵△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，AB=，BC=1.7、如圖，已知：△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且AB=，BC=1.連接BF，分別交AC，DC，DE于點P，Q，R.(1)求證：△BFG∽△FEG；(2)求BF的長.對應練習解：∴BG=3BC=3，F(xiàn)G=AB=，GE=BC=1∵BGFG=3=，F(xiàn)GEG=1=∴BGFG=FGEG(2)由(1)知：△BFG∽△FEG∴BGFG=BFEF∵FE=FG∴BF=BG=3又∵∠G=∠G∴△BFG∽△FEG

8、如圖，BC與DE相交于點O.問：

(1)當∠B滿足什么條件時，△ABC∽△ADE？

(2)當AC：AE滿足什么條件時，△ABC∽△ADE？對應練習解：(1)∵∠A=∠A∴當∠B=∠D時，△ABC∽△ADE.(2)∵∠A=∠A∴當AC：AE=AB：AD

時，△ABC∽△ADE.

9、如圖，D是△ABC內的一點，E是△ABC外一點，且∠1=∠2，∠3=∠4．對應練習求證：(1)△ABD∽△CBE；

(2)△ABC∽△DBE．解：(1)∵∠1=∠2，∠3=∠4∴△ABD∽△CBE(2)∵∠1=∠2∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC∴∠ABC=∠DBE∵△ABD∽△CBEABCB=BDBE∴ABDB=BCBE∴∴△ABC∽△DBE10、如圖，四邊形ABCD，CDEF，EFGH均是正方形，且B，C，F(xiàn)，G在一直線上，連接AC，AF，AG.(1)求證：△ACF∽△GCA；(2)求∠AFB+∠AGB的度數(shù).

對應練習證明:(1)∵設正方形ABCD，DCFE，EFGH的邊長為a∴CF=a，AC=a，CG=2a∴

ACGC=2，CFCA=1=2∴

ACGC=CFCA又∵∠ACF=∠GCA∴△ACF∽△GCA(2)由(1)得：△ACF∽△GCA∴∠FAC=∠AGB∴∠AFB+∠AGB=∠AFB+∠FAC=∠ACB=45°11、如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點.對應練習求證：△ADQ∽△QCP證明：∵BP=3PC∴

CP=

BC=CD1414∵Q是CD的中點∴

CQ

=

DQ=CD12=

AD12∴

ADCQ=DQCPADAD12=2，=CD14=2CD12∴

ADCQ=DQCP又∵∠C=∠D=90°∴△ADQ∽△QCP本節(jié)課你有什么收獲？

否則不能判定兩個三角形相似.并且夾角相等，相似三角形的判定定理2如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，ABCA'B'C'，簡記為：兩邊成比例的兩個三角形相似.歸納總結幾何語言:∵在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A’∴

△ABC∽△A'B'C'那么這兩個三角形相似.ABA'B'=ACA'C',且夾角相等的特別提醒：利用該定理判定三角形相似時，必須注意是兩邊及夾角，即相等的角必須是成比例的兩邊的夾角怎樣判定兩個三角形相似？1、定義法：歸納總